Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Élios

Invité

Lois de Lanchester

Bonjour,

  Je suis un élève de terminale (j'ai de bonnes raisons de venir dans cette partie du forum et c'est la première fois que j'écris sur un forum de maths donc je vous prie d'être indulgent envers moi)

  Je me suis un peut-être un peu trop emballé. En effet, étant en spécialités Mathématiques et HGGSP (géopolitique) j'ai décidé de croiser ces deux disciplines pour mon grand oral en abordant La théorie de Clausewitz (de la Guerre) et les lois de Lanchester. C'est à propos de ces dernières que je suis face à un mur, celles-ci prennent la forme d'équations différentielles, toutefois elles ne ressemblent pas vraiment à celles du programme de terminale :(. Il semblerait que ce soit du niveau de deuxième année de licence. Je sais ce qu'elles représentent et grossièrement comment elles fonctionnent (en me documentant sur internet avec une majorité de sources en anglais). Cependant, je suis incapable d'en résoudre une et d'en expliquer précisément le fonctionnement.

  Ainsi est ce que vous pourriez m'expliquer comment ces dernières fonctionnent et comment les résoudre, et si vous estimez que ces équations sont trop compliquées pour un élève de terminale (ne faisant pas maths expertes) auriez vous une idée d'équation différentielle plus simple qui pourrait à peu près faire le même travail. Je joins à ce post un exercice de L2 traitant de la loi géométrique de Lanchester sur lequel je compte m'appuyer pour mon oral (c'est l'exercice 6) la partie sur Iwo Jima est, je pense trop compliquée pour moi mais elle peut vous permettre de comprendre l'utilité de cette loi et ses applications. Je tiens énormément à sujet donc j'espère pouvoir le présenter (souhaitant faire une prépa militaire et devenir officier).

  Merci d'avance !

Exercice 6: (Modèle de combat : Lois de Lanchester). Les équations de Lanchester décrivent la dépendance temporelle des forces de deux armées A et B en combat. Soient x(t) et y(t) le nombre des soldats en combat de l’armée A et B à l’instant t, respectivement.

  a) (Modèle simple) L’armée A envoie un flux continu de balles sur l’armée B, et inversement.
Chaque soldat de A possède une puissance de tir α > 0, qui représente le nombre d’unités adverses
que le soldat peut neutraliser (tuer ou blesser) par unité de temps. De la même manière, les de
B possèdent chacun une puissance de tir β > 0. On obtiens le système différentiel :

                          x' = −βy,
                          y' = −αx,

                          avec x(0)= 0 et y(0)= 0

Supposons une bataille où α = 1/9 et β = 4 (les soldats de B sont en avantage), le nombre
d’effectifs de A au début du combat est de 150 unités, et de 90 pour B. Qui gagne la bataille ?
Combien de temps dure-t-elle ? Quel est le nombre total de pertes ? (Le temps t est mesuré en jours)

  b) (Bilan extra : la bataille d’Iwo Jim) On peut considérer aussi les renforcements des deux
armées pendant la bataille : soient f(t) et g(t) les soldats envoyés dans la bataille à l’instant t
par A et B, respectivement. Le modèle incorpore, donc, une partie non homogène :

                         x' = −βy + f(t),
                         y' = −αx + g(t)

                         avec x(0)= 0 et y(0)= 0

Pendant la Seconde Guerre Mondiale, les Etats-Unis (A) se lancent à l’assaut de l’île d’Iwo Jima,
solidement défendue par 21500 soldats de l’armée impériale japonaise (B). L’île était fortifiée par
un réseau de protections souterraines, dont le but ´était d’infliger des pertes sévères aux Allies et
de les décourager d’envahir l’archipel du Japon. On suppose que α =1/100 et β =4/100 , x(0) = 0 et
y(0) = 21500. Les japonais étaient isolés (g(t) = 0), et la politique des renforcements de nouveaux
soldats des Etats-Unis pendant la bataille peut s’exprimer en utilisant la fonction par morceaux : ´
f(t) = 54000 · 1[0,1[(t) + 6000 · 1[2,3[(t) + 13000 · 1[5,6[(t)

Combien des soldats avaient les Etats-Unis et le Japon pendant les premiers six jours ? Combien
de jours dura la bataille ? Quel fut le nombre total de pertes ? Combien d’américains survécurent ?
(Le temps t est mesuré en jours).
(Utiliser une calculatrice ou un logiciel de calcul pour approcher les résultats et comparer avec la
réalité historique de cette sanglante bataille).

Fred

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Re : Lois de Lanchester

Bonjour

  C'est un sujet intéressant et original (en tout cas moi je ne connaissais pas ...). On peut t'aider à résoudre cet exercice mais il faut que tu sois conscient que cela va t'amener à résoudre des équations différentielles qui ne sont pas au programme de Terminale. Il faudra admettre que les solutions sont forcément de cette forme. Par la suite tu devras faire un calcul de primitive qui lui est tout à fait au programme.

F.

Élios

Invité

Re : Lois de Lanchester

Bonjour

  C'est un sujet intéressant et original (en tout cas moi je ne connaissais pas ...). On peut t'aider à résoudre cet exercice mais il faut que tu sois conscient que cela va t'amener à résoudre des équations différentielles qui ne sont pas au programme de Terminale. Il faudra admettre que les solutions sont forcément de cette forme. Par la suite tu devras faire un calcul de primitive qui lui est tout à fait au programme.

F.

  Merci de m'avoir répondu. C'est à dire "de cette forme" ?
Oui ! J'aimerais bien comprendre la méthode de résolution même si elle n'est pas au programme.

Fred

Administrateur

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Re : Lois de Lanchester

Re-

  Si $x'=-\beta y$ et $y'=-\alpha x$, alors en dérivant la première équation, on a
$$x''=-\beta y'=\alpha \beta x.$$ Tu as donc une équation différentielle qui ressemble aux équations différentielles
que tu as en terminale, mais qui fait intervenir des dérivées secondes.
Et là, il faut que tu admettes que les solutions de cette équation sont les fonctions de la forme
$$x(t)=A\exp(\sqrt{\alpha\beta}t)+B\exp(-\sqrt{\alpha\beta}t).$$

Au passage, je ne comprends pas ta condition $x(0)=0$ et $y(0)=0$.

F.

Élios

Invité

Re : Lois de Lanchester

Re-

  Si $x'=-\beta y$ et $y'=-\alpha x$, alors en dérivant la première équation, on a
$$x''=-\beta y'=\alpha \beta x.$$ Tu as donc une équation différentielle qui ressemble aux équations différentielles
que tu as en terminale, mais qui fait intervenir des dérivées secondes.
Et là, il faut que tu admettes que les solutions de cette équation sont les fonctions de la forme
$$x(t)=A\exp(\sqrt{\alpha\beta}t)+B\exp(-\sqrt{\alpha\beta}t).$$

Au passage, je ne comprends pas ta condition $x(0)=0$ et $y(0)=0$.

F.

D'accord, merci beaucoup. Pour ce qui est des conditions elles étaient déjà présente dans l'exercice.

Bonne journée

Séb Bol

Invité

Re : Lois de Lanchester

Bonjour, j'ai moi-même quelques soucis avec ce système d'équations, je cherche à trouver la formule pour xf, chose que j'ai trouvé mais que ne comprends pas (c'est-à-dire je ne sais pas comment y parvenir par le calcul) , voici donc ce que j'ai trouvé :
quand on connait les quantités x (t=0) et y (t=0) et que l'on a y_final = 0 alors
x_final = √(x₀² - β/α . y₀² )

En vous remerciant par avance.

Roro

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Re : Lois de Lanchester

Bonsoir,

Une indication : considère la quantité $\mathcal E(t) = \alpha x(t)^2 - \beta y(t)^2$.

Tu peux vérifier que si $(x,y)$ est une solution de ton système alors $\mathcal E$ est constante (sa dérivée est nulle).

Ainsi, si tu connais $\mathcal E(0)$ alors tu auras $\mathcal E(t)$ pour tout $t$... et alors la réponse à ta question.

Roro.

Dernière modification par Roro (15-05-2024 22:51:39)

Séb Bol

Invité

Re : Lois de Lanchester

Bonsoir,

Une indication : considère la quantité $\mathcal E(t) = \alpha x(t)^2 - \beta y(t)^2$.

Tu peux vérifier que si $(x,y)$ est une solution de ton système alors $\mathcal E$ est constante (sa dérivée est nulle).

Ainsi, si tu connais $\mathcal E(0)$ alors tu auras $\mathcal E(t)$ pour tout $t$... et alors la réponse à ta question.

Roro.

D’accord, effectivement cela me parait bien plus clair et évident maintenant, merci beaucoup !
En vous souhaitant une agréable journée.

Christophe746

Invité

Re : Lois de Lanchester

Re-

  Si $x'=-\beta y$ et $y'=-\alpha x$, alors en dérivant la première équation, on a
$$x''=-\beta y'=\alpha \beta x.$$ Tu as donc une équation différentielle qui ressemble aux équations différentielles
que tu as en terminale, mais qui fait intervenir des dérivées secondes.
Et là, il faut que tu admettes que les solutions de cette équation sont les fonctions de la forme
$$x(t)=A\exp(\sqrt{\alpha\beta}t)+B\exp(-\sqrt{\alpha\beta}t).$$

Au passage, je ne comprends pas ta condition $x(0)=0$ et $y(0)=0$.

F.

re, je ne comprends pas ce qu'il faut faire une fois qu'on admet que les fonctions A et B sont solutions du système, comment on primitive ce genre de fonctions, et quoi faire ensuite, je me sens perdu...

Roro

Membre expert

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Re : Lois de Lanchester

Bonjour,

Dans le message de Fred, $A$ et $B$ sont des constantes réelles, pas des fonctions. Ce qu'il dit c'est que les solutions (fonctions) $x$ auront toujours la forme
$$x(t) = A \mathrm{exp}(\sqrt{\alpha \beta}t) + B \mathrm{exp}(-\sqrt{\alpha \beta}t).$$

Autrement dit, le système admet plein de solution (pour chaque choix de constantes $A$ et $B$ tu as une nouvelle solution).

Une façon de "sélectionner" une unique solution est, par exemple, de connaitre les conditions initiales du système. Ainsi, si tu sais que $x(0)=0$ et que $x'(0)=0$ alors tu auras $A+B=0$ (j'ai remplacé $t$ par $0$ dans l'expression de $x(t)$ ci-dessus), mais aussi $A-B=0$ (j'ai remplacé $t$ par $0$ dans l'expression de $x'(t)$ que j'ai elle-même obtenue en dérivant l'expression de $x(t)$). Dans ce cas, la seule solution correspondra au choix $A=0$ et $B=0$. Ce sera
$$x(t)=0.$$

Si tu pars de condition initiale non nulles (comme $x(0)=1$ et $x'(0)=\sqrt{\alpha \beta}$) tu trouveras une unique solution $x(t)$ non nulle (comme $x(t)= \mathrm{exp}(\sqrt{\alpha \beta}t)$).

Roro.

Dernière modification par Roro (21-05-2024 07:55:36)

Louise176

Invité

Re : Lois de Lanchester

Bonjour,

Je lance une bouteille à la mer, mais j'ai choisi le même sujet que toi pour le grand oral, et je suis aussi en difficulté... Si tu as fini par comprendre comment cela fonctionne, peux-tu me dire si tu as aussi traité Iwo Jiwa, et si oui: comment?

Merci beaucoup (j'espère que tu recevras ce message).

AlbMtn

Invité

Re : Lois de Lanchester

Salut Louise,
Moi aussi je pensais faire mon grand oral dessus, on peut s'entraider si tu veux ^^

Louise176

Invité

Re : Lois de Lanchester

Carrément! Je suis en train de travailler dessus en ce moment. Si tu veux, envoie-moi un mail à : **************** pour éviter de spammer le forum.

[Edit Fred : Pas d'adresse email en clair sur ce forum]

Jordan121

Invité

Re : Lois de Lanchester

Bonjour,

Dans le message de Fred, $A$ et $B$ sont des constantes réelles, pas des fonctions. Ce qu'il dit c'est que les solutions (fonctions) $x$ auront toujours la forme
$$x(t) = A \mathrm{exp}(\sqrt{\alpha \beta}t) + B \mathrm{exp}(-\sqrt{\alpha \beta}t).$$

Autrement dit, le système admet plein de solution (pour chaque choix de constantes $A$ et $B$ tu as une nouvelle solution).

Une façon de "sélectionner" une unique solution est, par exemple, de connaitre les conditions initiales du système. Ainsi, si tu sais que $x(0)=0$ et que $x'(0)=0$ alors tu auras $A+B=0$ (j'ai remplacé $t$ par $0$ dans l'expression de $x(t)$ ci-dessus), mais aussi $A-B=0$ (j'ai remplacé $t$ par $0$ dans l'expression de $x'(t)$ que j'ai elle-même obtenue en dérivant l'expression de $x(t)$). Dans ce cas, la seule solution correspondra au choix $A=0$ et $B=0$. Ce sera
$$x(t)=0.$$

Si tu pars de condition initiale non nulles (comme $x(0)=1$ et $x'(0)=\sqrt{\alpha \beta}$) tu trouveras une unique solution $x(t)$ non nulle (comme $x(t)= \mathrm{exp}(\sqrt{\alpha \beta}t)$).

Roro.

Bonjour,
Sauriez-vous pourquoi on introduit de nouvelles constantes A et B en plus des constantes β et α dans la solution générale ?

Roro

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Re : Lois de Lanchester

Bonjour,

Les constantes $\alpha$ et $\beta$ sont des données du problème.

Une fois ces constantes fixées, le problème a beaucoup de solutions et c'est pourquoi on introduit $A$ et $B$. Ces deux nouvelles constantes servent à paramétrer toutes les solutions.

Ce que je dis à la fin du message que tu cites, c'est que si tu as d'autres données (comme les conditions initiales $x(0)$ et $x'(0)$) alors $A$ et $B$ seront aussi fixées et dépendront de toutes tes données : $\alpha$, $\beta$, $x(0)$ et $x'(0)$.

Roro.

T. M.

Invité

Re : Lois de Lanchester

Bonjour. J'ai choisi le même sujet, et je suis un peu coincé pour la partie mathématiques aussi. Concrètement, je me demande où aller une fois que le système est converti en une seule équation différentielle.
Merci d'avance pour votre aide

Augustin 18

Invité

Re : Lois de Lanchester

Bonjour,

Je cherche un système qui me permettrait de trouver A et B avez vous des idées ??

Fred

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Re : Lois de Lanchester

Bonjour,

  En choisissant $t=0$, tu obtiens déjà que $A+B=x(0).$

Ensuite, tu sait que $y=\frac{-x'}{\beta}.$ Tu peux donc déterminer l'expression de $y$ en fonction de $A$, $B$, $\alpha$ et $\beta,$ puis en regardant à nouveau ce qui se passe au temps $t=0$, tu auras une deuxième équation faisant intervenir $y(0)$ (et $\sqrt \alpha$, $\sqrt \beta$).

F.

Coto Garcia

Invité

Re : Lois de Lanchester

Bonjour, je fais moi même mon Grand Oral sur ce sujet, et j'aimerai savoir comment je peux réussir a modéliser un conflit concret ( comme iwo jima ) ?
Merci

louis pouliquen

Invité

Re : Lois de Lanchester

Bonjour, je fais moi même mon Grand Oral sur ce sujet, et j'aimerai savoir comment je peux réussir a modéliser un conflit concret ( comme iwo jima ) ?
Merci

Bonjour je réalise également mon grand oral de mathématiques sur ce sujet en essayant d'utiliser la formule final lorsque Xfinal=O Yfinal=√(x02 - α/β . y02 ) or a et b sont des constantes et X0 et Y0 sont connus on devrait avoir un résultat cohérent pourtant je ne trouve pas de résultat en nombre de soldat inférieur au nombre de soldat de départ ce qui n'est pas normal

Roro

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Re : Lois de Lanchester

Bonjour,

Tu ne trouves pas la bonne valeur car tu as fais une erreur de calcul : puisque $\alpha x(t)^2 - \beta y(t)^2$ est constant, tu as
$$\alpha x(0)^2 - \beta y(0)^2 = \alpha x(t_f)^2 - \beta y(t_f)^2,$$
où j'ai noté $t_f$ la fin de la bataille, c'est-à-dire lorsque $x(t_f)=0$.
Tu en déduis donc
$$y(t_f) = \sqrt{y(0)^2-\frac{\alpha}{\beta}x(0)^2},$$
qui est bien inférieur à $y(0)$.

Roro.

pouliquen louis

Membre

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Re : Lois de Lanchester

très bien merci et je voulais également savoir si il était possible que vous m'expliquiez la résolution du problème d'iwo jima a l'aide du modèle de lanchester avec une formule permettant de décrire chaque jour t le nombre de perte de chaque coté

Fred

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Re : Lois de Lanchester

Bonjour,

  C'est sans doute trop tard pour ceux qui ont préparé leur grand oral suffisamment en avance,
mais je ne connaissais pas ce modèle et ces lois de Lanchester, et j'ai trouvé cela particulièrement intéressant !
J'en ai fait une page du site : https://www.bibmath.net/quotidien/index … lanchester

Bonne lecture, et n'hésitez pas à me signaler s'il y a des erreurs, des fautes d'orthographe, ou des explications incompréhensibles ...

F.

Roro

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Re : Lois de Lanchester

Salut,

Elle est super cette page :

J'en ai fait une page du site : https://www.bibmath.net/quotidien/index … lanchester

et la comparaison avec le cas réel est bluffant !

Roro.

Valentin D.

Invité

Re : Lois de Lanchester

Bonjour Fred,

Je voulais juste vous remercier pour le magnifique travail que vous avez réalisé sur les lois de Lanchester et la modélisation de la guerre. Je fais moi-même mon grand oral sur cette thématique et je n'aurais pas pu y arriver sans vous.
Encore un grand merci à vous et aux autres contributeurs pour leur aide.

Valentin