Systèmes 2 équations 2 inconnues "corsés" pour élève de Première

DrStone · 21-03-2024 18:31:45

Bonjour. Vous faites bien comme bon vous semble, néanmoins juste pour info : initialement, dans le manuel, l'exercice est fait pour être "compliqué" et "long" : les déterminants ne sont présents que pour s'assurer qu'il y a une solution.
Pourquoi me direz-vous ? De sorte à amener tout naturellement, en terminale, à l'élimination de Gauss-Jordan et aux systèmes de Cramer, permettant alors de s'affranchir de tous ces calculs laborieux ; de même que l'algèbre linéaire au lycée permet de s'affranchir de l'axiomatique d'Euclide (ou plutôt d'Hilbert) abondamment étudiée au collège, mais bien trop contraignante face aux possibilités offertes par l'algèbre. Du moins, jusqu'au début des années 2000, exception faite d'une quinzaine d'années de 1970 à 1985. Depuis, il n'y a plus de géométrie, c'est encore plus simple. :=)

Dernière modification par DrStone (21-03-2024 18:33:10)

yoshi · 21-03-2024 18:38:33

Re,

Effectivement ça s' "arrange"... Au risque de décevoir, je dirais
1. Que je n'avais pas pensé aux déterminants
2. Que les résultats ne sont pas particulièrement sympathiques et que ça gâche un peu le plaisir...
Le système est sorti d'un esprit torturé : chapeau à lui, même s'il est tiré (selon moi, certitude à 90 %) des Lebossé & Hémery qui, de mémoire, fournissait des calculs pas piqués des vers.
vam a dit méthode de Cramer 2nde...
Je pense me souvenir avoir vu la méthode de Cramer appliquée aux systèmes de 3 équations à 3 inconnues (mais qui peut le plus, peut le moins), je revois notre prof nous disant à l'époque que résoudre un sytème 3 x 3 par les méthodes classiques, n'était pas approprié, qu'il allait nous montrer la méthode de Cramer qui était bien plus pratique...
Je n'arrive pas à me souvenir : 2de ou 1ere ? (J'étais en 1ere M).
Je souviens encore d'avoir vu cette méthode pour la recherche des coordonnées du point d'intersection de 2 droites.
Il fallait les écrire sous la forme.
$\begin{cases}ax+by+c &=0\\a'x+b'y+c'&=0\end{cases}$
On nous recommandait d'écrire ce petit tableau dans un coin de la feuille de brouillon :
$\begin{vmatrix} a & b & c & a \\a'& b' & c' & a'\end{vmatrix}$
et on avait :
$d=\begin{vmatrix} a & b\\a' & b'\end{vmatrix}=ab'-a'b$, puis $x=\dfrac{\begin{vmatrix} b & c\\b' & c'\end{vmatrix}}{d}$ et $ y=\dfrac{\begin{vmatrix} c & a\\c' & a'\end{vmatrix}}{d}$

Sauf perte de mémoire...

Je me demande si on ne pouvait pas aussi y arriver par substitution, j'avais commencé hier, mais devant la gueule des calculs, je m'étais convaincu que ce n'était pas la bonne méthode... Peut-être à tort !

@+

Borassus · 21-03-2024 21:20:36

Bonsoir ёщи,

yoshi a écrit :

1. Que je n'avais pas pensé aux déterminants

Moi non plus, du moins pour calculer $x$ et $y$.

J'avais calculé le déterminant pour m'assurer que le système présente une solution — le 29 n'a pas de solution — car les expressions conjuguées en diagonale dont le produit est égal à 1 tendaient trop les bras.

Je pressentais qu'il fallait utiliser la méthode de Cramer pour deux équations, mais j'avais oublié, faute d'occasions de la pratiquer avec mes élèves, la disposition des déterminants, très facile à mémoriser, pour calculer $x$ et $y$.

2. Que les résultats ne sont pas particulièrement sympathiques et que ça gâche un peu le plaisir...

Indéniablement ! C'est satisfaisant, un calcul semblant laborieux qui aboutit à une solution simple ! On se sent alors récompensé de ses efforts !
(C'est précisément la valeur très rugueuse pour $y$ — que j'avais déterminée en isolant $x$, ce qui, là aussi, permet d'utiliser les expressions conjuguées — qui m'a mis de si fort mauvaise humeur, à plus forte raison à 1 h 30, en ayant raté le coche de l'endormissement.)

vam a dit méthode de Cramer 2nde...

L'étude effective du système de Cramer, peut-être pas, mais la technique de calcul est très facile à montrer à des élèves de Seconde, voire de Troisième. (Le mouvement "en gamma" pour calculer un déterminant est tout à fait accessible à des collégiens. Je l'essaierai avec mon élève de 5ème, que je ne vois que pendant les vacances scolaires.)

Je souviens encore d'avoir vu cette méthode pour la recherche des coordonnées du point d'intersection de 2 droites.
Il fallait les écrire sous la forme.
$\begin{cases}ax+by+c &=0\\a'x+b'y+c'&=0\end{cases}$
On nous recommandait d'écrire ce petit tableau dans un coin de la feuille de brouillon :
$\begin{vmatrix} a & b & c & a \\a'& b' & c' & a'\end{vmatrix}$
et on avait :
$d=\begin{vmatrix} a & b\\a' & b'\end{vmatrix}=ab'-a'b$, puis $x=\dfrac{\begin{vmatrix} b & c\\b' & c'\end{vmatrix}}{d}$ et $ y=\dfrac{\begin{vmatrix} c & a\\c' & a'\end{vmatrix}}{d}$

Je retiens, merci ! (La technique doit se démontrer aisément.) Je l'utiliserai, elle aussi, à la première occasion.

(J'ai une méthode similaire pour déterminer l'équation cartésienne d'une droite passant par deux points.)

Je me demande si on ne pouvait pas aussi y arriver par substitution, j'avais commencé hier, mais devant la gueule des calculs, je m'étais convaincu que ce n'était pas la bonne méthode... Peut-être à tort !

Pas de regret ! J'ai buté sur le calcul de $x$ à partir de $y$, mais j'étais trop fatigué, et, surtout, trop énervé. Peut-être que j'y arriverais à tête reposée, mais je n'en fondamentalement pas envie, surtout en ayant expérimenté la méthode directe.
____________________

PS : Je ne suis pas vraiment d'accord avec toi, Doc (une fois de plus... :-) : ce que tu énonces est en contradiction avec les exercices qui précèdent, que j'ai immédiatement "squizés" car trop faciles, et les exercices qui suivent, qui se ramènent à des systèmes faciles.
L'intention délibérée d'une préparation à la Terminale (de l'époque) ne transparaît à mon sens pas dans cette liste d'exercices.

L'auteur a très probablement voulu montrer qu'il ne faut pas trop se précipiter dans des calculs lourds.
La mise en diagonale d'expressions conjuguées dont le produit est égal à 1 est trop visiblement volontaire !
Connaissant maintenant le principe, je peux te créer une vingtaine d'exercices similaires en une heure, sans même chercher à les résoudre.
(Si cela se trouve, l'auteur ne s'est pas donné cette peine, en pensant « Ils verront bien ! »)

Le message à nos amis lycéens ou étudiants qui suivent plus ou moins cette discussion est d'ailleurs très important : à quelques rares exceptions près, les exercices de contrôle, d'examen, voire de concours, sont élaborés à partir de simplifications plus ou moins cachées ; se précipiter, c'est sensiblement augmenter le risque d'erreurs, de stress, de fausses voies, et donc d'échec !

Bonne soirée.
Bor.

Dernière modification par Borassus (21-03-2024 21:58:08)

DrStone · 21-03-2024 23:18:43

Tu me donnes la sensation de réécrire l'histoire alors même que tu t'es toi-même précipité et as toi-même pesté contre cet exercice, Borassus ! De plus, précisons que cet exercice se trouve dans un manuel de seconde générale, et a alors potentiellement été donné à des élèves qui sont allés aussi bien en premières S ou E qu'en premières A ou B. Ces derniers étaient rarement connus pour leur capacité à trouver des simplifications cachées qui ne leur étaient pas donnés. Car j'insiste, les systèmes de Cramer ne sont pas en rien explicités et encore moins expliqués dans ledit manuel.
Et oui, ils auraient pu avoir des professeurs leur expliquant les systèmes de Cramer, mais ça ne dit en rien que c'était ce qu'attendaient les auteurs du manuel. Afin de déterminer leurs intensions, je me base uniquement sur le matériel initial : le manuel et son contenu.

Dernière modification par DrStone (21-03-2024 23:36:19)

vam · 22-03-2024 16:37:59

rebonjour
Dans les années où c'était au programme, on ne bombardait pas les résultats, on démontrait tout. On avait les e.v en seconde, les matrices de rotation en 1re avec les "grands" cosinus et les petits, et en terminale, on passait à la dimension 3 pour tout ça.
:)

Borassus · 23-03-2024 00:53:36

DrStone a écrit :

Bonsoir Borassus.
Pour le 30, j'aurais tendance à procéder par éliminations.
$$\begin{align}
\begin{cases}
(\sqrt{5}-2)x+3(3+2\sqrt{2})y=\sqrt{3} \\
(3-2\sqrt{2})x+(\sqrt{5}+2)y=\sqrt{2}
\end{cases}
& =
\begin{cases}
(\sqrt{5}-2)x+3(3+2\sqrt{2})y=\sqrt{3} \\
-2(2+\sqrt{5})y=\sqrt{3}(2\sqrt{2}-3)(2+\sqrt{5})+\sqrt{2}
\end{cases} \\
& =
\begin{cases}
(\sqrt{5}-2)x+3(3+2\sqrt{2})y=\sqrt{3} \\
y=\sqrt{2}-\sqrt{\frac{5}{2}}+\frac{3\sqrt{3}}{2}-\sqrt{6}
\end{cases} \\
& =
\begin{cases}
(\sqrt{5}-2)x=9\sqrt{\frac{5}{2}}-\frac{\sqrt{3}}{2}+6\sqrt{5}-12-9\sqrt{2} \\
y=\sqrt{2}-\sqrt{\frac{5}{2}}+\frac{3\sqrt{3}}{2}-\sqrt{6}
\end{cases} \\
& =
\begin{cases}
x=6+\frac{9}{\sqrt{2}}-\sqrt{3}-\frac{\sqrt{15}}{2} \\
y=\sqrt{2}-\sqrt{\frac{5}{2}}+\frac{3\sqrt{3}}{2}-\sqrt{6}
\end{cases} \\
& = \dots
\end{align}$$

Bonsoir DrStone,

Tu peux nous expliquer tes calculs de façon autant que possible pédagogique ? Je ne comprends rien à ta démarche !
Merci d'avance.

Dernière modification par Borassus (23-03-2024 01:02:10)

Borassus · 23-03-2024 00:55:17

C'était une technique enseignée en Seconde à ce niveau ??

DrStone · 23-03-2024 01:52:56

Bonsoir.

Nous n’en étions pas encore là dans la discussion et je voulais te donner une solution afin que tu puisses peut-être avancer plus facilement par toi-même. C’est pour cela que j’ai écrit

j'aurais tendance à procéder par éliminations

À l’époque la seule méthode théoriquement enseignée et employée en seconde était la méthode par substitution tout à fait classique. Note qu’on pouvait toutefois trouver dans certains manuels la méthode de résolution par addition.

Ici j’ai employé la méthode par élimination donc. J’ai simplement cherché à éliminer $x$ dans une équation et $y$ dans une autre.
Par exemple, afin de me débarrasser de $x$ dans la seconde équation j’ai soustrait $\left(\frac{3-2\sqrt{2}}{\sqrt{5}-2}\times\text{1ère équation}\right)$ de cette dernière. Puis j’ai réduit en divisant les deux membres par $-2(2+\sqrt{5})$ afin d’avoir $y=\dots$.
Répéter pour $x$ et laisser mijoter.

Dernière modification par DrStone (23-03-2024 01:53:50)

Borassus · 23-03-2024 12:38:24

Bonjour Doc,

Merci pour cette indication et cette voie de résolution !
Je vais la développer ce soir afin de pouvoir l'expliquer en détail. (Comme tu as dû sans doute le percevoir, je dois expliquer quelque chose que j'ai compris pour mieux le comprendre.)

J'ai d'emblée essayé la méthode d'élimination, mais en multipliant les coefficients, pas en les divisant ! J'aboutissais donc à une impasse.

La méthode par substitution permet bien, comme je l'ai fait, d'obtenir l'expression de $y$ en écrivant l'expression de $x$ en fonction de $y$, mais le calcul de $x$ mène ensuite à une horreur, dont je n'ai pas pu venir à bout !

Bonne journée à tous.
Bor.

PS : Pour ce qui est de la volonté sous-jacente de l'auteur, je pense qu'il n'en avait pas spécialement, et qu'il n'a pas cherché à déterminer la solution. Il se serait alors aperçu que la méthode de substitution n'est pas du tout applicable, et que la méthode d'élimination n'est pas vraiment évidente à mener à terme.
(Il m'arrive souvent, en improvisant devant l'élève un exercice, de générer quelque chose d'infaisable, mais le principal est que l'élève comprenne le principe du raisonnement.)

DrStone · 23-03-2024 13:42:59

Bonjour Borassus.

Ce manuel date de la fin des années 80. À cette époque on ne cherchait pas encore à faire que tous les exercices soient adaptés et faisables par les moins assidus, comme c'est le cas de nos jours… Les auteurs proposaient du challenge pour les meilleurs élèves.
Je sais que ça parait fou aujourd'hui ! ^_^

Ce que je n'arrive pas à comprendre en revanche, c'est ton acharnement sur cet exercice qui te semble inadapté… Sachant qu'il l'est justement parce qu'il représente un challenge : c'est tout son intérêt !

D'autant plus que le manuel est composé de dizaines de systèmes, du plus simple, au plus compliqué, en passant par de nombreux qui se résolvent avec une petite astuce pas bien difficile à trouver : le même type que ceux qui sont donnés aujourd'hui. Les élèves les moins bons ont alors largement de quoi faire, tandis que les meilleurs peuvent se casser les dents sur ces exercices plus compliqués, demandant de la patience et de la technicité calculatoire… ce qui n'était pas encore devenu horrible un gros mot.

Borassus a écrit :

Comme tu as dû sans doute le percevoir, je dois expliquer quelque chose que j'ai compris pour mieux le comprendre.

Bien sûr. Et c'est en parti pour ça que je dis que tu es un super prof. Pourquoi en serait-il autrement ? Tu n'as pas besoin de me conter l'appréciation de tes élèves pour ta manière de leur enseigner ce que tu penses être le mieux pour eux. Après tout, ce sont tes élèves, pas les miens. Autrement dit, tu es le mieux placé pour savoir quoi donner à tes élèves et je ne peux à aucun moment remettre cela en question. Et si tu juges qu'ils sont trop faibles pour réussir un exercice tel que celui-ci, je comprends tout à fait que tu ne veuilles pas leur proposer.

Simplement, je considère (et je ne suis probablement pas le seul) qu'il est dommageable que tous les lycéens de France (sauf ceux de quelques lycées parisiens bien choisis… bien entendu…) ne fassent absolument pas de mathématiques parce qu'une grosse mino-majorité (j'invente un terme) complètement incapables d'en faire décident de remplir les classes de mathématiques (auparavant j'aurais écrit «les classes de S») afin d’obtenir un meilleur "diplôme" ouvrant plus de portes.

Encore une fois (car tu persistes le premier :=) ), je trouve juste dommage de se contenter de faire joujou et de ne pas faire de maths.
Mais alors, qu'entends-je par faire des maths au lycée ? Eh bien je pense que ce type d'exercice calculatoire en est un bon exemple. Mais tu as aussi les exercices des Olympiades Internationales ou du Concours Général. Il ne s'agit alors plus de jouer — même si pour beaucoup (tous ?) les Olympiades sont un jeu qu'on fait pour relever un défi — mais bien de faire des maths : des vraies. Dans la limite de ce qui est accessible à un lycéen, bien entendu !
Malheureusement, tu prends tout cela comme une attaque personnelle simplement parce que j'ai eu le malheur à un moment de faire une remarque maladroite, sauf qu'il ne s'agit pas spécialement de toi dans toute cette critique mais plutôt du système ambiant.

Dernière modification par DrStone (23-03-2024 16:52:23)

Borassus · 24-03-2024 11:23:22

Bonjour à tous,

En matière d'apprentissage et de compréhension, je me suis fixé pour guides trois préceptes de mon cru, que je transmets parfois à mes élèves lorsque j'en ai l'occasion :

A condition qu'elle soit gênante, l'incompréhension est la clé de la compréhension :
Pour comprendre, il faut commencer par NE PAS comprendre. (Une compréhension immédiate et facile risque fort d'être une compréhension de surface, "bâtie sur du sable".)
Mais il faut que cette incompréhension soit gênante, voire irritante, en quelque sorte un "caillou dans la chaussure". (Une incompréhension qui ne dérange pas ne sert à rien.)

Ce ne sont pas ses prétentions qu'il faut adapter à ses connaissances, ce sont ses connaissances qu'il faut adapter à ses prétentions :
Si je me rends compte que mes connaissances ne sont pas suffisantes par rapport à ce que je veux faire ou obtenir, je ne dois pas baisser mes prétentions, mais dois au contraire relever le niveau de mes connaissances. (Si je ne peux acquérir toutes les connaissances qui me sont nécessaires, il me faut m'appuyer sur ceux qui possèdent ces connaissances et qui peuvent en transmettre la partie qui me sera utile.)

Pour paraphraser un certain philosophe français du XXème siècle, l'exigence précède l'expérience :
C'est en plaçant d'emblée la barre le plus haut (raisonnablement) possible qu'on acquiert l'expérience. Et même si on n'atteint pas le niveau d'exigence qu'on s'était fixé, les efforts pour y parvenir produiront beaucoup plus de connaissances théoriques et pratiques qu'un projet qu'on suit plus ou moins passivement.

Donc, oui, je m'acharne sur cet exercice car il présente un potentiel de consolidation d'expérience et de connaissances, pour moi d'une part, pour les élèves à qui je le proposerai éventuellement, et, je l'espère, à vous, amis lycéens qui suivez ces échanges.
(Il ne s'agit pas tant de difficulté que d'intérêt : on aborde une difficulté avec d'autant plus de facilité qu'on en perçoit l'intérêt et son apport. La difficulté pour la seule difficulté n'est pas intéressante, et donc pas motivante.)

Voici (courageusement...) le développement détaillé de la démarche qu'a utilisée notre ami DrStone :

En multipliant tous les termes de la première équation par $- \dfrac {3 - 2 \sqrt 2} {\sqrt 5 - 2}$, le terme en $x$ de la première équation devient $- (3 - 2 \sqrt 2)x$.
Lorsqu'on somme les deux équations, le terme en $x$ disparaît, et on n'a plus qu'une équation en $y$ :

1) Système initial :

$ \begin{cases}
(\sqrt 5-2)x + 3(3 + 2 \sqrt 2)y = \sqrt 3 \\
\\
(3 - 2 \sqrt 2)x +(\sqrt5 + 2)y = \sqrt 2
\end{cases}$

2) Multiplication de la première équation par $- \dfrac {3 - 2 \sqrt 2} {\sqrt 5 - 2}$ :

$ \begin{cases}
\\ \dfrac {-(3 - 2 \sqrt 2)(\sqrt 5 - 2)} {\sqrt 5 - 2} x - \dfrac { 3(3 - 2 \sqrt 2)(3 + 2\sqrt 2 )} {\sqrt 5 - 2}y = - \dfrac {(3 - 2 \sqrt 2) \sqrt 3} {\sqrt 5 - 2} \\
\\
(3-2\sqrt{2})x + (\sqrt{5}+2)y = \sqrt{2}
\end{cases}$

3) Après simplifications sur la première équation :

$ \begin{cases}
- (3 - 2 \sqrt 2)x + \dfrac {-3}{\sqrt 5 -2}y = - \dfrac {(3 - 2 \sqrt 2)\sqrt 3} {\sqrt 5 - 2} \\
\\
(3-2\sqrt{2})x +(\sqrt{5}+2)y = \sqrt{2}
\end{cases}$

4) Après sommation des deux équations :

$\left(- \dfrac {3} {\sqrt 5 - 2} + \sqrt 5 + 2 \right)y = - \dfrac {(3 - 2 \sqrt 2) \sqrt 3} {\sqrt 5 - 2} + \sqrt 2$

5) Après mise au même dénominateur :

$\dfrac {-2y} {\sqrt 5 -2} = \dfrac {-(3 - 2 \sqrt 2) \sqrt 3 + \sqrt {10} - 2 \sqrt 2} {\sqrt 5 - 2}$

soit :

$-2y = - 3 \sqrt 3 + 2 \sqrt 6 + \sqrt {10} - 2 \sqrt 2$

6) D'où finalement :

$y = \dfrac {3 \sqrt 2} {2} + \sqrt 2 - \sqrt 6 - \dfrac {\sqrt {10}}{2} $

_____________________

Même procédé pour éliminer l'inconnue $y$ :

1) Système initial :

$ \begin{cases}
(\sqrt{5}-2)x + 3(3+2\sqrt{2})y = \sqrt{3} \\
\\
(3-2\sqrt{2})x +(\sqrt{5}+2)y = \sqrt{2}
\end{cases}$

2) Multiplication de la première équation par $\dfrac {-(\sqrt 5 + 2)} {3(3 + 2 \sqrt 2)}$ :

$ \begin{cases}
\dfrac {-(\sqrt 5 + 2)(\sqrt{5}-2)} {3(3 + 2 \sqrt 2)}x - \dfrac {3(\sqrt 5 + 2)(3+2\sqrt{2})} {3(3 + 2 \sqrt 2)}y = \dfrac {-(\sqrt 5 + 2)\sqrt{3}} {3(3 + 2 \sqrt 2)} \\
\\
(3-2\sqrt{2})x +(\sqrt{5}+2)y = \sqrt{2}
\end{cases}$

3) Après simplifications sur la première équation :

$ \begin{cases}
\dfrac {-1} {3(3 + 2 \sqrt 2)}x - (\sqrt 5 + 2)y = \dfrac {-(\sqrt 5 + 2)\sqrt{3}} {3(3 + 2 \sqrt 2)} \\
\\
(3-2\sqrt{2})x +(\sqrt{5}+2)y = \sqrt{2}
\end{cases}$

4) Après sommation des deux équations :

$\left( - \dfrac 1 {3(3 + 2 \sqrt 2)} + 3 - 2 \sqrt 2 \right) x = \dfrac {-(\sqrt 5 + 2)\sqrt{3}} {3(3 + 2 \sqrt 2)} + \sqrt 2$

5) Après mise au même dénominateur :

$\dfrac {2x} {3(3 + 2 \sqrt 2)} = \dfrac {- \sqrt {15} - 2 \sqrt 3 + 9 \sqrt 2 + 12} {3(3 + 2 \sqrt 2)}$

soit

$2x = - \sqrt {15} - 2 \sqrt 3 + 9 \sqrt 2 + 12$

6) D'où finalement

$x = 6 + \dfrac {9 \sqrt 2} 2 - \dfrac {\sqrt {15}} 2 - \sqrt 3$

___________________

Je préfère nettement la résolution par déterminants !! (Ne serait-ce qu'en termes de saisie...)

Quant à la résolution par substitution, je propose à notre ami Doc de nous faire part de la totalité du calcul. :-)
Entre la résolution par déterminants et la résolution par élimination, je pense en effet avoir fait ma part.

Bon dimanche à tous.
Et bonne digestion. :-)

vam · 24-03-2024 14:59:18

Borassus, je ne vois ta question du 22/03 que maintenant.

Oui, les systèmes de Cramer et la résolution des systèmes par la méthode des déterminants étaient au programme, et nous l'utilisions après démonstration complète. Toutes façons à cette époque, on n'assénait pas les résultats, on démontrait !
;)

DrStone · 24-03-2024 15:03:01

Bonjour.

$$\begin{align}
\begin{cases}
(\sqrt{5}-2)x+3(3+2\sqrt{2})y=\sqrt{3} \\
(3-2\sqrt{2})x+(\sqrt{5}+2)y=\sqrt{2}
\end{cases}
& \iff
\begin{cases}
(\sqrt{5}-2)x=\sqrt{3}-3(3+2\sqrt{2})y \\
(3-2\sqrt{2})x+(\sqrt{5}+2)y=\sqrt{2}
\end{cases} \\
& \iff
\begin{cases}
x=\frac{\sqrt{3}-3(3+2\sqrt{2})y}{\sqrt{5}-2} \\
(3-2\sqrt{2})x+(\sqrt{5}+2)y=\sqrt{2}
\end{cases} \\
& \iff
\begin{cases}
x=\frac{\sqrt{3}-3(3+2\sqrt{2})y}{\sqrt{5}-2} \\
\frac{(3-2\sqrt{2})(\sqrt{3}-3(3+2\sqrt{2})y)}{\sqrt{5}-2}+(2+\sqrt{5})y=\sqrt{2}
\end{cases} \\
& \iff
\begin{cases}
x=\frac{\sqrt{3}-3(3+2\sqrt{2})y}{\sqrt{5}-2} \\
\left( 2 + \sqrt{5} - \frac{3(3-2\sqrt{2})(3+2\sqrt{2})}{\sqrt{5}-2} \right) y + \frac{\sqrt{3}(3-2\sqrt{2})}{\sqrt{5}-2} = \sqrt{2}
\end{cases} \\
& \iff
\begin{cases}
x=\frac{\sqrt{3}-3(3+2\sqrt{2})y}{\sqrt{5}-2} \\
\left( 2 + \sqrt{5} - \frac{3(3-2\sqrt{2})(3+2\sqrt{2})}{\sqrt{5}-2} \right) y = \sqrt{2} - \frac{\sqrt{3}(3-2\sqrt{2})}{\sqrt{5}-2}
\end{cases} \\
& \iff
\begin{cases}
x=\frac{\sqrt{3}-3(3+2\sqrt{2})y}{\sqrt{5}-2} \\
y = \frac{\sqrt{2} - \frac{\sqrt{3}(3-2\sqrt{2})}{\sqrt{5}-2}}{2 + \sqrt{5} - \frac{3(3-2\sqrt{2})(3+2\sqrt{2})}{\sqrt{5}-2}}
\end{cases} \\
& \iff
\begin{cases}
x=\frac{\sqrt{3}-3(3+2\sqrt{2})\left(\sqrt{2}-\sqrt{\frac{5}{2}}+\frac{3\sqrt{3}}{2}-\sqrt{6}\right)}{\sqrt{5}-2} \\
y = \sqrt{2}-\sqrt{\frac{5}{2}}+\frac{3\sqrt{3}}{2}-\sqrt{6}
\end{cases} \\
& \iff
\begin{cases}
x=6+\frac{9\sqrt{2}}{2}-\sqrt{3}-\frac{\sqrt{15}}{2} \\
y = \sqrt{2}-\sqrt{\frac{5}{2}}+\frac{3\sqrt{3}}{2}-\sqrt{6}
\end{cases} \\
\end{align}$$

Dernière modification par DrStone (24-03-2024 15:19:21)

DrStone · 24-03-2024 15:04:05

Rien de bien compliqué ici ; toutes les notions utilisées ici sont au collège : addition, soustraction, fractions, aussi bien sur les entiers que les racines carrées, et enfin équations. Rien de plus, rien de moins. Le reste ce n'est vraiment qu'une question d'écrire proprement, savoir être patient afin de ne pas se précipiter et de ne pas abandonner dès la troisième équivalence et enfin, de savoir calculer… ou au pire, de savoir utiliser sa calculatrice.

Je ne vois donc pas en quoi ce système est infaisable pour un élève de seconde à qui on n'aurait appris qu'une résolution par substitution… Au contraire, après l'avoir fait, je trouve même encore plus qu'avant que c'est un beau challenge pour un tel élève qui pourrait être fier de l'avoir relevé.

Dernière modification par DrStone (24-03-2024 15:16:24)

Borassus · 24-03-2024 15:57:49

Bonjour,

Tu as l'art de déformer mes propos et de me faire dire ce que je ne dis pas : j'écrivais que la résolution par substitution est infaisable (peu importe par qui, élève de Seconde ou adulte rompu aux calculs ardus), car elle mène à un calcul profondément fastidieux et extrêmement long pour la seconde inconnue (la première ne posant pas de difficulté), dont personnellement je n'ai pas pu, à deux reprises, venir à bout. Je ne vais donc pas demander à un élève de résoudre l'exercice selon un procédé que je ne réussis pas moi-même à mener à bien !

As-tu simplement essayé ??

D'autre part, je n'ai pas écrit que l'exercice est trop difficile pour mes élèves : j'ai écrit que si l'élève ne perçoit pas l'intérêt de s'y attaquer, il ne le fera pas !
(J'ajoute aussi qu'il me sera peu évident de le caser dans un cours car il nécessite une bonne tranche de temps, au détriment des sujets demandés par l'élève. Je t'assure qu'une heure et demie, voire deux heures, passe vite.)

Mais l'intérêt réside précisément dans l'apprentissage de deux méthodes, celle avec les déterminants, celle avec les éliminations successives, et de venir à bout de calculs relativement longs et fastidieux, qui demandent pas mal d'attention.

C'est pour cela que j'ai tenu à prendre la peine d'expliquer en détail les deux méthodes : pour que les lycéens qui nous lisent puissent comprendre le processus, et, éventuellement, le reproduire s'ils rencontrent un exercice similaire.

Enfin, nous avons des conceptions on ne peut plus diamétralement opposées sur ce que signifie "faire des maths" !!

Dernière modification par Borassus (24-03-2024 16:03:14)

DrStone · 24-03-2024 16:06:27

Rebonjour.

Borassus a écrit :

As-tu simplement essayé ??

Oui, je viens de le faire.

DrStone · 24-03-2024 16:21:59

Au fait, cher Borassus, nous (aussi bien moi que toi) partons doucement mais sûrement vers une guerre d’ego. Est-ce réellement ce que l’on veut afficher sur ce beau forum ? Tout ça pour un pauvre exercice ?

Dernière modification par DrStone (24-03-2024 16:22:30)

Borassus · 25-03-2024 11:49:49

Bonjour Doc, bonjour à tous ceux qui suivent ces échanges,

Certes, nous sommes tous deux très présents (trop ?) sur les forums de ce beau site. Mais "guerre d'egos" me semble une expression quelque peu excessive.

J'évoquerais plutôt, comme l'a clairement montré cet exercice, un affrontement entre deux visions opposées de l'enseignement des maths :

Ce n'est pas parce qu'un exercice te semble, du haut de ton niveau, de tes connaissances et compétences, tout à fait accessible qu'il l'est pour un élève lambda actuel.
(C'est pour cela que, connaissant de près mon public, auquel j'écris beaucoup, j'ai expliqué en détail les deux démarches. Et encore, je n'ai pas détaillé toutes les étapes intermédiaires de calcul pour ne pas trop "tenir la main" et rallonger mes développements.)

Et aussi, les "vraies maths", les Olympiades et le Concours général sont très loin de la réalité à laquelle je suis quotidiennement confronté, même avec des élèves brillants, que je vois parfois faire des erreurs stupéfiantes et patiner sur des évidences apparentes.

(On m'a il y a un peu plus d'un an demandé de préparer un élève au Concours général. J'ai refusé car je ne me sentais pas en mesure de l'accompagner, n'ayant pas intégré les processus de résolution des exercices donnés à ce concours. Par contre, j'ai imprimé les sujets pour les étudier quand ma disponibilité le permettra afin d'en extraire éventuellement des exercices qui pourraient être intéressants pour certains de mes élèves, ou que je pourrais intégrer dans mes écrits.)

Bonne journée agréablement ensoleillée.
Bor.

PS :

DrStone a écrit :

Borassus a écrit :
As-tu simplement essayé ??
Oui, je viens de le faire.

Et ?

Dernière modification par Borassus (25-03-2024 13:30:18)

vam · 25-03-2024 12:41:50

Bonjour

J'aurais les mêmes réticences que Borassus à l'heure actuelle pour poser cet exercice. L'élève lambda laissera tomber. Quelqu'un de brillant aura sans doute besoin d'un accompagnement.
:)

DrStone · 25-03-2024 13:40:00

Bonjour.

Encore une fois, il faut se souvenir du contexte dans lequel cet exercice a été posé : une époque où la technicité calculatoire était de mise et où ~40% d'une classe d'âge accédait au bac.
Forcément qu'aujourd'hui, où les élèves n'arrivent même plus à compter sur les doigts de leurs mains, cet exercice parait disproportionné ; néanmoins, je persiste et signe : il n'est pas pour autant infaisable, ne demande que des notions du collège et n'importe quel élève un peu persévérant et patient en viendra à bout !
Je ne demande pas de donner un exercice totalement hors de porter non plus… Si vous voulez un exemple de ce qu'est un exercice hors de porté (et pourtant tiré d'un manuel de seconde !) en voici un :

Soit $(\vec{i}, \vec{j})$ une base de $\mathscr{V_2}$, on considère les applications linéaires $f$, $g$, $\varphi$ de $\mathscr{V_2}$ dans $\mathscr{V_2}$ définies par :
$$
\begin{cases} f(\vec{i})=\vec{j} \\ f(\vec{j})=\vec{i} \end{cases} \qquad
\begin{cases} g(\vec{i})=\vec{i} \\ g(\vec{j})=-\vec{j} \end{cases} \qquad
\begin{cases} \varphi(\vec{i})=a\vec{i}+b\vec{j} \\ \varphi(\vec{j})=c\vec{i}+d\vec{j} \end{cases}
$$
$a$, $b$, $c$, $d$ étant des nombres donnés.
Quelles relations doivent satisfaire les nombres réels $a$, $b$, $c$, $d$ pour que l'on ait simultanément $f\circ \varphi=\varphi\circ f$ et $g\circ \varphi=\varphi\circ g$ ?
Quelle est alors l'application $\varphi$ ?
Soit $l$ une application linéaire de $\mathscr{V_2}$ dans $\mathscr{V_2}$ et $h$ une homothétie vectorielle quelconque.
Montrer que $l\circ h = h\circ l$.
Montrer que les seules applications linéaires $h$ de $\mathscr{V_2}$ dans $\mathscr{V_2}$ telle que, pour toute application linéaire $l$ de $\mathscr{V_2}$ dans $\mathscr{V_2}$, l'on ait $l\circ h = h\circ l$ sont des homothéties vectorielles.

Là d'accord, on serait en droit de se demander ce que j'ai fumé pour proposer un tel monstre (sur lequel je m'étais cassé les dents sans en venir à bout lorsque j'étais moi-même en seconde).

Mais s'il vous plait, on se chamaille depuis le début sur un pauvre exercice purement calculatoire qui se résout en 30 minutes pour un élève un peu doué à une heure pour celui qui a deux de tension (et je vous mets au défi de trouver un enfant de 15 ans ayant deux de tension !). Il ne demande aucune connaissance ! Juste de savoir compter ! Alors oui, il est long, et alors ? Il faut que tous les exercices soient faisables en deux minutes montre en main, sinon les élèves ne sont pas capables de rester concentré plus longtemps que la durée d'une vidéo TikTok ?
De plus, il ne me semble pas que ce soit à l'élève de percevoir l'intérêt ou non d'un exercice… mais bien à celui qui le donne… non parce que sinon, quel intérêt un enfant de cinq ans trouverait à apprendre à lire ? Pour lui c'est juste s'infliger une douleur inutile, d'autant plus s'il est dyslexique. Néanmoins, les adultes qui lui imposent perçoivent tout l'intérêt de cet apprentissage.

Mais alors, quel intérêt pour l'exercice 30 ? Aucun… enfin, si on exclut le challenge, le développement de capacités calculatoires, le développement d'une persévérance, le fait de se prouver qu'on est capable de résoudre n'importe quel système (et de ne plus avoir peur en devoir), et par voie de conséquence se dire devant tout exercice, même les compliqués, qu'on peut y arriver.
Un peu comme quand tu prends un adolescent qui n'a jamais couru de sa vie : au début il galère mais à force d'effort il finit par courir une heure entière : ça lui montre qu'il est capable de le faire et potentiellement ça lui ouvre une toute autre façon de se percevoir et de percevoir ses capacités. Et j'en sais quelque chose, cet adolescent, c'était moi.
J'en passe des vertes et des pas mûres.

Bref, à nouveau, je ne remets absolument pas en question l'enseignement de Borassus ; en effet, je réitère, mais de ce qu'il nous dit, c'est un excellent professeur ! Je le pense réellement et je ne reviens pas là-dessus. Non, je remets juste en cause sa vision de ce qui doit ou non être donné en exercice. C'est un peu la «bienveillance» qui peut avoir du bon quand utilisée à bon escient mais qui a fini par plomber l'enseignement français versus «difficulté & qualité» de ce même enseignement français.

Dernière modification par DrStone (25-03-2024 13:44:39)

DrStone · 25-03-2024 13:43:52

Un autre exercice totalement hors de porté mais plus dans le thème car il s'agit juste de résoudre un système :

Discuter et résoudre dans $\mathbf{R}^3$ le système suivant ou $\lambda$, $a$, $b$, $c$ sont des paramètres réels.
$$\begin{cases}
\lambda x + y + z = a \\
x + \lambda y + z = b \\
x + y + \lambda z = c.\end{cases}$$

Borassus · 25-03-2024 13:51:06

Borassus a écrit :

D'autre part, je n'ai pas écrit que l'exercice est trop difficile pour mes élèves : j'ai écrit que si l'élève ne perçoit pas l'intérêt de s'y attaquer, il ne le fera pas !
(J'ajoute aussi qu'il me sera peu évident de le caser dans un cours car il nécessite une bonne tranche de temps, au détriment des sujets demandés par l'élève. Je t'assure qu'une heure et demie, voire deux heures, passe vite.)

Excuse-moi s'il te plaît d'être un peu abrupt, Doc, tu n'as pas l'impression d'être "un peu" fatigant ?

DrStone · 25-03-2024 13:56:37

Non.

D'autre part, je n'ai pas écrit que l'exercice est trop difficile pour mes élèves : j'ai écrit que si l'élève ne perçoit pas l'intérêt de s'y attaquer, il ne le fera pas !

J'ai répondu à ce passage.

J'ajoute aussi qu'il me sera peu évident de le caser dans un cours car il nécessite une bonne tranche de temps, au détriment des sujets demandés par l'élève. Je t'assure qu'une heure et demie, voire deux heures, passe vite.

C'est vrai qu'ils sont incapables de le faire eux-mêmes si tu leur donnes à faire pour la prochaine fois que tu les verras. ^_^

Ernst · 25-03-2024 13:59:18

Bonjour,

Moi j’aime bien vous lire, tous les deux. Cela anime un forum plutôt calme je trouve. J’ai souvent envie d’ajouter mon grain de sel mais pas sûr que cela soit utile tant j’ai une vision encore différente.

Mon approche fondamentale, c’est que le monde a changé. On est passé du boulier aux tables de logarithmes et des règles à calcul aux calculatrices, eh bien aujourd’hui on est passé des calculatrices aux logiciels de calcul formel. Cela n’a aucun intérêt d’extraire une racine à la main ou de calculer sans aide aucune la valeur numérique d’une fonction trigonométrique, il suffit de taper le système d’équation dans Maple ou équivalent et c’est lui qui fait les calculs :

résolu

En mathématique l’important aujourd’hui est de savoir poser les opérations. Si, face à un problème donné, j’arrive à le réduire à un système de deux équations à deux inconnues, le problème est résolu. Pas besoin d’en tirer des x et des y tarabiscotés si c’est pour s’arrêter en cours de route, c’est-à-dire conserver tous les radicaux – à mon humble avis bien sûr.

DrStone · 25-03-2024 14:08:41

Bonjour Ernst. ^_^

Bien sûr ! Et tu as totalement raison.

Simplement, le but de cet exercice, aussi bien aujourd'hui qu'à l'époque (on sortait des mathématiques modernes avec des élèves acalculiques comme le dit si bien yoshi… même si j'espère lui avoir montré avec ma prestation que ce n'était pas le cas de tous les élèves :=)) lorsque l'enseignement était encore empreint d'une forte dose d'algèbre, permettant aussi bien l'abstraction que la modélisation d'un problème afin de trouver la solution optimale — malgré, comme je le souligne, le retour des techniques calculatoires — est tout autre.
En effet, cet exercice est posé là, au milieu de tous les autres qui se résolvent par modélisation d'une astuce qui permet de les résoudre en deux équivalences. La seule question à se poser étant : pourquoi ?

Dernière modification par DrStone (25-03-2024 14:52:17)

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