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Borassus

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Comment désigner le rapport u' sur u ?

Bonjour à tous,

J'explique l'utilité de la fonction $ln(u)$ en disant qu'elle permet, sur le plan graphique, de tracer des courbes devenant très vite intraçables du fait de la forte variation de la fonction considérée, l'exemple type étant les fonctions exponentielles.
(Par exemple, $2^{10} = 1 \: 024$ — dix carreaux vers la droite, 1 024 carreaux vers le haut —,
$2^{15} = 32 \: 768$ — 15 carreaux vers la droite, plus de 32 700 carreaux vers le haut.)
Au passage, cela me permet aussi d'expliquer le principe d'une échelle logarithmique.

J'explique aussi que la dérivée de $ln(u)$ obéit au principe général de la dérivation des fonctions composées : dérivée de la fonction "contenante" par rapport à sa variable, multipliée par la dérivée de la fonction "contenue" par rapport à sa propre variable, et donc que l'écriture logique de départ est $(ln (u))' = \dfrac 1 u \times u'$, qui, par simplification, devient la formule faisant quasiment loi $(ln (u))' = \dfrac {u'} u$, alors qu'il n'y pas de formule à apprendre, seulement une logique répétitive : dérivée de la fonction $ln$ par rapport à sa variable $u$, multipliée par le dérivée de $u$ par rapport à sa propre variable.

Néanmoins, la formule $(ln (u))' = \dfrac {u'} u$ m'interpelle, car elle correspond pour moi à une comparaison relative de la pente en un point $x_0$ de la courbe $y = u(x)$ par rapport à la valeur prise par $u$ pour cette valeur.

Par exemple, pour $u(x) = x^2$,    $\dfrac {u'(x)}{u(x)} = \dfrac{2x}{x^2} = \dfrac 2 x$.

Donc, lorsque la variable $x$ croît, l'élément prédominant est la valeur de la fonction carré, la pente devenant secondaire.
Dit autrement, la valeur du carré augmente beaucoup plus rapidement que la pente, qui pourtant se rapproche rapidement de la verticale.

Pour apporter une pierre supplémentaire à ma quête permanente d'une compréhension "hors des chemins battus", quelle appellation donneriez-vous au quotient $\dfrac {u'} u$ permettant de mettre en exergue le fait que ce quotient peut être interprété comme une comparaison relative ?

Aussi, compte  tenu de cette comparaison relative, comment nommer, en amont, le logarithme népérien d'une fonction ?

Peut-être notre éminent linguiste @jelobreuil  peut-il nous proposer des appellations elles aussi "hors des chemins battus" ?  :-)

Merci d'avance de vos suggestions, et des avancées qu'elles m'apporteront très certainement,
bien cordialement,
Bor.

Dernière modification par Borassus (03-04-2024 13:17:54)

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Maxence1402

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Re : Comment désigner le rapport u' sur u ?

Bonjour Borassus,

Pour donner une réponse rapide, on appelle le quotient [tex]\frac{u'}{u}[/tex] la dérivée logarithmique (cf. Wikipédia). C'est une grandeur souvent utilisée en physique, notamment quand une grandeur s'exprime comme produit de plusieurs autres grandeurs (la dérivée logarithmique d'un produit est la somme des dérivées logarithmiques), et permet de voir la contribution de chaque facteur à la variation de la grandeur produit.

Borassus

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Re : Comment désigner le rapport u' sur u ?

Bonsoir Maxence,

Merci de cette réponse qui m'ouvre des voies de compréhension supplémentaires. Je vais creuser la question pour mieux en comprendre l'apport.

Je reviens toutefois à mon idée de comparaison relative :
Reprenons mon exemple de la fonction carré, dont la dérivée logarithmique est $\dfrac 2 x$.
Lorsque $x$ est comprise entre 0 et 2, le rapport $\dfrac {u'} u$ est plus grand que 1 ; il est plus petit que 1 pour $x > 2$.

J'interprète ces deux inégalités comme suit :
Jusqu'à 2, la courbe "accélère" fortement, ce qui est graphiquement visible. La pente est donc prédominante sur la valeur.
Au-delà de 2, l'accroissement de la pente (la "verticalisation de la courbe") n'est plus fortement perceptible. La valeur prédomine alors par rapport à la pente.
Plus généralement, pour une puissance $n$ supérieure à 1, la courbe accélère fortement jusqu'à $n$, puis nettement plus lentement au-delà de $n$.

De la même façon, pour la fonction racine carrée, dont la dérivée logarithmique est $\dfrac 1 {2x}$, la courbe accélère fortement entre 0 et 1/2. La pente prédomine donc sur la valeur. Ensuite, "l'horizontalisation de la courbe" devient de moins en moins perceptible. La valeur prédomine alors sur la pente.
Plus généralement, pour une racine n-ième, la courbe s'accélère fortement jusqu'à $\dfrac 1 n$, puis nettement plus lentement au-delà.

La dérivée logarithmique représente donc à mon sens une sorte "d'indice d'accélération" de la courbe : l'accélération est forte lorsque la dérivée logarithmique est supérieure à 1 ; elle devient de plus en plus faible lorsque la dérivée logarithmique se rapproche de 0.

C'est dans cette direction que j'aimerais trouver une expression qui traduise au mieux la comparaison relative (la croissance comparée ?) entre la pente et la valeur de la fonction, et qui traduise au mieux cet "indice d'accélération".

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Borassus

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Re : Comment désigner le rapport u' sur u ?

Bonjour,

Vous trouverez ci-joint les courbes $y = x^2$ et $y = \sqrt x$ avec les courbes des dérivées logarithmiques correspondantes ($y = \dfrac 2 x$ pour la première ; $y = \dfrac 1 {2x}$ pour la seconde) : https://www.cjoint.com/c/NDeh1sULFCD

Sur les quatre courbes j'ai placé le point à partir duquel la pente cède le pas à la valeur, c'est-à-dire à partir duquel l'accélération de la courbe principale devient moins perceptible.

Mon idée "d'indice d'accélération" se heurte cependant à un petit obstacle : si $u(x) = x$, sa dérivée logarithmique est $\dfrac 1 x$ — le $1$ du numérateur doit être interprété comme celui de la dérivée de $x$ par rapport à elle-même, et non comme le $1$ de la fonction inverse — alors que la droite $y = x$ ne présente a priori aucune accélération.
Comment interpréteriez cette particularité ?

Par contre, si $u(x) = e^x$, la dérivée logarithmique est $\dfrac {e^x}{e^x} = 1$.
Comme en chaque point la pente est égal à la valeur, elles contribuent à part égale à l'évolution de la courbe.

Bonne journée, malgré la forte pluie (du moins en région parisienne)

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jelobreuil

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Re : Comment désigner le rapport u' sur u ?

Bonsoir Borassus,
Je te l'avoue : j'ai lu ton message d'ouverture le soir où tu l'as publié, et depuis, j'y réfléchis de temps en temps ... Mais jusqu'à présent, je n'ai rien trouvé de satisfaisant !
Tout d'abord, je me permets une remarque : l'expression "comparaison relative" ne constitue rien d'autre qu'un pléonasme, dans la mesure où toute comparaison est relative, je dirais même, relative par essence ...
Concernant le rapport u'/u, la dérivée u' étant définie comme le rapport de l'accroissement de la fonction à celui de la variable, la "dimension" de u'/u est celle de l'inverse de la variable : par exemple, dans le cas du déplacement d'un mobile en fonction du temps, lequel est la variable, la fonction est la distance parcourue, la dérivée est la vitesse instantanée, le rapport dérivée/fonction sera donc (vitesse instantanée)/(distance parcourue) et la dimension de ce rapport sera L.T^-1/L = T^-1 ... l'inverse d'un temps ...
D'autre part, j'avoue ne pas être d'accord avec toi quand tu affirmes que la courbe de la parabole "accélère" moins fortement, à partir de x = 2, qu'elle ne le fait quand x est inférieur à 2 : d'une part, parce que, si je reprends l'image physique de la chute d'un corps selon une trajectoire parabolique, l'accélération de la pesanteur est constante, et d'autre part, dans le cas de la parabole d'équation y = x^2, la courbe devient de plus en plus verticale à mesure que x augmente, alors que tu me sembles écrire le contraire ...
J'ai donc plutôt l'impression que c'est le rapport inverse, u/u', qui pourrait représenter effectivement un "indice d'accélération" ... Et donc, le rapport u'/u en serait l'inverse ...
Il me semble plus naturel de voir, en guise d'indice d'accélération, le rapport d'une valeur, atteinte par une fonction pour une certaine valeur de la variable, à la valeur du taux d'accroissement de cette fonction pour cette valeur de la variable.
Qu'en penses-tu ?
En toute amitié, JLB

Borassus

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Re : Comment désigner le rapport u' sur u ?

Bonsoir ou bonjour jelobreuil, bonsoir ou bonjour à ceux qui entrent dans ce n-ième message borassussien,

Tout d'abord, merci de nouveau de réfléchir de temps en temps à mes questions saugrenues concernant la recherche d'un sens !
Et de m'apporter ton regard qui fait évoluer ma compréhension curieuse !

Tout d'abord, je me permets une remarque : l'expression "comparaison relative" ne constitue rien d'autre qu'un pléonasme, dans la mesure où toute comparaison est relative, je dirais même, relative par essence ...

Je retrouve là notre linguiste distingué ! :-)
Effectivement, une "comparaison relative" est un beau pléonasme car toute comparaison est effectuée par rapport à une référence.
Dorénavant, j'utiliserai les expressions "comparaison par différence" et "comparaison par ratio" (plutôt que par quotient, le terme "ratio" impliquant de lui-même une comparaison).
Merci, jelobreuil !

Concernant le rapport u'/u, la dérivée u' étant définie comme le rapport de l'accroissement de la fonction à celui de la variable, la "dimension" de u'/u est celle de l'inverse de la variable : par exemple, dans le cas du déplacement d'un mobile en fonction du temps, lequel est la variable, la fonction est la distance parcourue, la dérivée est la vitesse instantanée, le rapport dérivée/fonction sera donc (vitesse instantanée)/(distance parcourue) et la dimension de ce rapport sera L.T^-1/L = T^-1 ... l'inverse d'un temps ...

Oh que cette vision est intéressante !
Plus la variable croît, plus le ratio u'/u décroît — à l'inverse, plus la valeur de la variable décroît, plus le ratio croît, sans même avoir à calculer l'expression de ce ratio pour une fonction $u$ particulière.
Je retrouve là notre jelobreuil apportant son regard autre et nouveau !

Petite note en passant : La "dimension" d'une expression n'est pas du tout perçue lors de l'écriture de la représentation d'une fonction.
Par exemple, si on considère qu'une abscisse et une ordonnée ont pour dimension une longueur — au collège, on parle bien de "distance à zéro" —, écrire $y = x^2$ revient à écrire allègrement qu'une longueur est égale à une aire.  :-)

Cette confusion provient du fait que le coefficient de $x^2$ est $1$, et que ce $1$ a une dimension inverse d'une longueur. L'écriture $y = 1x^2$ est alors homogène : $L = L^{-1} \times L^2 = L$.

Dans cette même logique, dans $y = ax^2 + bx + c$, $a$ a une dimension $L^{-1}$, $b$ est un nombre sans dimension, et $c$ a une dimension $L$.

D'autre part, j'avoue ne pas être d'accord avec toi quand tu affirmes que la courbe de la parabole "accélère" moins fortement, à partir de x = 2, qu'elle ne le fait quand x est inférieur à 2 : d'une part, parce que, si je reprends l'image physique de la chute d'un corps selon une trajectoire parabolique, l'accélération de la pesanteur est constante, et d'autre part, dans le cas de la parabole d'équation y = x^2, la courbe devient de plus en plus verticale à mesure que x augmente, alors que tu me sembles écrire le contraire ...

Je n'écris pas que la courbe $y = x^2$ devient moins verticale !
J'écris que la "verticalisation" devient de moins en moins sensible, et que c'est l'évolution de la fonction — 4, puis 9, puis 16, puis 25... — qui prend (nettement) le dessus sur celle de la pente — 2, puis 6, puis 8, puis 10...).

Pour illustrer cela, j'ai tracé sur GeoGebra les tangentes aux points d'abscisse 0.5, 1, 2, 3, 4, avec les angles correspondants — voir mon post d'aujourd'hui dans la discussion « Qui veut de la géométrie "à l'ancienne" ? » lancée par notre vénérable yoshi — , ainsi qu'avec les ratios u'/u correspondants : https://www.cjoint.com/c/NDirM068PcD. 

J'ai donc plutôt l'impression que c'est le rapport inverse, u/u', qui pourrait représenter effectivement un "indice d'accélération" ... Et donc, le rapport u'/u en serait l'inverse ...

J'étais intrigué par le rapport u'/u qu'on voit si souvent dans les formulaires de dérivation à propos de la dérivée de $\ln (u)$ et qu'on appelle "dérivée logarithmique". (Merci Maxence !)

Il me semble plus naturel de voir, en guise d'indice d'accélération, le rapport d'une valeur, atteinte par une fonction pour une certaine valeur de la variable, à la valeur du taux d'accroissement de cette fonction pour cette valeur de la variable.

On peut le voir effectivement comme cela, car la valeur de la variable devient de plus en plus "majoritaire" par rapport à la dérivée.
Si on garde ce fameux ratio u'/u, il pourrait être désigné en tant que "indice de décélération".

Merci encore, jelobreuil, de t'intéresser aux questions inhabituelles que je pose.

Bien amicalement,
Borassus.

Dernière modification par Borassus (08-04-2024 23:46:45)

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A condition qu'elle soit gênante, l'incompréhension est la clé de la compréhension.
« Pourquoi ? » est sans doute le principal moteur de la connaissance.
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jelobreuil

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Re : Comment désigner le rapport u' sur u ?

Bonsoir, Borassus, et tous les autres,
Concernant mon laïus sur la "dimension", c'est à dessein, tu l'auras compris, que j'avais mis des guillemets : je sais bien qu'en maths, ce mot désigne tout autre chose qu'en physique, et que ce que j'en ai écrit est, pour le moins, un tantinet capillotracté, car en fait, dans le cas d'une fonction, de quelque degré que ce soit, sa valeur n'est qu'un nombre, dit justement "sans dimension",  de même que la variable et les éventuels coefficients et constantes intervenant dans l'expression mathématique de la fonction : dirais-tu que la racine d'un nombre, ou son cosinus, est autre chose qu'un nombre ?
Pour en revenir au rapport u'/u, dont tu écris qu'il pourrait représenter en quelque sorte un "indice de décélération" si l'on admet que u/u' représente un "indice d'accélération", je reconnais que c'est tentant, mais cela me semble gênant, je ne saurais trop t'expliquer pourquoi ...
En fait, plus j'y réfléchis, plus je lis ce que tu as écrit aujourd'hui "la verticalisation devient de moins en moins sensible", et plus je pense que c'est cette notion de verticalisation qu'il faut faire ressortir, tout en gommant autant que faire se peut son aspect purement graphique, mais je ne trouve pas que le terme "accélération" soit bien approprié pour ce faire, car il renvoie à une notion bien trop physique.
Reprenons : tu dis "la verticalisation devient de moins en moins sensible", et j'entrevois ce que tu veux dire : la courbe représentant la fonction y = x^2 devient de plus en plus verticale, mais c'est ce rapprochement de la verticale qui s'effectue de moins en moins "vite" quand x croît : c'est l'écart à la verticale qui diminue, et moins fortement entre 3 et 4 qu'entre 2 et 3 ...
Et qu'en est-il pour la fonction u = sin(x) ? Alors u'/u = tan(x), et pour x = pi/2, u'/u devient infini, et l'écart de la tangente à la courbe par rapport à la verticale est lui aussi infini, puisque cette tangente est horizontale ...
Bon, allez, j'ai assez phosphoré pour ce soir ... mais je ne lâche pas l'affaire, rassure-toi !
Bonne nuit, en toute amitié, JLB
PS en me relisant, me vient à l'esprit "indice de redressement" ... à creuser ?

Dernière modification par jelobreuil (08-04-2024 23:03:20)