Forum de mathématiques - Bibm@th.net

ArthurPrime

Invité

Nature d'une série

Bonsoir,

je ne comprends pas très bien la nature de cette série un=ln(1+((-1)^n)/(n^0.5)) qui serait divergente. On doit utiliser le DL de ln(1+h), le problème étant que si on l'utilise à l'ordre 1, je trouve que la série est convergente par le critère spécial des séries alternées.

Pouvez-vous m'éclairer?
Bonne soirée,
Cdt.

Black Jack

Membre

Inscription : 15-12-2017

Messages : 506

Re : Nature d'une série

Bonjour,

Si les parenthèses sont bien écrites ... u1 n'existe pas.

un=ln(1+((-1)^n)/(n^0.5))
u1=ln(1+((-1)/1)) = ln(0) ???

Ginger40

Membre

Inscription : 22-11-2022

Messages : 35

Re : Nature d'une série

Bonjour,

Black Jack a raison, $u_1$ n'est pas définie. Après, pour compléter sa réponse, on va étudier la comportement de la suite en l'infini pour voir si la série diverge.

Effectivement si tu fais le DL de ta série à l'ordre 1 tu obtiens :
$$
\ln \left( 1 + \frac{(-1)^n}{\sqrt{n}} \right) = \frac{(-1)^n}{\sqrt{n}} + o\left( \frac{1}{\sqrt{n}} \right)
$$

La série alternée est bien convergente, mais le problème c'est que dans ton petit $o$ tu n'as pas une série absolument convergente, donc tu ne peux pas conclure.

Si tu te réfères au bas de cette page, il faut que tu fasses ton DL à un ordre où ton petit $o$ soit une série absolument convergente, et ici ça sera l'ordre 3. Puis il faudra étudier ce qu'il y a avant ton petit $o$ (spoiler : ça sera divergent).

ArthurPrime

Invité

Re : Nature d'une série

Bonsoir,

merci beaucoup à vous, j'ai compris, c'est l'explication que j'attendais et oui ça diverge mais je comprenais pas pourquoi et la suite est défini pour tout n supérieur ou égal à 2 même si ça ne change pas la question.

Bonne soirée,