Forum de mathématiques - Bibm@th.net

iliasse06

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limite??

Bonjour á tous,

Dans un exercice d'analyse d'une fonction qui est:
f(x)=-x+(x-1)ln(1-x) ; si x<1
f(x)=-1+ℯ^(xln(x-1)) ; si x>1
f(1)=-1
j'ai trouvé la question d'étude de la derivabilité en 1 á droite,je dois calculer alors lim1+ (ℯ^(xln(x-1)/x-1).j'ai essayé de factoriser par x dans le ln est le séparer ou de former un ln dans le dénominateur mais sans résultat. avez-vous un astuce ? (Remarque: je ne peux pas utiliser la regle d'hopitale)

Merci d'avance.

Zebulor

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Re : limite??

Bonjour,

..ℯ^(xln(x-1)) ; si x>1

Je n'arrive pas à lire ce qui précède..

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En matière d'intégrales impropres les intégrales les plus sales sont les plus instructives.

DrStone

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Re : limite??

Bonjour Zebulor.

Il me semble que c'est $e^{x\ln(x-1)}$ pour $x>1$.

DrStone

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Re : limite??

Et que

lim1+ (ℯ^(xln(x-1)/x-1)

correspond à
$$\lim_{x\rightarrow 1+} e^{\frac{x\ln(x-1)}{x-1}}$$

Zebulor

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Re : limite??

re,
merci Dr Stone, la presbytie me guette Docteur.

Dernière modification par Zebulor (28-02-2024 19:31:11)

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Zebulor

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Re : limite??

re,
je viens de relire le premier post, est ce que la limite que cherche iliasse ne serait pas plutôt $$\lim_{x\rightarrow 1+} \frac {e^{xln(x-1)}}{x-1}$$ ?

Dernière modification par Zebulor (29-02-2024 08:02:34)

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DrStone

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Re : limite??

Rebonjour.

Difficile à dire… si on regarde les parenthèses et qu'on les associe un peu mieux, on a

lim1+ {ℯ^[xln(x-1)/x-1]}

ce qui correspond bien à ce que j'ai écrit

$$\lim_{x\rightarrow 1+} e^{\frac{x\ln(x-1)}{x-1}}$$

Mais clairement, il serait bien que notre ami apprenne à écrire des mathématiques sur les internets afin de retirer toute ambiguïté.
Pour ce faire, qu'il regarde ce petit tutoriel de notre modérateur.

iliasse06

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Re : limite??

Bonjour,

je m'éxcuse tout d'abord , merci @DrStone pour m'informer á propos de LaTex, la limite est :
$\lim\limits_{x \to 1+} \frac{ℯ^{xln(x-1)}}{x-1}$

Merci

Borassus

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Re : limite??

Bonsoir iliasse,

En posant $X = x - 1$, l'exposant se transforme en $\dfrac {(X +1)lnX}{X}$

Or $lnX = - ln \dfrac 1 X$  ...

Dernière modification par Borassus (29-02-2024 00:06:43)

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A condition qu'elle soit gênante, l'incompréhension est la clé de la compréhension.
« Pourquoi ? » est sans doute le principal moteur de la connaissance.
L'exigence précède l'expérience.

Borassus

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Re : limite??

Ce genre de démo (trop trivialement concrète) est malheureusement non autorisé !  :-(

Il faut donc procéder par changement de variable en bonne et due forme.

Dernière modification par Borassus (29-02-2024 00:20:53)

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Borassus

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Re : limite??

Comme je dis :

Enoncer que le poids d'une puce est négligeable par rapport à celui d'un éléphant n'est pas mathématique : il faut écrire que la limité du rapport du poids d'une puce au poids d'un troupeau d'éléphants, lorsque le nombre d'éléphants tend vers l'infini, est égale à 0.  :-)

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Borassus

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Re : limite??

Voici les trois courbes sur GeoGebra.

Pour la troisième, on voit bien le méplat engendré par la limite...

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DrStone

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Re : limite??

Bonsoir Borassus :=)

Enoncer que le poids d'une puce est négligeable par rapport à celui d'un éléphant n'est pas mathématique

Pourtant, on peut tout à fait écrire que $p(x)=o(e(x))$ ce qui se lit littéralement, ici, «le poids d'une puce (mettons, afin de toujours avoir une fonction, durant son développement) est négligeable devant le poids d'un éléphant (idem)», qu'on peut même écrire $p(x)\prec e(x)$, et qui revient littéralement à $$\frac{p(x)}{e(x)}\longrightarrow_{x\rightarrow a} 0$$
Moi ? Chipoter ? Jamais de la vie ! :=P

Dernière modification par DrStone (29-02-2024 01:03:25)

Borassus

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Re : limite??

Bonsoir cher Docteur,

Tout à fait !

Mais lorsque j'écris que la comparaison relative n'est pas admise, je fais référence à l'enseignement (borné :-) au lycée, la notion de négligeabilité n'étant enseignée qu'à partir des Premières années.

Donc, le lycée n'admet que les raisonnements stricts par les limites enseignées, parfois jusqu'à l'absurde.
Exemple : $\lim_{x \to +\infty}  \sqrt{e^{2x} + 1} - \sqrt{e^{2x} - 1}$
alors que pour $x = 10$ — un nombre infiniment grand, vous en conviendrez —, $e^{2x} > 485 \times 10^6$,
et que pour $x = 15$ — un nombre infiniment supérieur au précédent —, $e^{2x} > 10 686 \times 10^9$, soit presque 10 700 milliards !!

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Borassus

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Re : limite??

Il faut donc factoriser par $e^{2x}$, écrire que la limite de $\dfrac {1} {e^{2x}}$ est égale à $0$, etc.

C'est précisément cet exercice qui m'a fait penser à la métaphore du poids d'une puce par rapport au poids d'un éléphant. ou plutôt d'un troupeau d'éléphants.

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DrStone

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Re : limite??

Rebonsoir Borassus.

Bien entendu ! Il s'agit juste de chipotage histoire de papoter un peu ! En effet, je suis conscient du fait que l'enseignement secondaire est borné à l'absurde. Ce qui est dommage car, encore une fois (parais-je d'un vieillard radotant ?), à mon époque les notations de Landau ainsi que les notions de négligeabilité et de dominance étaient enseignées en première… "Dommage" non pas du fait que le monde il était plusss beau et plusss mieux avant, mais bien parce que ce genre de petites notions périphériques, à ce stade de l'instruction des élèves, permettent de mettre en lumière certaines notions plus fondamentales en leur donnant un caractère plus «concret».

Dernière modification par DrStone (29-02-2024 01:33:04)

Borassus

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Re : limite??

mais bien parce que ce genre de petites notions périphériques, à ce stade de l'instruction des élèves, permettent de mettre en lumière certaines notions plus fondamentales en leur donnant un caractère plus «concret».

C'est précisément ma démarche complètement à rebours de l'enseignement : expliquer (beaucoup) plus, pour faire comprendre le moins.

PS : J'aimais bien la "notion de négociabilité".  :-)

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DrStone

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Re : limite??

Je dis cela car dans le même ordre d'idée, à mon époque (toujours), la géométrie était totalement absente de l'enseignement et je n'aurais jamais du savoir ce que sont les théorèmes de similitudes des triangles ou encore ce que sont la droite d'Euler ainsi que le cercle des neufs points.

Pour autant, mes professeurs de lycée avaient à cœur de nous donner, chaque fois que cela était pertinent, des illustrations géométriques "classiques" de notions employées (quitte à perdre cinq à dix minutes à tous les cours, faisant qu'on était ric-rac pour le bac, qu'on a pourtant tous réussi haut la main dans ma classe et même mon lycée — et tout ceci y a sans aucun doute beaucoup contribué), nous permettant d'avoir une appréciation concrète de tout ce charabia théoriquement irréprochable mais tellement éloigné de nos préoccupations d'adolescents.

Raison pour laquelle, il me parait important que les programmes deviennent un peu plus permissifs et moins bornés. Enfin, c'est mon avis en tout cas.

Dernière modification par DrStone (29-02-2024 01:41:20)

Borassus

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Re : limite??

Je dis cela car dans le même ordre d'idée, à mon époque (toujours), la géométrie était totalement absente de l'enseignement et je n'aurais jamais du savoir ce que sont les théorèmes de similitudes des triangles ou encore ce que sont la droite d'Euler ainsi que le cercle des neufs points.

Ah bon ? Je me souviens qu'on nous faisait étudier les lieux géométriques, sur lesquels je butais régulièrement. (J'étais, carnet scolaire à l'appui, 37ème sur une classe... de 37. :-)

Le prof de 4ème (ou de 3ème) nous avait alors conseillé « La géométrie du triangle » de Trajan Lalesco, que j'ai racheté il y a quelque temps...

[justify][...] nous permettant d'avoir une appréciation concrète de tout ce charabia théoriquement irréprochable mais tellement éloigné de nos préoccupations d'adolescents.
Raison pour laquelle il me parait important que les programmes deviennent un peu plus permissifs et moins bornés. Enfin, c'est mon avis en tout cas.

Entièrement d'accord !
Je bous je ne sais combien de fois par semaine face à cet enseignement qui se veut rigoureux, et qui gagnerait tellement à être « plus permissif et moins borné » !
Pas plus tard que ce soir, j'expliquais l'étendue concrète des limites de $\dfrac {lnx} x$ et de $xlnx$, calculatrice à l'appui.

20 vs 1 milliard, ou 0.000001 vs -13,5...

Dernière modification par Borassus (29-02-2024 02:11:12)

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DrStone

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Re : limite??

Ah bon ? Je me souviens qu'on nous faisait étudier les lieux géométriques, sur lesquels je butais régulièrement.

La seule géométrie (si on peut l’appeler comme cela) qui était alors enseignée, ne servait qu’à illustrer l’algèbre linéaire : les lieux géométriques ne servaient que d’exemples pratiques à la notion de produit scalaire de deux vecteurs (ainsi que, pour le professeur, à vérifier qu’on avait bien compris ce qu’était cette forme bilinéaire symétrique… dès la seconde… Ah ! c’est sur que c’était autre chose que de juste vérifier que deux vecteurs $\overrightarrow{u}\begin{pmatrix}  2 \\ 5 \end{pmatrix}$ et $\overrightarrow{v}\begin{pmatrix}  5 \\ 12.5 \end{pmatrix}$ sont colinéaires du fait d’un réel $\lambda$ tel que $\overrightarrow{u}=\lambda\overrightarrow{v}$).

Je bous je ne sais combien de fois par semaine face à cet enseignement qui se veut rigoureux, et qui gagnerait tellement à être « plus permissif et moins borné » !

Je suis de tout cœur avec toi, même si je crois que je peux aussi comprendre cet enseignent qui, il ne faut pas l’oublier, a de nombreux élèves qui ne comprennent rien à ce qu’il raconte (et « arrivent » miraculeusement à faire un ou deux exercices à droite à gauche parce qu’on leur a déjà donner les réponses. Tous les exercices de mathématiques aujourd’hui sont isomorphes : ce sont les mêmes, juste les valeurs changent).

Borassus

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Re : limite??

Tous les exercices de mathématiques aujourd’hui sont isomorphes : ce sont les mêmes, juste les valeurs changent).[/justify]

Oui, il y a beaucoup d'exercices de même nature, parfaitement répétitifs.
Exemple type : les suites arithmético-géométriques, à tel point que je récite les questions de l'exercice en ne voyant que la première phrase de l'énoncé.

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Borassus

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Re : limite??

Bien que DrStone ait visiblement envie de "papoter", j'ai vais commencer, vu l'heure — 1 h 25 — à songer à l'éventualité de me préparer au dodo.  :-)

Bonne et douce nuit !

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DrStone

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Re : limite??

Bonne nuit Borassus !