Forum de mathématiques - Bibm@th.net

ArthurPrime

Invité

Nature d'une série à valeurs dans C

Bonsoir,

Pourriez vous m'aider sur la nature de la série de terme générale n/((1+2i)^n) ?
Je ne comprends pas comment procéder si ce n'est avec convergence absolue et encore (je suis preneur de suggestions de majoration, minoration de la somme partielle).

Bonne soirée,
Cdt

Ginger40

Membre

Inscription : 22-11-2022

Messages : 35

Re : Nature d'une série à valeurs dans C

Bonjour,

Il va effectivement falloir utiliser la convergence absolue. Ce théorème est assez pratique car si la série converge en module (ce qui est beaucoup plus facile à étudier car c'est une série de termes positifs), alors elle converge dans $\mathbb{C}$ (on n'a presque pas besoin de travailler sur les complexes !)

Tu devrais essayer de calculer le module des $u_n = \frac{n}{(1+2i)^n}$ et essayer de le majorer pour avoir la convergence de ta série.

ArthurPrime

Invité

Re : Nature d'une série à valeurs dans C

Bonjour,

est-ce que si on arrive au stade de n/(racine de 5^n et qu'on applique la règle de D'Alembert, on trouve que |un+1/un| tend vers 1/racine de 5 ce qui est inférieur à 1 la série des |un| converge donc un converge abs. donc un converge?

Ginger40

Membre

Inscription : 22-11-2022

Messages : 35

Re : Nature d'une série à valeurs dans C

Oui ça fonctionne ! (Attention à bien dire "la série des $u_n$ converge absolument, donc cette série converge", et pas "$u_n$ converge absolument donc $u_n$ converge").

Par contre petit conseil perso : d'Alembert c'est assez fort mais c'est plutôt du dernier recours que du premier réflexe, à utiliser quand on n'a plus d'idée.
Comme elle est simple et efficace, cette règle est parfois abusivement utilisée (i.e. regarder $\lim \frac{u_{n+1}}{u_n}$ sans avant étudier si ça a un sens), donc nombreux sont les pièges en exercices où d'Alembert n'est pas applicable ! Pour ne citer qu'un parmi tant d'autres :
Etude de la convergence de la série entière :
$$
\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{1}{ \cos(2\pi n /3)}x^n
$$
Notamment ici, d'Alembert c'est un peu un marteau-pilon pour écraser une mouche !
Une comparaison de série à terme positifs fait très bien l'affaire :
$$
n\sqrt{5}^{-n} = ne^{-n\ln(5)/2} = o \left( \frac{1}{n^2}\right)
$$

ArthurPrime

Invité

Re : Nature d'une série à valeurs dans C

Bonjour, effectivement, on excusera mon abus de langage. Je vois ce que vous voulez dire, en revanche pour la série entière, je pense qu'en sup (pcsi), je n'ai pas ou juste je ne vois pas comment parvenir à étudier la convergence (je suis quand même curieux de savoir).

Ginger40

Membre

Inscription : 22-11-2022

Messages : 35

Re : Nature d'une série à valeurs dans C

Bonjour,

Tu verras les séries entières en spé, pas d'inquiétude !
En fait l'exercice consiste à trouver les $x\in\mathbb{R}$ tels que la série converge. Ici d'Alembert n'est pas utilisable car la suite du quotient des $\cos$ n'aura pas de limite. A ton niveau, comme tu ne connais pas les séries entières tu ne dois pas connaître la notion de rayon de convergence, donc l'étude de la convergence de la série sera un peu plus compliqué (mais pas impossible, surtout avec des questions préliminaires pour aider).
Tu as un résumé du cours ici. Si ça t'intéresse, lis-le, après à part si tu es en avance ou que tu as du temps à perdre ne passe pas non plus trop de temps là-dessus car tu le verras en spé.

ArthurPrime

Invité

Re : Nature d'une série à valeurs dans C

Bonsoir,
Oui je viens de voir c'est un peu effrayant même si ça doit se faire. J'ai déjà entendu parler de ses rayons de convergence mais aucune application directe. De même, je comprends que d'Alembert soit inutilisable, j'aimerai bien voir la tête du un+1/un... J'estime pas être en avance, juste un peu curieux et en recherche d'exos compliqués dans le cadre du programme de cette année déjà ahahah.
Merci beaucoup en tout cas des conseils !
Bonne soirée,
A.