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Strajesko

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Question d'analyse vectorielle

Bonjour, je suis en stage de M2 en mécanique des fluide et dans le cadre de ma recherche bibliographique je fais face à un résultat d'analyse vectorielle que j'ai du mal à comprendre, je m'excuse d'avance pour le formalisme de mécanicien qui j'imagine sera perçu comme un peu barbare pour des matheux :)

Le problème s'inscrit dans le contexte des écoulements diphasiques, on considère un volume d'intégration [tex] V[/tex] et deux sous volumes disjoints [tex]V_{p}[/tex] et [tex]V_{f}[/tex] tels que [tex]V_{p} \cup V_{f} = V[/tex]

On introduit une fonction indicatrice de phase  : [tex] \chi(\overrightarrow{y}) = 1[/tex] si [tex] \overrightarrow{y} \in V_{p}[/tex] et [tex] \chi(\overrightarrow{y}) = 0[/tex] si [tex] \overrightarrow{y} \in V_{f}[/tex]

On définit une moyenne volumique pour la grandeur vectorielle quelconque [tex]\overrightarrow{\xi}[/tex] tel que  :
[tex] \phi(\overrightarrow{x})<\overrightarrow{\xi}(\overrightarrow{x}) > ^p= \int_{V_{p}} \overrightarrow{\xi}(\overrightarrow{y}) g(\overrightarrow{x},\overrightarrow{y}) dV_{y} [/tex]

[tex]g[/tex] est défini tel que [tex]\int_{V}  g(\overrightarrow{x},\overrightarrow{y}) dV_{y} = 1  \quad \forall \overrightarrow{x}[/tex]
[tex]\phi[/tex] tel que [tex]\phi(\overrightarrow{x}) = \int_{V_{p}} g(\overrightarrow{x},\overrightarrow{y})  dV_{y} \quad \forall \overrightarrow{x}[/tex]

Le résultat qui me pose problème est le suivant :

[tex] \phi(\overrightarrow{x})<\nabla . \overrightarrow{\xi}(\overrightarrow{x}) > ^p =\nabla . [\phi(\overrightarrow{x}) <\overrightarrow{\xi}(\overrightarrow{x}) > ^p ] + \int_{S_{p}} \overrightarrow{n} . \overrightarrow{\xi}(\overrightarrow{y}) g(\overrightarrow{x},\overrightarrow{y}) dS_{y} [/tex]

En repartant de la définition de la moyenne j'arrive à retrouver le deuxième terme de droite l'égalité via le théorème de la divergence mais je n'arrive pas à sortir le premier terme en [tex]\nabla .[\phi(\overrightarrow{x}) <\overrightarrow{\xi}(\overrightarrow{x}) > ^p ] [/tex]

Dans mon calcul je me retrouve comme il suit : [tex] \phi(\overrightarrow{x})<\nabla . \overrightarrow{\xi}(\overrightarrow{x}) > ^p = - \int_{V_{p}} \overrightarrow{\xi}(\overrightarrow{y}) . \nabla(g(\overrightarrow{x},\overrightarrow{y}))  dV_{y} + \int_{S_{p}} \overrightarrow{n} . \overrightarrow{\xi}(\overrightarrow{y}) g(\overrightarrow{x},\overrightarrow{y}) dS_{y} [/tex]

Il s'emblerait donc que -[tex]\nabla .[\phi(\overrightarrow{x}) <\overrightarrow{\xi}(\overrightarrow{x}) > ^p ] = \int_{V_{p}} \overrightarrow{\xi}(\overrightarrow{y}) . \nabla(g(\overrightarrow{x},\overrightarrow{y}))  dV_{y} [/tex] mais je n'arrive pas bien à comprendre comment obtenir un tel résultat.

Merci d'avance et n'hésitez pas à me reprendre si je dois clarifier des notations ou corriger le formalisme :)

Dernière modification par Strajesko (05-04-2024 10:14:37)

Roro

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Re : Question d'analyse vectorielle

Bonsoir,

J'ai moi aussi un peu de mal à retrouver ce qu'il faut même si le résultat semble correct !
Tu n'as pas d'hypothèse sur $g$ ? Comme par exemple $g(x,y)=-g(y,x)$ ?

Autres questions/remarques : pourquoi parles-tu de la fonction $\chi$ ?

Pour moi, on a par exemple

$$\boldsymbol{\nabla} \cdot (\phi(x) \langle \boldsymbol{\xi}(x) \rangle = \boldsymbol{\nabla} \cdot \Big( \int_{V_p} \boldsymbol{\xi}(y) g(x,y) \mathrm dy \Big) =  \int_{V_p} \boldsymbol{\xi}(y) \cdot \boldsymbol{\nabla}_x g(x,y) \mathrm dy$$

mais évidemment, j'ai supposé que $V_p$ est indépendant de $x$...

Roro.

Dernière modification par Roro (04-04-2024 21:28:19)

Strajesko

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Re : Question d'analyse vectorielle

Bonjour Roro,

J'ai introduit l'indicatrice de phase parce que c'est ce qui permet de définir les fractions volumiques [tex] \phi [/tex] mais j'ai sauté cette étape dans mon développement après.

Dans certains papiers je trouve que [tex]\nabla_{y} g = - \nabla_{x} g[/tex] (même si je ne comprends pas trop la justification physique ou mathématique).

Concernant la dépendance de [tex]V_{p}[/tex] à [tex]x[/tex] ce n'est pas très clair, j'avais l'impression que l'indépendance sous entendait des hypothèses un peu trop fortes vis à vis du système physique étudié mais c'est peut être bien ça qu'il y a derrière en fait. Je vais peut être m'en tenir à cette compréhension du problème.

Dernière modification par yoshi (05-04-2024 10:08:48)

Strajesko

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Re : Question d'analyse vectorielle

Bon par conséquent en admettant que [tex]\nabla_{y} g = - \nabla_{x} g[/tex] et que [tex]V_{p}[/tex] ne dépend pas de [tex]\textbf{x}[/tex] la réponse est immédiate merci

Roro

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Re : Question d'analyse vectorielle

Bonjour,

En effet, cette hypothèse règle le problème. Si tu sais pourquoi on peut supposer que $g(x,y)=-g(y,x)$ je suis preneur... en fait, j'ai du mal à comprendre comment est définie $g$ et ce que ça représente...

Roro.