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Borassus

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Pourquoi ne doit-on pas écrire [expression d'une fonction] prime ?

Bonjour,

Pourquoi ne doit-on pas, par exemple, écrire $(lnx)' = \dfrac 1 x$   ou   $(x^n)' = nx^{n-1}$ ?
Pourquoi le prime doit être seulement utilisé pour une fonction, et non pour l'expression de celle-ci ?

Est-ce seulement une convention plus ou moins respectée ?
Ou y a-t-il une raison de fond ?

Merci d'avance de vos indications.

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A condition qu'elle soit gênante, l'incompréhension est la clé de la compréhension.
« Pourquoi ? » est sans doute le principal moteur de la connaissance.
L'exigence précède l'expérience.

DrStone

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Re : Pourquoi ne doit-on pas écrire [expression d'une fonction] prime ?

Bonjour.

Je n'en sais pas plus que toi, mais moi, lorsque je lis $(\ln x)'$, je traduis ça soit par $\ln' x'=\ln' 1$ soit par $\ln\times 1 + \frac{1}{x}\times x=\ln + 1$, ce qui n'a aucun sens. [AJOUT] Pire encore, lorsque $x$ est une valeur numérique bien déterminée, par exemple $x=3$, alors je traduis $(\ln 3)'$ par la dérivée de la valeur numérique de $\ln 3$, soit $(1,099)'=0$.
Au-delà de cet aspect, il y a aussi, me semble-t-il, la prise en compte des calculs parfois longs et compliqués. Quid de fonctions telle que

$$\frac{\sqrt{x^2+1}+x}{\sqrt{x^2+1}-x}+\frac{x^3}{\sqrt{x^2+2x-3}} ?$$
Même si j'imagine que dans les deux cas, c'est dû fait de conventions d'écritures qui m'ont été enseignées en amont pour plus de clarté.

Dernière modification par DrStone (15-03-2024 14:22:02)

Borassus

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Re : Pourquoi ne doit-on pas écrire [expression d'une fonction] prime ?

Bonjour très cher Doc :-)

mais moi, lorsque je lis $(\ln x)'$, je traduis ça soit par $\ln' x'=\ln' 1$ soit par $\ln\times 1 + \frac{1}{x}\times x=\ln + 1$, ce qui n'a aucun sens.

Ah bon ?
Et comment lis-tu $(cos x)'$ ? $cos' x'$ ?

[Ajouté]
Qu'est-ce qui empêche d'écrire
$$\left( \frac{\sqrt{x^2+1}+x}{\sqrt{x^2+1}-x}+\frac{x^3}{\sqrt{x^2+2x-3}} \right)'$$

Dernière modification par Borassus (15-03-2024 14:44:54)

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DrStone

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Re : Pourquoi ne doit-on pas écrire [expression d'une fonction] prime ?

En effet, ce qui n'a bien sûr, comme je l'ai écrit, aucun sens et est dû à une convention d'écriture qu'on m'a apprise lorsque j'avais 15 ans.
Étant donné que tu invoques les fonctions circulaires, cela me fait penser que cette convention d'écriture, $f'(x)$, existe peut-être pour se rapprocher d'autres écritures telles que $\cos^2(x)$ et autres $\sin^2(x)$…

Rien ne t'en empêche. Comme je l'ai écrit, c'est plutôt pour des longs calculs : tu vas probablement vite t’emmêler les pinceaux avec une telle écriture. Alors imagine après quand tu enseignes ça à des ados. De fait, tu conviens alors d'une convention que tu enseignes et cette convention devient naturelle pour les élèves qui deviendront eux-mêmes des profs qui appliqueront cette convention… et ainsi de suite jusqu'à qu'elle s'impose.

Dernière modification par DrStone (15-03-2024 14:51:26)

DrStone

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Re : Pourquoi ne doit-on pas écrire [expression d'une fonction] prime ?

Même si encore une fois, comme je l'ai mis en ajout plus haut, il y a aussi le fait que $(\ln x)'$ corresponde à la dérivée de la valeur $\ln x$ et pas à la fonction : pour cela que $\ln' 3=\frac{1}{3}$ et $(\ln 3)'=0$.

Dernière modification par DrStone (15-03-2024 14:58:01)

Glozi

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Re : Pourquoi ne doit-on pas écrire [expression d'une fonction] prime ?

Bonjour,
Comme toujours, il faut se souvenir que $f$ est une fonction mais $f(x)$ est une valeur de la fonction. La notation $'$ prend une fonction en entrée et renvoie une fonction${}^*$. Si $f$ est une fonction on peut écrire $f'$ mais $f(x)$ n'est a priori pas une fonction donc on ne peut pas écrire $(f(x))'$. De même $1'$ n'a de ce point de vue là aucun sens car $1$ est un nombre pas une fonction (même si on comprend ce que ça veut dire).

Sinon voici quelques problèmes qui me viennent en tête il y en a sûrement d'autres que j'ai oublié.

Premier problème : si on trouve $f(x_0)=g(x_0)$ pour un certain $x_0$ on a très envie d'écrire $(f(x_0))'=(g(x_0))'$ alors qu'on a pas forcément $f'(x_0)=g'(x_0)$. De manière plus formelle il faut se souvenir que $f'(x_0)$ ne dépend pas que de la valeur de $f$ en $x_0$ mais de toutes les valeurs de $f$ sur un voisinage de $x_0$, en ce sens écrire $f'(x_0)$ est bien plus cohérent que d'écrire $(f(x_0))'$.

Deuxième problème : que vaut $(xy)'$ ? Est-ce que ça vaut $y$ ou est-ce que ça vaut $x$ ? Si on pose $f : x \mapsto xy$ alors il est clair que pour tout $x$ on a bien $f'(x) = y$, en revanche si on pose $g : y \mapsto xy$ alors cette fois $g'(y)=x$.

Troisième problème (plus concret) : un $'$ écrit en haut à droite d'une lourde expression risque d'être oublié (car passé inaperçu) lorsqu'on recopie d'une ligne à l'autre.

Une solution : dans des lignes de calcul, utiliser la notation de Leibniz. Par exemple : $\frac{d}{dx}(x^2)=2x$ fait sens.
On peut alors écrire $\frac{d}{dx}(x^2\cos(x)) = x^2\frac{d}{dx}(\cos(x))+\cos(x)\frac{d}{dx}(x^2)=-x^2\sin(x)+2x\cos(x)$.
On peut aussi écrire $\frac{d}{dx}(xy)=y$ et $\frac{d}{dy}(xy)=x$.

Autre problème (peut être plus technique) qui souligne le fait qu'il faut faire la différence entre $f$ et $f(x)$. L'idée est de prendre pour $f$ une fonction qui a un nombre associe une fonction.
Par exemple, prenons la fonction
$\begin{array}{ccccc}
f & : & \mathbb{R} & \to & \mathcal{C}^\infty(\mathbb{R}, \mathbb{R})\\
&  & x & \mapsto & g_x : y \mapsto x
\end{array}$
Autrement dit à un réel $x$, $f$ associe la fonction constante $y\mapsto x$ (ie dont le graphe est la droite horizontale d'ordonnée $x$).
Alors $f(x)'$ ici a un sens et pour tout $x$, $f(x)'$ est la fonction nulle. Mais quel sens donné à $f'$ ? Avec le calcul différentiel, on peut dire que dans l'espace vectoriel $\mathcal{C}^\infty(\mathbb{R}, \mathbb{R})$, alors $f(x+h)=f(x)+hc$ où $c$ est la fonction constante égale à $1$. Ainsi quelque soit la norme sur $\mathcal{C}^\infty(\mathbb{R}, \mathbb{R})$, $f$ est différentiable sa différentielle étant
$Df : \mathbb{R} \to \mathcal{L}(\mathbb{R}, \mathcal{C}^\infty(\mathbb{R}, \mathbb{R})), x\mapsto (h \mapsto hc)$
Autrement dit la "dérivée" (il faudrait dire différentielle) de $f$ ne vaut pas $0$.

Bonne journée

${}^*$ En pratique la notation $'$ prend une fonction numérique $f$ et un nombre $x$ et renvoie $f'(x)$ le nombre dérivé de $f$ en $x$. En laissant $x$ variable, on obtient bien $f'$ une fonction qui a un réel $x$ associe le nombre dérivée de $f$ en $x$ (je passe sous silence tous les problèmes de dérivabilité).

Borassus

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Re : Pourquoi ne doit-on pas écrire [expression d'une fonction] prime ?

Bonsoir DrStone et Glozi, bonsoir (ou bonjour) à ceux qui suivent cette discussion.

Je réponds tardivement car j'étais en cours tout l'après-midi jusqu'au soir.

Ma question ne va pas aussi loin que vos réponses, dont je vous remercie.

Je posais cette question car j'ai souvent tendance, par flemme et par raccourci, à rappeler à mes élèves les dérivées des fonctions de base en appliquant le prime directement à l'expression : $(cosx)' = -sinx$  ,  $(lnx)' = \dfrac 1 x$  ,  etc. , plutôt que d'écrire « si $f(x) = cosx$ alors $f'(x) = -sinx$ »  ou  « si $f(x) = lnx$ alors $f'(x) = \dfrac 1 x$, tout en les prévenant que j'utilise cette écriture par simplification et qu'ils ne doivent pas l'utiliser dans leurs copies, le prime devant être réservé aux fonctions désignées par une lettre.

Bien évidemment, je n'écris pas $(ln3)'$  ni  $ln'3$.
Je n'écris pas non plus $(f(x_0))'$.

La notation $'$ prend une fonction en entrée et renvoie une fonction.

J'aime bien cette formulation. Je l'expérimenterai à la première occasion en expliquant que le prime est un opérateur sur les fonctions.

De manière plus formelle il faut se souvenir que $f'(x_0)$ ne dépend pas que de la valeur de $f$ en $x_0$ mais de toutes les valeurs de $f$ sur un voisinage de $x_0$, en ce sens écrire $f'(x_0)$ est bien plus cohérent que d'écrire $(f(x_0))'$.

Je retiens le sens de $f'(x_0)$ en tant que fonction du voisinage de $x_0$. C'est ce que j'explique aussi, mais de façon différente. J'expérimenterai cette formulation.

Pour illustrer la logique de dérivation, j'entraîne mes élèves de Première et de Terminale à déterminer les dérivées partielles de fonctions complètement fantaisistes à trois variables, ainsi que des dérivées partielles secondes. J'utilise alors la notation classique, et fort belle, $\dfrac {\partial f}{\partial x}$  ,  $\dfrac {\partial f}{\partial y}$  ,  $\dfrac {\partial ^2 f}{\partial x \partial y}$  , etc. , et n'utilise donc jamais le prime.

Une solution : dans des lignes de calcul, utiliser la notation de Leibniz. Par exemple : $\frac{d}{dx}(x^2)=2x$ fait sens.
On peut alors écrire $\frac{d}{dx}(x^2\cos(x)) = x^2\frac{d}{dx}(\cos(x))+\cos(x)\frac{d}{dx}(x^2)=-x^2\sin(x)+2x\cos(x)$.
On peut aussi écrire $\frac{d}{dx}(xy)=y$ et $\frac{d}{dy}(xy)=x$.

J'utiliserai effectivement cette notation pour dériver des expressions et non des fonctions, d'autant plus que j'explique qu'elle est bien plus cohérente avec la notion de nombre dérivé en tant que quotient de variations infiniment petites que le prime, qui en ce sens ne signifie rien.

Bonne fin de soirée.
Bien cordialement,
B.

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Borassus

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Re : Pourquoi ne doit-on pas écrire [expression d'une fonction] prime ?

Bonjour,

J'utilise aussi la notation prime pour expliquer à un élève débutant en matière de dérivation les phases successives de la dérivée d'un polynôme :

$\left( 5x^4 - 7x^3 +  - 11x + 6 \right)'$
$= (5x^4)' + (- 7x^3)' + (3x^2)' + (- 11x)' + (6)'$
$= 5 \times (x^4)' + (-7) \times (x^3)' + 3 \times (x^2)'  + (-11) \times (x)' + (6)'$

tout en indiquant que cette façon d'écrire est "entre nous", et que l'élève ne doit pas l'utiliser sur une copie.

Bonne journée.
B.

Dernière modification par Borassus (16-03-2024 13:21:02)

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