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Théorème

Invité

Ensemble quotient.

Bonsoir,

Soit [tex]E[/tex] un ensemble muni de deux relations d'équivalences [tex]R_1[/tex] et [tex]R_2[/tex] tel que pour tous [tex]x,y \in E[/tex], [tex]x R_1 y \ \Longrightarrow \ x R_2 y[/tex].
Soient [tex]E/R_1[/tex] et [tex]E/R_2[/tex] les espaces quotients correspondants.
Quant a-t-on [tex]E/R_1 \subseteq E/R_2[/tex], et pourquoi ?

Merci d'avance.

Fred

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Messages : 7 352

Re : Ensemble quotient.

Bonjour,

  Puisque $E/R_1$ et $E/R_2$ forment une partition de $E,$ l'inclusion $E/R_1\subset E/R_2$ entraîne que l'on a en réalité $E/R_1=E/R_2$ (il ne peut pas y avoir de parties de $E$ dans $E/R_2$ qui n'est pas dans $E/R_1$ car elle intersecterait forcément une partie de $E/R_1$, donc une partie de $E/R_2$, ce qui est impossible).
Ainsi, $E/R_1\subset E/R_2\iff E/R_1=E/R_2$. Et ceci revient à dire que $xR_1 y\iff x R_2 y.$

F.