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Obelix752

Invité

Suite de Cauchy.

Bonsoir,

Soit [tex](u_{n})_{ n \geq 0 }[/tex] une suite d'un espace métrique [tex]X[/tex] non nécessairement complet.
Supposons que, [tex]\displaystyle \lim_{ n \to + \infty } d(u_{n+1} , u_{n}) = 0[/tex].
- Est ce que, [tex](u_{n})_{ n \geq 0 }[/tex] est une suite de Cauchy ?
- Si, oui, supposons que, [tex](u_{n})_{ n \geq 0 }[/tex] ne converge pas dans [tex]X[/tex], est ce que, [tex] \{ \ u_n | \ n \in \mathbb{N} \ \}[/tex] est un ensemble discret non dénombrable ?
- Si, oui, supposons que, [tex](u_{n})_{ n \geq 0 }[/tex] converge dans [tex]X[/tex], est ce que, [tex]\{ \ u_n | \ n \in \mathbb{N} \ \}[/tex] est un ensemble discret dénombrable ?

Merci d'avance.

Fred

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Re : Suite de Cauchy.

Bonjour,

  La réponse à ta première question est non : prends $X=\mathbb R$ et $u_n=1+1/2+\cdots+1/n.$
Elle vérifie $|u_{n+1}-u_n|\to 0$ et n'est pas une suite de Cauchy puisqu'elle ne converge pas.

F.

Obelix751

Invité

Re : Suite de Cauchy.

Bonjour,

Merci beaucoup pour ton contre-exemple Fred.

Je modifie légèrement l'énoncé pour voir si ça peut marcher maintenant,

Soit [tex](u_{n})_{ n \geq 0 }[/tex] une suite de Cauchy d'un espace métrique [tex] (X,d) [/tex] non nécessairement complet.
-  Supposons que, [tex](u_{n})_{ n \geq 0 }[/tex] ne converge pas dans [tex]X[/tex], est ce que, [tex] \{ \ u_n | \ n \in \mathbb{N} \ \}[/tex] est un ensemble discret non dénombrable ?
- Supposons que, [tex](u_{n})_{ n \geq 0 }[/tex] converge dans [tex]X[/tex], est ce que, [tex]\{ \ u_n | \ n \in \mathbb{N} \ \}[/tex] est un ensemble discret dénombrable ?

Merci d'avance.

Fred

Administrateur

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Re : Suite de Cauchy.

Bonjour,

  D'abord, $\{u_n:\ n\in\mathbb N\}$ est forcément un ensemble fini ou dénombrable, par définition d'un ensemble dénombrable, et cela n'a rien à voir avec la convergence ou les suites de Cauchy.
Pour la deuxième question, l'ensemble n'est pas forcément discret. Si la limite est un terme de la suite, par définition, ce n'est pas un point isolé de $\{u_n:\ n\in\mathbb N\}$.

Pour la première question, je crois que la réponse est positive. Si $\{u_n:\ n\in\mathbb N\}$ n'est pas discret, alors la suite $(u_n)$ admet une valeur d'adhérence. Et une suite de Cauchy qui admet une valeur d'adhérence est forcément convergente.

F.