Questions pour ne pas perdre la boule à propos des sphères et boules

Borassus · 28-03-2024 13:20:36

Bonjour à tous,

Comment démontrer mathématiquement que le volume d'une boule (d'une sphère ?) est égal au deux-tiers du celui du cylindre qui le contient, ce qui permet ensuite de calculer son volume $\dfrac 4 3 \pi r^3$ ?

Un volume est souvent interprété comme étant le produit d'une aire par une longueur.
L'aide de la sphère étant $4 \pi r^2$, la longueur correspondant au volume est $\dfrac r 3$. Quelle peut alors être la signification de cette longueur $\dfrac r 3$ ?

Comment d'ailleurs se démontre mathématiquement que l'aire de la sphère est égale à $4 \pi r^2$ ?

Pourquoi l'aire de la sphère est 4 fois l'aire d'un "grand disque" (c'est-dire l'aire formée par un grand cercle de la sphère) ?

Merci d'avance de vos précieuses réponses.

PS : Borassus sur Bim@th :-) : https://www.cjoint.com/c/NCClsvFUGBD

Dernière modification par Borassus (28-03-2024 13:26:58)

Roro · 28-03-2024 13:43:06

Bonjour,

Pour réfléchir : la dérivée de la fonction $\displaystyle r\longmapsto \frac{4}{3}\pi r^3$ est la fonction $r\longmapsto 4\pi r^2$...

Et si vous n'êtes pas convaincu, vous savez aussi que la dérivée de la fonction $\displaystyle r\longmapsto \pi r^2$ est la fonction $r\longmapsto 2\pi r$ : un lien entre surface et périmètre d'un disque.

Roro.

Dernière modification par Roro (28-03-2024 13:45:01)

Borassus · 28-03-2024 14:06:57

Bonjour Roro,

Merci de ta réponse !

C'est précisément la question que je me suis souvent posée : la primitive du périmètre est l'aire du disque ; la primitive de l'aire du disque est le volume de la sphère.

Comment concrètement interpréter cette double relation ??

Borassus · 28-03-2024 14:08:50

Comment démontrer le périmètre d'un cercle ? par une intégrale "classique" ? (comment alors la formuler ?)
par une intégrale curviligne ?

yoshi · 28-03-2024 14:15:26

RE,

Par la limite lorsque n tend vers +oo de la somme des longueurs des côtés d'un polygone régulier inscrit dans ledit cercle?
N-B : pas essayé !

@+

Borassus · 28-03-2024 14:26:05

Bonjour yoshi,

Merci de ta réponse !

Si on utilise la notion de radian, en écrivant que la longueur d'un arc de cercle intercepté par un angle de $\alpha$ radians est égale à $\alpha r$, j'ai l'impression d'être face à un serpent qui se mord la queue, car la notion de radian, du moins telle que je l'ai comprise et telle que je l'enseigne, provient précisément du périmètre du cercle.
(Plus précisément, c'est la valeur du radian qui provient du périmètre.)

DrStone · 28-03-2024 14:29:37

Bonjour.

Le volume d'une sphère $S$ de rayon $R$ dans un repère orthonormal $(O, \vec{x},\vec{y},\vec{z})$ d'origine le centre de la sphère peut se retrouver par la somme de toutes les aires des plans $P_z$ qui coupent la sphère.
On a alors un plan $P_z$ d'équation $z=\lambda$ qui coupe la sphère $S$, pour $|\lambda|\le R$, suivant un cercle $C_\lambda$ de rayon $r(\lambda)$ tel que $r(\lambda)^2+\lambda^2=R^2$.
D'ici tu retrouves l'aire $A(\lambda)$ du cercle $C_\lambda$ qui est
$$A(\lambda) = \pi r(\lambda)^2=\pi(R^2-\lambda^2).$$
Le volume de la sphère est alors
$$V=\pi\int_{-R}^{R}(R^2-\lambda^2)d\lambda = \pi\left[ R^2\lambda - \frac{\lambda^3}{3}\right]_{-R}^{R} = \pi \left[\left(R^3 - \frac{R^3}{3}\right) - \left(\frac{R^3}{3} - R^3 \right)\right] = \frac{4\pi R^3}{3}.$$

Dernière modification par DrStone (28-03-2024 14:37:47)

Borassus · 28-03-2024 15:04:34

Bonjour Doc,

Merci de ta réponse !

Oui, je me souviens que j'ai une fois expliqué à la volée ce calcul à un élève de Terminale à qui je montrais qu'une intégrale ne sert pas seulement à mesurer l'aire sous une courbe.

Mais j'aimerais comprendre, au-delà des calculs, le sens de ce que j'écrivais plus haut : la primitive du périmètre est l'aire du disque ; la primitive de l'aire du disque est le volume de la sphère (ce que montre ton calcul).

A priori, l'aire du disque peut être conçue comme une sorte de "disque microsillon", du centre vers l'extérieur, d'une somme infinie de cercles dont le rayon varie de $dr$.

Mais pour cela, il faut comprendre le périmètre du cercle.

Pourquoi, d'autre part, le volume de la sphère (de la boule) est égal au deux-tiers du cylindre qui la (le) contient ?

Que signifie le fait que l'aire de la sphère soit quatre fois celle de l'aire d'un disque de rayon égal à celui de la sphère ?

DrStone · 28-03-2024 16:52:24

Rebonjour Borassus.

J'ai trouvé cet article sur la méthode d'Archimède qui peut être un bon début de piste : https://www2.mat.ulaval.ca/fileadmin/Pa … ns_8_2.pdf

Borassus · 28-03-2024 18:58:18

Merci Doc,

Ça a l'air effectivement intéressant ! Je vais m'y plonger ce soir.

Borassus · 29-03-2024 11:04:35

Bonjour tout le monde,

J'ai commencé tard hier soir à lire cet article.

Deux points pour commencer :

1) La force du cloisonnement entre les formules :
J'explique que le volume de "ce qui est pointu" (cône, pyramide) occupe le tiers du volume de la "boîte" qui le contient, le vide remplissant les deux-tiers restant.

Dans le cas du cône, je me rendais pas compte, jusqu'à hier soir, que ce volume restant correspond à celui d'une demi-sphère : $\pi R^3 - \dfrac 1 3 \pi R^3 = \dfrac 2 3 \pi R^3 =\dfrac {\dfrac 4 3 \pi R^3} {2}$

2) Parmi mes questions, il y a celle demandant pourquoi l'aire de la sphère $4 \pi R^2$ est quatre fois l'aire d'un grand disque $\pi R^2$.

Or j'apprends par cet article qu'Archimède établit précisément l'aire d'une sphère comme étant quatre fois l'aire d'un grand cercle !

Je vais continuer la lecture attentive de cet article. Merci Doc !

Concernant la question sur les primitives successives, je fais le parallèle avec les primitives suivantes :

Soit un parallélépipède rectangle (un "pavé droit")
Soit aussi un parallélépipède infinitésimal $dxdydz$ placé sur un des sommets.

En intégrant ce parallélépipède selon une arête, on obtient cette arête.
En intégrant cette arête le long d'une arête qui lui est perpendiculaire, on obtient la face constituée de ces deux arêtes.
En intégrant cette face le long d'une arête qui lui est perpendiculaire, on obtient le parallélépipède.

(La formule classique $L \times l \times h$ du volume d'un pavé droit provient de cette démarche, même si on ne l'exprime pas selon une logique d'intégration.)

Je comprends qu'en intégrant un arc de cercle infinitésimal, on obtient le cercle.
Mais je ne sais pas encore comprendre selon quel processus l'intégration du cercle produit l'aire du disque, et selon quel processus l'intégration de l'aire du disque produit la boule.

Dernière modification par Borassus (29-03-2024 14:55:38)

Borassus · 29-03-2024 16:47:02

Après lecture de la partie 2 de l'article, celle consacrée au cercle et à la sphère, j'ai appris que la formule classique du volume d'une sphère $\dfrac {4 \pi R^3}{3}$ peut être interprétée selon plusieurs structures.

Ainsi, le volume de la sphère peut être considéré comme étant égal

à quatre fois le volume du cône dont le rayon et la hauteur sont égaux au rayon de la sphère :
$V = 4 \times \dfrac 1 3 \left( \pi R^2 \times R \right)$

à deux fois le volume du cône de rayon et de hauteur respectivement égaux au rayon et au diamètre de la sphère :
$V = 2 \times \dfrac 1 3 \left[ \: (\pi R^2) \times (2R) \: \right]$

au volume du cylindre dont l'aire de la base est égale à l'aire de la sphère, et dont la hauteur est égale au tiers du rayon :
$(4 \pi R^2) \times \dfrac R 3$
Remarques :
1) Cette écriture répond à la question que j'avais posée en lançant la discussion sur la signification de la longueur $\frac R 3$ dans la logique volume = aire fois longueur.
2) L'aire latérale de ce cylindre est égale à l'aire de la sphère.

aux deux-tiers du volume du cylindre circonscrit à la sphère, donc de rayon égal au rayon de la sphère et de hauteur égale au diamètre de la sphère :
$V = \dfrac 2 3 \times \left[ \: (\pi R^2) \times (2R) \: \right]$

(L'origine de cette discussion était la révision avec une élève de Troisième des différentes aires et volumes. Les questions me venaient au fur à et à mesure de mes explications. Mercredi, je vais pouvoir lui expliquer autrement le volume d'une sphère.)

Borassus · 31-03-2024 18:34:24

Bonjour (ou bonsoir),

Maintenant, je comprends qu'il y a deux façons de remonter par intégration "naturelle" ⁽¹⁾ du périmètre du cercle au volume de la sphère, mais dans les deux cas, il faut une multiplication par 4 intermédiaire.

(1) Par intégration naturelle, j'entends intégration pour laquelle seule le rayon est utilisé comme variable. (Je considère donc l'intégration classique qu'avait rappelée Doc comme étant "artificielle" dans la mesure où la variable d'intégration est la cote, et non le rayon.)

Première façon de faire :

L'aide du disque $a_d(R)$ peut être obtenue en sommant les anneaux ayant pour périmètre $2 \pi r$ et pour largeur $dr$. (Cette intégration correspond à la logique "disque microsillon" que j'évoquais plus haut.) :
$a_d(R) = \displaystyle \int_0 ^R 2 \pi r dr = \left[ 2 \pi \dfrac {r^2} 2 \right]_0^R = \pi R^2$

Le volume $v_c(R)$ du cône de rayon $R$ et de hauteur $R$ est obtenu en sommant du sommet vers la base les cylindres ("tranches") d'aire $\pi r^2$ et d'épaisseur $dr$ :
[tex]v_c(R) = \displaystyle \int_0^R \pi r^2dr = \pi \left[ \dfrac {r^3} 3 \right]_0 ^R = \dfrac {\pi R^3} 3[/tex]

(Si on effectue l'intégration de la base vers le sommet — ce qui correspond à la vision habituelle d'un cône, alors que l'intégration précédente correspond à un cône pointe vers le bas —, il faut écrire [tex]v_c(R) = -\displaystyle \int_R^0 \pi r^2dr [/tex].)

En multipliant le volume de ce cylindre par $4$, on obtient le volume de la sphère :
[tex]v_s(R) = \dfrac {4 \pi R^3} 3[/tex]

Deuxième façon de faire

En multipliant l'aire du disque par 4, on obtient l'aire de la sphère $a_s(R) = 4 \pi R^2$.

Le volume de la sphère est obtenu en sommant les "pelures d'oignon" d'aire $4 \pi r^2$ et d'épaisseur $dr$ :

[tex]v_s(R) = \displaystyle \int_0^R 4 \pi r^2 dr = 4 \pi \left[ \dfrac {r^3} 3 \right]_0 ^R = \dfrac {4 \pi R^3} 3[/tex]

________________

Ces deux façons de faire reposent cependant sur les trois prérequis suivants :

Le périmètre d'un cercle est égal à $\pi$ fois le double de son rayon.

Le volume d'une sphère est quatre fois celui du cône ayant pour rayon et pour hauteur le rayon de la sphère.

L'aire d'une sphère est quatre fois celle d'un grand disque de la sphère.

J'aimerais beaucoup pouvoir analytiquement "remonter d'un cran"...

[Ajouté]Doc, par l'article que tu as indiqué, tu m'as permis d'asseoir la compréhension de base. Merci !

Dernière modification par Borassus (31-03-2024 19:50:50)

Zebulor · 31-03-2024 18:43:10

Bonsoir,
@Borassus : en te lisant il me vient à l'idée que le volume de la sphère peut aussi se calculer avec les coordonnées... sphériques par intégrale triple avec 3 variables indépendantes. Mais ce n'est pas au programme de lycée...

Dernière modification par Zebulor (31-03-2024 18:45:15)

Borassus · 31-03-2024 18:46:46

Bonsoir Zebulor,

Tu excites ma curiosité ! Que faut-il alors sommer ?

Eust_4che · 31-03-2024 20:05:08

Bonjour à tous et à toutes,

Comment Borassus en son temps, j'ai commencé les maths tout seul (en parallèle d'une licence de droit qui ne se passait plus très bien), abat de rejoindre le cursus classique. J'ai donc commencé en me faisant mes propres cours, et je pense que ma façon de procéder à l'époque (très heuristique) rejoint celle de Borassus. Je vous transmet donc la partie consacrée aux intégrales multiples, qui sans doute intéressera Bora (au moins pour les coordonnés sphériques) !

https://www.cjoint.com/c/NCFsbygFefQ

E.

Zebulor · 31-03-2024 21:51:39

Bonsoir Borassus,
ce lien ci dessous peut t'éclairer sur ma pensée

https://www.bibmath.net/dico/index.php? … nnees.html

De là on peut écrire le volume élémentaire qui doit être $r^2dr cos \phi d \theta d \phi$ ...

Sinon ça me rappelle une autre discussion :
https://www.bibmath.net/forums/viewtopic.php?id=15347

Mais je découvre à l'instant qu'il y a plusieurs pages de cours très détaillées fournies par Eustache. Le volume qu'il donne en sphérique est un $sin \phi$ au lieu de $cos \phi$ parce qu' il compte l'angle $\phi$ depuis l'axe vertical Oz..

Ce sont là des souvenirs de cours de physique lors d'un stage lorsqu'il s'agit de faire des calculs en électromagnétisme (quantité de charge électrique contenu dans un volume par exemple, etc...)

Dernière modification par Zebulor (01-04-2024 10:29:14)

Borassus · 31-03-2024 23:17:00

Bonsoir, bonsoir,

Zébulor d'abord (ça rime :-) Au moment où je t'ai répondu, je partais pour faire des courses. La réponse à ma question m'est devenue évidente dès que je me suis retrouvé dehors : il faut sommer des "cubes incurvés" de dimensions infinitésimales !

De même, pour la surface, il faut sommer des "carrés courbes".

N'ayant malheureusement pas l'occasion, avec mes élèves lycéens, de manier des intégrales autres que l'intégrale simple tristement limitée au seul calcul d'aires, il me faut un petit temps pour me replonger dans les coordonnées sphériques et les intégrales dans ces coordonnées.
Je prendrai alors plaisir à calculer l'aire et le volume d'une sphère (boule) selon ces façons de faire. Peut-être qu'alors ce fameux facteur 4, répété deux fois, me paraîtra plus naturel.

Eustache ensuite : Cela me fait bien plaisir de rencontrer quelqu'un qui a, lui aussi, bifurqué seul vers les maths en commençant des études sans maths qui se sont avérées être pour lui une impasse !
Mais, contrairement à toi, je n'ai pas su rejoindre le cursus classique : je me suis inscrit au CNAM en section Automatique mais j'ai véritablement HAÏ l'enseignement du Conservatoire tel que je l'ai subi, surtout lors du deuxième cycle. (On me présentait comme étudiants modèles des gars complètement scolaires dont je n'aurais pour rien au monde voulu comme assistants.)

Merci de tes notes ! , que j'ai parcourues en première lecture à l'écran, et que je vais relire, sans doute demain, après les avoir imprimées.

Etant à un moment devenu chef de produits dans une entreprise d'instrumentation industrielle, et pensant m'être définitivement orienté vers le marketing industriel, j'ai idiotement jeté tous les classeurs que j'avais constitués à partir de différents ouvrages (en particulier "Le calcul différentiel et intégral", en deux tomes, de Nikolaï Piskounov, qui a toujours été pour moi ma Bible, y compris maintenant.)
Je me suis ainsi amputé à la hache de milliers d'heures de travail !! Qu'est-ce que j'ai pu ensuite regretter cet acte stupide !!

Ma démarche d'alors était beaucoup moins heuristique que la tienne : je recopiais, en les décomposant pas à pas, les manuels et ouvrages sur lesquels je travaillais.
Elle l'est devenue lorsque, il y a une douzaine d'années, j'ai voulu revenir à mes amours premières : en cherchant en permanence à expliquer la logique des choses, au-delà des formules, je me les explique à moi-même, et répercute ensuite mes compréhensions.

Par contre, je retrouve dans tes écrits ma loquacité en cours. :-)

Ceci dit, nous sortons là complètement du forum censé s'adresser à des collégiens et des lycéens !

Mais vos deux interventions, dont je vous remercie, me confirment que je vais davantage expliquer à mes élèves de Terminale, du moins à ceux qui peuvent encaisser ces digressions, que le principe de l'intégration, qui consiste à sommer des éléments dont une dimension au moins est infinitésimale, peut être reproduit selon plusieurs raisonnements allant bien au-delà du calcul d'aires classique.

Et que, en dehors de l'intégrale simple, qui permet déjà beaucoup, il y a les intégrales doubles, triples — je demande parfois de calculer des intégrales triples improvisées ; les élèves comprennent très facilement —, les intégrales curvilignes..., et qu'il n'y a pas que les intégrales en coordonnées cartésiennes.

PS [ajouté] : Ce qui m'intéressait dans ma démarche, c'était d'intégrer uniquement par rapport au rayon, de façon à montrer le passage "en trois coups" du périmètre du cercle au volume de la sphère.

Dernière modification par Borassus (31-03-2024 23:39:23)

Zebulor · 01-04-2024 11:14:48

Bonjour,

Borassus a écrit :

Que signifie le fait que l'aire de la sphère soit quatre fois celle de l'aire d'un disque de rayon égal à celui de la sphère ?

Tite curiosité : L'aire d'une calotte sphérique de hauteur $\dfrac {r}{2}$ et de rayon $r$ est précisement celle du disque de rayon $r$ ..

Cf https://www.bibmath.net/dico/index.php? … lotte.html

Quelques explications de cet enseignant malheureusement décédé hors programme lycée..

https://www.bing.com/videos/riverview/r … ORM=VRDGAR

Dernière modification par Zebulor (01-04-2024 11:27:31)

Borassus · 01-04-2024 11:36:25

Bonjour à tous,

Ce qui me gêne, sur le fond, dans l'utilisation des coordonnées polaires ou sphériques appliquées au cercle ou à la sphère, c'est qu'elles font appel à la notion de radian, qui est elle-même définie par rapport au cercle.

Je m'explique :

Comme la définition du radian est l'angle au centre interceptant un arc dont la longueur est égale au rayon du cercle — je suis toujours sidéré de le voir défini par rapport au seul cercle trigonométrique —, et comme le périmètre d'un cercle est égal à $2 \pi R$, un tour complet correspond naturellement à $2 \pi$ radians.

Donc, calculer le périmètre d'un cercle comme étant la somme d'arcs de cercle infinitésimaux de longueur $R d\alpha$ revient à démontrer la longueur du périmètre en utilisant... la longueur du périmètre :
$\displaystyle \int_0^{2 \pi} R d\alpha = R \times \displaystyle[ \alpha \displaystyle]_0 ^{2\pi} = R \times 2\pi = 2 \pi R$

Bonne journée.
(Surveillez vos arrières. :-)

Zebulor · 01-04-2024 12:08:51

Re,
J'ai bien compris ton problème...
ça me rappelle mon prof de maths de 6eme qui ne savait pas répondre à la question qu'on lui posait, à savoir : pourquoi le périmètre d'un cercle de rayon $R$ vaut $2\pi R$ ?

Bernard-maths · 01-04-2024 12:15:08

Hum ...

Et pourquoi 2π ?

B-m

Borassus · 01-04-2024 13:16:44

Bonjour Bernard,

En fait, ce n'est pas $2\pi$ mais $2R$ : $\pi$ fois le diamètre, c'est-à-dire $\pi$ fois deux fois le rayon, soit $\pi \times (2R)$.
(Je préfère même $(2R) \times \pi$ : l'élément premier est le diamètre du cercle, qui est ensuite multiplié par $\pi$ pour obtenir le périmètre. Comme vous l'avez sans doute remarqué, je suis attaché à la logique d'écriture du calcul littéral, sur laquelle, malheureusement, on s'assied bien trop souvent.)

Ce fameux $2 \pi R$ est l'exemple classique, parmi un très grand nombre d'autres, de formulation algébrique ne correspondant pas à la formulation logique...

Mais pour définir le nombres de radians correspondant à un tour complet, il vaut mieux utiliser l'expression $(2\pi) \times R$.

A ce propos, je m'amuse régulièrement lorsque je demande combien de fois il y a $R$ dans $2\pi R$ ?
Rares sont les élèves qui répondent du premier coup ! La question donne généralement lieu à un véritable feu d'artifice de réponses. :-)

DrStone · 06-04-2024 15:15:41

Bonjour.

Je vois que le petit article que j'avais réussi à dégoter de derrière les fagots aura été plus que prolifique pour notre ami Borassus !

Vous m'en voyez ravi. ^_^

Dernière modification par DrStone (06-04-2024 15:16:43)

Borassus · 06-04-2024 21:35:29

Bonsoir Doc, bonsoir à tous ceux qui suivez cette discussion,

Effectivement, cher Doc, cet article m'a été très bénéfique, et m'a permis de bien mieux comprendre les différentes formules liées au cercle et à la sphère.
Merci !
Et je suis ravi que tu sois ravi ! :-)

Je le relirai tantôt pour encore mieux l'assimiler.

Forum de mathématiques - Bibm@th.net

#1 28-03-2024 13:20:36

Questions pour ne pas perdre la boule à propos des sphères et boules

#2 28-03-2024 13:43:06

Re : Questions pour ne pas perdre la boule à propos des sphères et boules

#3 28-03-2024 14:06:57

Re : Questions pour ne pas perdre la boule à propos des sphères et boules

#4 28-03-2024 14:08:50

Re : Questions pour ne pas perdre la boule à propos des sphères et boules

#5 28-03-2024 14:15:26

Re : Questions pour ne pas perdre la boule à propos des sphères et boules

#6 28-03-2024 14:26:05

Re : Questions pour ne pas perdre la boule à propos des sphères et boules

#7 28-03-2024 14:29:37

Re : Questions pour ne pas perdre la boule à propos des sphères et boules

#8 28-03-2024 15:04:34

Re : Questions pour ne pas perdre la boule à propos des sphères et boules

#9 28-03-2024 16:52:24

Re : Questions pour ne pas perdre la boule à propos des sphères et boules

#10 28-03-2024 18:58:18

Re : Questions pour ne pas perdre la boule à propos des sphères et boules

#11 29-03-2024 11:04:35

Re : Questions pour ne pas perdre la boule à propos des sphères et boules

#12 29-03-2024 16:47:02

Re : Questions pour ne pas perdre la boule à propos des sphères et boules

#13 31-03-2024 18:34:24

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#14 31-03-2024 18:43:10

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#15 31-03-2024 18:46:46

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#19 01-04-2024 11:14:48

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#20 01-04-2024 11:36:25

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#21 01-04-2024 12:08:51

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#22 01-04-2024 12:15:08

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#24 06-04-2024 15:15:41

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#25 06-04-2024 21:35:29

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