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Borassus

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Systèmes 2 équations 2 inconnues proposés par yoshi

Bonjour à tous,

Dans la mesure où la discussion initiale est devenue abyssale (88 réponses ! , dont certaines très longues), et dans la mesure où l'exercice 30 y a pris une place démesurée, je la prolonge par une nouvelle discussion consacrée en premier lieu aux systèmes proposés par notre précieux yoshi "le bégayant" :-).

$\begin{cases}5x\sqrt 5-7y\sqrt 3=29\\\dfrac{x}{\sqrt 5}-\dfrac{y}{\sqrt 3}=1\end{cases}$

$\begin{cases}\dfrac{x\sqrt 2}{2}+\dfrac{y\sqrt 3}{3}&=3\\x\sqrt 3+y\sqrt 2&=-5\end{cases}$

$\begin{cases}\dfrac{5x+9y+30}{5}-\dfrac{x+y}{3}&=80\\\dfrac{4x-5(y-1)}{7}+\dfrac{6x+y}{4}&=80\end{cases}$

Commençons par la première :

Tout d'abord, vérifions si le déterminant est bien différent de zéro (toujours commencer par là : c'est dépitant de se lancer d'emblée dans les calculs pour s'apercevoir qu'on aboutit à une impossibilité, et donc que le système n'a pas de solution) :

det = $5\sqrt 5 \times (- \dfrac 1 {\sqrt 3}) - \dfrac 1 {\sqrt 5} \times (- 7\sqrt 3) = - \dfrac {5\sqrt5} {\sqrt3} + \dfrac {7\sqrt3}{\sqrt5} = \dfrac {-25 + 21}{\sqrt5} = - \dfrac 4 {\sqrt{15}} \ne 0$

Le type de résolution qu'on a envie d'essayer en premier est l'élimination d'une des deux variables.

Par exemple, par quelle valeur faut-il multiplier $\dfrac 1 {\sqrt5}$ pour obtenir $-5\sqrt5$ ?
$\dfrac k {\sqrt5} = -5\sqrt5  \Rightarrow  k = -25$

En multipliant donc la seconde équation par $-25$ on obtient le système

$\begin{cases}
5\sqrt5 x-7\sqrt 3 y=29\\ \\
-5\sqrt5 x + \dfrac{25}{\sqrt 3} y = -25\end{cases}$

et en sommant les deux équations on obtient successivement

$\left(-7\sqrt3 + \dfrac{25}{\sqrt 3} \right)y = 29 - 25 = 4$

$\dfrac {-21 + 25}{\sqrt3} y = 4$

$\dfrac 4 {\sqrt3} y = 4$

$\dfrac 1 {\sqrt3} y = 1$

$y = \sqrt3$

En reportant cette valeur dans la deuxième équation, on obtient successivement :

$\dfrac x {\sqrt5} - 1 = 1$

$\dfrac x {\sqrt5} = 2$

$x = 2\sqrt5$

La solution du système est donc $\left(2\sqrt5 , \sqrt3 \right)$

__________________

Pour le deuxième système, le déterminant est nul :

dét $= \dfrac{\sqrt2} 2 \times \sqrt2 - \sqrt3 \times \dfrac {\sqrt3} 3 = 1 - 1 = 0$

Le système n'admet donc pas de solution.

__________________

Le troisième système est effectivement "salé".  :-)

Tout d'abord, il se simplifie en

$\begin{cases}
x + \dfrac 9 5 y + 6 - \dfrac 1 3 x - \dfrac 1 3 y &= 80 \\
\\
\dfrac 4 7  x - \dfrac 5 7 y + \dfrac 5 7 + \dfrac 3 2 x + \dfrac 1 4 y &= 80
\end{cases}$

soit

$\begin{cases}
\dfrac 2 3 x + \dfrac {22} {15} y &= 74 \\
\\
\dfrac {29} {14}  x - \dfrac {13} {28} y &= \dfrac {555} 7
\end{cases}$

Je dois déjeuner puis partir en cours jusqu'à ce soir.
Je vous laisse vous amuser ?  :-)

(La calculatrice trouve le couple $\left(\frac {30 997}{65} , -\frac {2162}{13} \right)$ )

Dernière modification par Borassus (27-03-2024 14:53:46)

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Roro

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Re : Systèmes 2 équations 2 inconnues proposés par yoshi

Bonjour,

Comme d'hab, j'ajoute mon grain de sel :-p

Pour le deuxième système, le déterminant est nul :

dét $= \dfrac{\sqrt2} 2 \times \sqrt2 - \sqrt3 \times \dfrac {\sqrt3} 3 = 1 - 1 = 0$

Le système n'admet donc pas de solution.

Je serai un peu méfiant avec cette affirmation. En effet, le système suivant, dont le déterminant est nul
$$\left\{\begin{aligned}
x+y &=& 1 \\
2x+2y &=& 2
\end{aligned}\right.$$
admet des solutions...

Si on veut rester dans le forum de l'entraide Collège/Lycée (actuel), je ne suis pas certain qu'il faille rentrer dans ces notions d'algèbre linéaire pour résoudre ces systèmes 2X2.

Roro.

Dernière modification par Roro (27-03-2024 15:19:17)

Borassus

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Re : Systèmes 2 équations 2 inconnues proposés par yoshi

Bonjour Roro,

Il est tout à fait judicieux que Roro ajoute son grain de sel dans une discussion dédiée à des systèmes considérés comme salés.  :-)

Je prends note que le fait que le déterminant est nul ne signifie pas obligatoirement que le système n'a pas de solution. Il peut en effet en avoir une infinité dans le cas où une équation est "multiple" de l'autre.

Sur ce, je pars.

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yoshi

Modo Ferox

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Re : Systèmes 2 équations 2 inconnues proposés par yoshi

Re,

Bon, moi, j'ai été "dressé" à virer les dénominateurs et à user de simplifications dès que possible...
Alors bien entendu, prof, je ne me suis pas privé de le conseiller...
Ainsi donc, partant de :
$\begin{cases}\dfrac 2 3 x + \dfrac {22} {15} y &= 74\\\dfrac {29} {14}  x - \dfrac {13} {28} y &= \dfrac {555} 7 \end{cases}$
Là, je simplifiais.
1ere équation division des 2 membres par 2
2e équation multiplication des 2 membres par 7 :
$\begin{cases}\dfrac 1 3 x + \dfrac {11} {15} y &= 37\\\dfrac {29} {2}  x - \dfrac {13} {4} y &=555 \end{cases}$

Puis je "supprimais" les dénominateurs
1ere équation par multiplication des 2 membres par 15
2e équation par multiplication des 2 membres par 4 :
$\begin{cases}5x + 11y &= 555\\58 x - 13y &=2220 \end{cases}$

Méthode addition
1ere équation multiplication des 2 membres par 13
2e équation multiplication des 2 membres par 11 :
$\begin{cases}65x + 143y &= 7215\\638 x - 143y &=24420 \end{cases}$

Sommation:
$703x=31635$
$x=45$

D'où
$y= \left(74-45\times \dfrac 2 3\right)\times\dfrac{15}{22}=30$

Solution $(x,y)=(45,30)$

(Vérification)
Python aussi peut calculer avec des fractions :

>>> from fractions import Fraction as F
>>> F(29,14)*45-F(13,28)*30
Fraction(555, 7)

@+

Dernière modification par yoshi (27-03-2024 19:38:42)

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Borassus

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Re : Systèmes 2 équations 2 inconnues proposés par yoshi

Bonsoir (ou bonjour, vu l'heure)

Ce sont bien les valeurs données par la calculatrice.

(Comme je me pressais pour partir, j'ai mal saisi le système : j'ai oublié dans la seconde équation d'indiquer l'inconnue x. :-)

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Borassus

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Re : Systèmes 2 équations 2 inconnues proposés par yoshi

Sinon, la résolution est effectivement jolie.

merci yoshi !

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