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Mathilde_sia

Invité

DM très compliqué sur les suites

Bonjour , je n’arrive vraiment pas à cette exercice et personne autour de moi n’arrive à m’aider , est-ce que quelqu’un pourrait m’aider ?? Voici :
1.a) Soit f la fonction définie sur R par : $f(x)= 1/6(2x^3-3x^2+x)$
Démontrer que , pour tout x appartenant à R , $f(x+1)=x^2$ (on admet que $(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$
b) En déduire que pour tout n appartenant à N* , 1^2+2^2+n^2= n(n+1)(2n+1)/6
c) Application : calculer 1^2+2^2+…+15^2
2.a) Soit g la fonction définie sur R par : g(x)= 1/4x^2(x+1)^2
Démonter que pour tout x appartenant à R , g(x+1)-g(x)=x^3
b) En déduire que pour tout n appartenant à N* , 1^3+2^3+…+n^3=n^2(n+1)^2/4
c) Application : calculer 1^3+2^3+…+10^3

Dernière modification par yoshi (13-03-2024 19:20:01)

Glozi

Invité

Re : DM très compliqué sur les suites

Bonjour,
Normal que tu n'y arrives pas. La première question est erronée, il faut lire $f(x+1)-f(x)=x^2$.
Sinon, si tu veux de l'aide il faut d'abord dire ce que tu as cherché/essayé et là où tu bloques.
Bonne journée

Mathilde_sia

Invité

Re : DM très compliqué sur les suites

Bonjour , merci pour votre réponse
J’ai commencé mais je n’arrive pas à développer pour obtenir x^2
Voici ce que j’ai fait :
f(x+1)-f(x)=1/6[2(x+1)^3-3(x+1)^2+x+1]-1/6(2x^3-2x^2+x)
=1/6[2*(x)^3+3*(x)^2*1+3*x*(1)^2+1^3)-3(x+1)^2+x+1]-1/6(2x^3-2x^2+x)
Voilà je n’y arrive plus je m’embrouille dans les calculs et je n’arrive pas à x^2

Zebulor

Membre expert

Inscription : 21-10-2018

Messages : 2 139

Re : DM très compliqué sur les suites

Bonjour,
je n'arrive pas à te lire ..en laissant le 1/6 de côté, tu peux déjà regrouper des termes  :
$[2(x+1)^3-3(x+1)^2+x+1]-(2x^3-3x^2+x)=2(x+1)^3-3(x+1)^2-2x^3+3x^2+1+x-x=...$
Puis développer... simplifier

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En matière d'intégrales impropres les intégrales les plus sales sont les plus instructives.

Glozi

Invité

Re : DM très compliqué sur les suites

Oui, le calcul est "pénible" et on ne va pas pouvoir y couper.
On peut commencer par tout développer. Tu as déjà développé (c'est à dire mis sous forme d'une somme de plusieurs termes) le $(x+1)^3$, il faut faire la même chose avec le $(x+1)^2$ par exemple.
Je te conseille de prendre ton temps et d'encadrer les différents termes que tu obtiens de différentes couleurs en fonction de leur type (constante, $x$, $x^2$ ou $x^3$), puis de les regrouper comme dit Zebulor.

Le calcul a beau être impressionnant, si on y va méthodiquement on va forcément arriver au résultat, il faut y croire !!

Mathilde_sia

Invité

Re : DM très compliqué sur les suites

Oui j’ai réussis merci beaucoup ! Je suis passé à la 1.b et je pense que vu que je sais que f(x+1)-f(x)=x²et que ma somme c'est 1²+2²+...+n² ,  qu’il faut que je donne des valeurs à x jusqu'a n puis que je sommes le tout mais je ne suis pas sûr de comment bien m’y prendre tu peux vérifier mon raisonnement ? :)

Glozi

Invité

Re : DM très compliqué sur les suites

C'est une bonne idée, essaye et on verra bien si ça marche, ou si ça coince !

Mathilde_gan

Invité

Re : DM très compliqué sur les suites

J’ai commencé j’ai fais :
f(2)-f(1)=1^2
f(3)-f(2)=2^2
f(n+1)-f(n)=n^2
S=1^2+2^2+…+n^2
Mais après je ne vois pas comment je peut calculer la somme pour obtenir: n(n+1)(2n+1)/6 ?

Zebulor

Membre expert

Inscription : 21-10-2018

Messages : 2 139

Re : DM très compliqué sur les suites

Bonsoir,
tu es bien partie ! Comme tu l'as écrit précisément, S est la somme des carrés des $n$ premiers entiers, mais c'est aussi une somme de différences si tu regardes les membres à gauche de chaque égalité, à savoir :
  f(2)-f(1)
+f(3)-f(2)
+f(4)-f(3)
+...
+f(n+1)-f(n)
et cette somme est dite télescopique parce que des termes "se compensent", si bien qu'elle peut s'écrire beaucoup plus simplement.

Et si sujet te paraît compliqué, tu peux le décomposer en sous problèmes qui pris isolément ne sont pas si compliqués (je me répète)

Dernière modification par Zebulor (15-03-2024 19:08:03)

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