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Peroquet

Invité

Théorème de Cauchy Lipschitz.

Bonsoir,

Sur le lien suivant, https://arege.pages.math.cnrs.fr/files/poly_2M310.pdf , page, [tex]84[/tex], comment réussit-t-on à trouver que, l'intervalle maximal est de la forme, [tex] J = ] t_0 - \dfrac{y_{0}^{2}}{2} , + \infty [ [/tex] ?

Merci d'avance.

Peroquet

Invité

Re : Théorème de Cauchy Lipschitz.

Pardon, page : [tex]83[/tex].

Zebulor

Membre expert

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Re : Théorème de Cauchy Lipschitz.

Bonjour,
$y^2(t)$ est nécessairement positif, d'où la contrainte sur la variable $t$

Peroquet

Invité

Re : Théorème de Cauchy Lipschitz.

Merci pour ta réponse Zebulor.  :-)
Comment montrer que, [tex]J = ] t_0 - \dfrac{y_{0}}{2} , + \infty [[/tex] est le plus grand ouvert sur quel est définie la solution de l'équation : [tex]y' = \dfrac{1}{y}[/tex], [tex] \ \ y(t_0) = y_0 \neq 0[/tex] ?
Merci d'avance.

Zebulor

Membre expert

Inscription : 21-10-2018

Messages : 2 230

Re : Théorème de Cauchy Lipschitz.

bonsoir Peroquet,
hmmm d'accord...  d'autres plus compétents que moi sur le sujet te répondront en attendant peut être que ce lien peut t'inspirer :

https://www.bibmath.net/dico/index.php? … ntsol.html

Roro

Membre expert

Inscription : 07-10-2007

Messages : 1 802

Re : Théorème de Cauchy Lipschitz.

Bonsoir,

Si Zebulor laisse la main, je me lance : ton problème est un problème de Cauchy pour lequel tu sais qu'il existe une unique solution maximale. Tu as même obtenu l'expression de la solution sur $I=]T_{min},+\infty[$ (je note $T_{min}=t_0-\frac{y_0^2}{2}$) :
$$y(t) = \sqrt{2(t-T_{min})}.$$

Si $I$ n'était pas le plus grand intervalle sur lequel était définie la solution, celle-ci pourrait se prolonger en $T_{min}$ en une fonction au moins dérivable. Puisque ta fonction $y$ ne peut pas se prolonger de façon dérivable en $T_{min}$ (son prolongement continu est non dérivable en $T_{min}$), c'est que $I$ est maximal.

Je ne sais pas si c'est clair.

Roro.

P.S. Je vois que Glozi a répondu en même temps... ça permettra d'avoir deux visions (proches) de la réponse envisagée, ce qui est une très bonne chose (du moment qu'on ne se contredit pas :-) !

Dernière modification par Roro (07-03-2024 22:00:46)

Glozi

Invité

Re : Théorème de Cauchy Lipschitz.

Bonsoir,
Vois tu pourquoi l'intervalle $I_{max}$ ne peut pas être plus grand que $]t_0-y_0^2/2,\infty[$ ?
Sinon, comme l'a dit Zebulor, n'oublie pas que pour $t\in I_{max}$ le poly a montré que $y(t)^2-y_0^2=2t-2t_0$ (et aussi que $y(t)^2>0$).
Vois tu pourquoi l'intervalle $I_{max}$ ne peut pas être plus petit que $]t_0-y_0^2/2,\infty[$ ?
Sinon, le poly n'a-t-il pas donné une solution sur cet intervalle ?

Au passage : il y a une différence entre "le plus grand ouvert" et "le plus grand intervalle ouvert". Concernant $I_{max}$ il désigne usuellement le plus grand intervalle ouvert.
Bonne soirée

Glozi

Invité

Re : Théorème de Cauchy Lipschitz.

Oups, désolé Roro, je n'avais pas vu ton message alors que je rédigeais le mien

Peroquet

Invité

Re : Théorème de Cauchy Lipschitz.

Bonjour,

Vois tu pourquoi l'intervalle $I_{max}$ ne peut pas être plus grand que $]t_0-y_0^2/2,\infty[$ ?
Vois tu pourquoi l'intervalle $I_{max}$ ne peut pas être plus petit que $]t_0-y_0^2/2,\infty[$ ?

Non. Je ne vois pas du tout pourquoi l'intervalle $I_{max}$ ne peut pas être plus grand que $]t_0-y_0^2/2,\infty[$ ni plus petit que $]t_0-y_0^2/2,\infty[$. Pouvez vous m'expliquez pourquoi s'il vous plaît ? C'est trop difficile pour moi cet exercice.

Merci infiniment pour votre aide.

Peroquet

Invité

Re : Théorème de Cauchy Lipschitz.

Merci à toi aussi Roro pour ta réponse.  :-)

Glozi

Invité

Re : Théorème de Cauchy Lipschitz.

Bonjour,
Si aucun des deux sens n'est clair pour toi je propose qu'on reprenne du début.

Etape 1 : on pose bien le problème.
On a l'équation différentielle $y'(t)=f(y(t))$ avec $y(t_0)=y_0\neq 0$ où $f$ est la fonction telle que $f : x \mapsto \frac{1}{x}$
Pour appliquer le théorème de Cauchy-Lipschitz on veut déjà que la fonction $f$ soit définie sur un intervalle $U$ qui contient notre $y_0$, on choisit $U=]0,\infty[$ si $y_0>0$ et sinon $U=]-\infty,0[$. De plus, la fonction $f$ est bien $\mathcal{C}^1$ sur $U$, on va pouvoir appliquer le théorème de Cauchy-Lipschitz.

Etape 2 : on applique Cauchy-Lipschitz.
On sait que notre problème admet une maximale $(y,I_{max})$ où $I_{max}$ est un intervalle ouvert de $\mathbb{R}$ contenant $t_0$ et où $y : I_{max} \to \mathbb{R}$ est une fonction de classe $\mathcal{C}^1$ qui est solution du problème.
Cette solution est maximal au sens ou si $(\tilde{y},J)$ est une autre solution de notre problème (avec la même condition initiale) et où $J$ est un autre intervalle, alors $J\subset I_{max}$ et de plus $y$ et $\tilde{y}$ coincident sur $J$.

Etape 3 : on essaye de trouver $I_{max}$ et $y$.

Etape 3.1 : on cherche à montrer que $I_{max}$ n'est "pas trop grand".
Prenons n'importe quel $t\in I_{max}$, alors puisque $I_{max}$ est un intervalle (c'est crucial !) alors $[t_0,t]\subset I_{max}$ (au lieu de $[t_0,t]$ c'est peut-être $[t,t_0]$ si $t<t_0$ mais ça n'a pas d'impotance).
En particulier si $s$ est entre $t$ et $t_0$ on a
$y(s)y'(s)=1$
et donc $\int_{t_0}^t y(s)y'(s)ds = \int_{t_0}^tds = t-t_0$
Ainsi $\frac{y(t)^2}{2} - \frac{y_0^2}{2}=t-t_0$.
Ainsi $t=t_0-\frac{y_0^2}{2}+\frac{y(t)^2}{2}$
Or, $y(t)y'(t)=1$ donc $y(t)\neq 0$ et donc $y(t)^2 >0$
Finalement $t>t_0-\frac{y_0^2}{2}$.
On a montré que si $t\in I_{max}$ est quelconque alors forcément $t>t_0-\frac{y_0^2}{2}$.
Ceci montre l'inclusion $I_{max}\subset ]t_0-\frac{y_0^2}{2}, +\infty[$.

Etape 3.2 On montre que $I_{max}$ n'est pas trop petit.
On pose $J=]t_0-\frac{y_0^2}{2}, +\infty[$ et $\tilde{y}(t) = \text{sgn}(y_0)\sqrt{y_0^2+2(t-t_0)}$.
Alors on vérifie que $\tilde{y}$ est bien définie et $\mathcal{C}^1$ sur $J$, on vérifie que $\tilde{y}(t_0)=y_0$ et que $\tilde{y}$ est solution de l'équation différentielle sur $J$. Ceci montre que $(\tilde{y},J)$ est une solution de notre problème et donc que $J\subset I_{max}$ (par ce qui a été dit à l'étape 2).

Etape 4 : conclusion
On a montré par double inclusion que $I_{max}=]t_0-\frac{y_0^2}{2}, +\infty[$ et on a aussi montré que la solution maximale sur cette intervalle est donnée par $y(t) = \text{sgn}(y_0)\sqrt{y_0^2+2(t-t_0)}$.

Quelles étapes ne sont pas claires ?

Peroquet

Invité

Re : Théorème de Cauchy Lipschitz.

Merci beaucoup pour toutes ces précisions Glozi. C'est très gentil de m'avoir rédigé très clairement tout ce grand paragraphe. :-)
Oui, j'ai compris toutes ces deux étapes que tu m'as rédigé. Merci beaucoup.  :-)