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Ossekour

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Formes quadratiques équivalentes

Bonjour,

Je bloque sur l'énoncé suivant : soit [tex]\mathbb{K}[/tex] un corps quelconque de caractéristique différente de 2. Soit [tex]a \in \mathbb{K}^{\star}[/tex]. Montrer que la forme quadratique [tex]\langle a,-a \rangle[/tex] est équivalente à [tex]\langle 1,-1 \rangle[/tex], c'est-à-dire que les matrices [tex]\begin{pmatrix} a & 0 \\ 0 & -a \end{pmatrix}[/tex] et [tex]\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}[/tex] sont congruentes, c'est-à-dire : [tex]\exists P \in GL_2(\mathbb{K}), \begin{pmatrix} a & 0 \\ 0 & -a \end{pmatrix}=P \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} P^T[/tex].

Si tout élément de [tex]\mathbb{K}[/tex] est un carré, alors c'est simple, il suffit de prendre [tex]P=\begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{a}} & 0 \\ 0 & -\frac{1}{\sqrt{a}} \end{pmatrix}[/tex].

Dans le cas général, je ne sais pas conclure. J'ai essayé de raisonner par analyse-synthèse en posant [tex]P=\begin{pmatrix} b & d \\ c & e \end{pmatrix}[/tex] et l'égalité [tex]P \mbox{diag}(1,-1) P^T=\mbox{diag}(a,-a)[/tex] donne les égalités de coefficients suivants : [tex]b^2-d^2=e^2-c^2=a[/tex] (équation 1 & 2) et [tex]bc=de[/tex] (équation 3). De plus, en appliquant le déterminant, on se rend compte que l'on peut supposer de plus que [tex]be-cd=a[/tex] (équation 4).

A partir de ce système d'équations, on peut progresser un peu : si [tex]c=0[/tex], alors par équation 3, [tex]d=0[/tex] (le cas [tex]e=0[/tex] étant impossible), et on a [tex]b^2=a[/tex] et [tex]e^2=a[/tex]. Comme [tex]a[/tex] n'est pas nécessairement un carré, on peut exclure ce cas.
Si [tex]c \neq 0[/tex], on récupère finalement que [tex]d=c[/tex] et [tex]b=e[/tex], et on se retrouve avec l'équation [tex]a=b^2-c^2[/tex].

Il suffirait donc que le résultat suivant soit vrai pour pouvoir conclure : tout élément non nul d'un corps de caractéristique différente de 2 peut être écrit comme la différence de deux carrés non nuls. Or, ce résultat m'a l'air faux : prendre [tex]\mathbb{K}=\mathbb{Z}/3\mathbb{Z}[/tex] et considérer [tex]\overline{2}[/tex] par exemple. Comment faire, donc ?

Je vous remercie pour toute indication,

Bonne journée.

Edit : fautes de frappes

Dernière modification par Ossekour (21-05-2024 19:34:27)