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Ossekour

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Méthode du supplémentaire pour une forme bilinéaire non régulière

Bonsoir,

Je bloque sur l'exercice suivant : "Soit [tex]\mathbb{K}[/tex] un corps quelconque, [tex]b[/tex] une forme bilinéaire symétrique ou alternée, dégénérée sur [tex]E[/tex], un [tex]\mathbb{K}[/tex]-espace vectoriel de dimension finie. Soit [tex]A[/tex] un sous-espace vectoriel de [tex]E[/tex]. Soit [tex]G[/tex] un supplémentaire de [tex]A \cap \mbox{Ker}(b)[/tex] dans [tex]A[/tex] complété en un supplémentaire [tex]F[/tex] de [tex]\mbox{Ker}(b)[/tex] dans [tex]E[/tex]. Autrement dit : [tex]A=(A \cap \mbox{Ker}(b)) \oplus G[/tex] et [tex]E=\mbox{Ker}(b) \oplus F[/tex].

1. Montrer que [tex]A^{\perp_b}=\mbox{Ker}(b)+G'[/tex] où [tex]G'^{\perp_b}=G^{\perp_{b_F}}[/tex] est l'orthogonal de [tex]F[/tex] pour la forme bilinéaire [tex]b_F[/tex].

2. En déduire que [tex]\mbox{dim}(A^{\perp_b})=\mbox{dim}(E)-\mbox{dim}(A)+\mbox{dim}(A \cap \mbox{Ker}(b))[/tex] et [tex](A^{\perp_b})^{\perp_b}=A + \mbox{Ker}(b)[/tex]."

La première question ne me pose pas de problème. Pour la deuxième partie, il faut remarquer que [tex]G' \cap \mbox{Ker}(b) = F \cap \mbox{Ker}(b)=\{ 0_E \}[/tex] et que [tex]G[/tex] est [tex]b_F[/tex]-régulier, de sorte que [tex]F=G \oplus G'[/tex]. Pas de souci non plus pour prouver que [tex]A+\mbox{Ker}(b) \subset (A^{\perp_b})^{\perp_b}[/tex] puisque chacun des sous-espaces vectoriels est inclus dans [tex](A^{\perp_b})^{\perp_b}[/tex]. En revanche, l'inclusion réciproque me pose beaucoup plus de mal.

J'ai essayé d'utiliser le fait que [tex](A^{\perp_b})^{\perp_b} \subset E = F \oplus \mbox{Ker}(b)[/tex], soit pour essayer de trouver une décomposition en élément de [tex]A[/tex] et un élément de [tex]\mbox{Ker}(b)[/tex], soit pour essayer de montrer une inégalité de dimensions, sans grand succès. J'ai aussi essayé : [tex]A^{\perp_b}=\mbox{Ker}(b) + G' \implies (A^{\perp_b})^{\perp_b}=\mbox{Ker}(b)^{\perp_b} \cap G'^{\perp_b} [/tex], qui n'est pas d'un grand secours... Mis à part cette propriété, je ne vois pas de lien entre [tex]A^{\perp_b}[/tex] et [tex](A^{\perp_b})^{\perp_b}[/tex] (qui justifierait le "en déduire") sans hypothèse supplémentaire sur la dégénerescence de [tex]b[/tex].

Auriez-vous, s'il vous plaît, une indication/un argument pour me débloquer ?

Bonne soirée.

Michel Coste

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Re : Méthode du supplémentaire pour une forme bilinéaire non régulière

Bonjour,
Je me perds un peu dans tes notations.
La "bonne" façon de faire est à mon avis de passer au quotient par le noyau $\ker(b)$ : $b$ induit une forme bilinéaire $\bar b$ non dégénérée sur $E/\ker(b)$ par $\bar b(\bar x, \bar y)=b(x,y)$.
L'orthogonal de $A$ pour $b$ est alors l'image réciproque le long de $E\to E/\ker(b)$ de l'orthogonal pour $\bar b$ de l'image de $A$. Comme $\bar b$ est non dégénérée, les dimensions se calculent bien et l'orthogonal de l'orthogonal de l'image de $A$ pour $\bar b$ est l'image de $A$.

Michel Coste

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Re : Méthode du supplémentaire pour une forme bilinéaire non régulière

La "méthode du supplémentaire" est un ersatz du passage au quotient. Le passage au quotient est banni parce que jugé trop difficile pour les étudiants. Moyennant quoi, on bidouille avec des supplémentaires qui, à mon avis, ne font qu'obscurcir les choses.
Ici le $F$ est un ersatz du quotient $E/\ker(b)$ et $G$ un ersatz de l'image de $A$ dans ce quotient. Précisément, le passage au quotient $E\to E/\ker(b)$ induit un isomorphisme de $F$ sur ce quotient et un isomorphisme de $G$ sur l'image de $A$ dans le quotient. L'isomorphisme $F\to E/\ker(b)$ transporte la forme induite $b_F$ sur $\bar b$. En particulier $b_F$ est non dégénérée.

Ossekour

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Re : Méthode du supplémentaire pour une forme bilinéaire non régulière

Bonjour Michel,

Merci pour votre réponse éclairante. Effectivement, je connais la partie régulière [tex]\overline{b}[/tex] d'une forme bilinéaire symétrique ou alternée, et les propriétés que vous décrivez, mais j'essaie de démontrer le résultat sans recourir au quotient car je suis naïvement l'énoncé de l'exercice qui m'est donné. Pour affiner ma compréhension, j'essaie de partir d'une construction grossière avec les supplémentaires pour ensuite travailler sur une construction plus élégante avec les quotients.

Il y a, dans le même livre, un autre exercice qui consiste à montrer que [tex]A^{\perp_b}=\pi^{-1}(\pi(A)^{\perp_{\overline{b}}})[/tex] et à en déduire les mêmes résultats que ceux que j'essaie de montrer. Cet exercice se traite, me semble-t-il exactement comme vous le dites dans votre premier message.

Je vais essayer de voir ce que je peux faire pour mon exercice avec votre second message.

Merci en tout cas pour votre aide.

Ossekour

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Re : Méthode du supplémentaire pour une forme bilinéaire non régulière

Bonsoir,

Désolé de déterrer ce vieux sujet, mais j'ai essayé de faire l'exercice suivant (qui correspond plus ou moins au deuxième message de Michel Coste que je remercie à nouveau pour sa réponse) :

Soit [tex]E[/tex] un [tex]\mathbb{K}[/tex]-espace vectoriel de dimension finie, [tex]b[/tex] une forme bilinéaire symétrique ou alternée sur [tex]E[/tex]. Soit [tex]A[/tex] un sous-espace vectoriel de [tex]E[/tex] et [tex]\pi : E \rightarrow E/\mbox{Ker}(b)[/tex] la surjection canonique.
1. Montrer que : [tex]A^{\perp_b}=\pi^{-1}(\pi(A)^{\perp_\overline{b}})[/tex] (où [tex]\overline{b}[/tex] est la forme régulière de [tex]b[/tex]).
2. En déduire que : [tex]\mbox{dim}(A^{\perp_b})=\mbox{dim}(E)-\mbox{dim}(A)+\mbox{dim}(A \cap \mbox{Ker}(b))[/tex] et que [tex](A^{\perp_b})^{\perp_b}=A+\mbox{Ker}(b)[/tex].

Pour la première question, pas de souci.

Pour la deuxième question, j'ai beaucoup plus de mal. Je pense que le premier résultat est équivalent à : [tex]\pi(A^{\perp_b})=\pi(A)^{\perp_{\overline{b}}}[/tex].
Comme [tex]\overline{b}[/tex] est régulière, on a : [tex]\mbox{dim}(\pi(A))^{\perp_\overline{b}}=\mbox{dim}(E/\mbox{Ker}(b))-\mbox{dim}(\pi(A))[/tex]. Je pense que [tex]\pi(A)=A/\mbox{Ker}(b)[/tex] (mais vu qu'un tel résultat ne me mène à rien, j'en doute). Je ne vois pas du tout comment faire apparaître [tex]A \cap \mbox{Ker}(b)[/tex], et la seule chose que j'arrive à montrer concernant [tex]\pi(A^{\perp_b})=(A/\mbox{Ker}(b))^{\perp_{\overline{b}}}[/tex], qui ne donne rien.

Idem pour la deuxième égalité à montrer, la seule idée que j'ai c'est de remplacer [tex]A[/tex] par [tex]A^{\perp_b}[/tex] dans le résultat de la question et de "simplifier" [tex]\pi \circ \pi^{-1}[/tex] car [tex]\pi[/tex] est surjective, et d'utiliser le fait que le double orthogonal pour [tex]\overline{b}[/tex] est en fait l'orthogonal simple pour [tex]\overline{b}[/tex] mais ça ne donne rien.

Quelqu'un aurait-il une indication s'il vous plaît pour me débloquer ?

Bonne soirée.

Michel Coste

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Re : Méthode du supplémentaire pour une forme bilinéaire non régulière

Bonjour,
Le sous-espace $\pi(A)$ est l'image de la restriction de $\pi$ à $A$ : $\pi|_A : A \to E/\ker(b)$. Quel est le noyau de $\pi|A$ ? Que te dit le théorème du rang sur la dimension de l'image de $\pi|_A$ ?

Ossekour

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Re : Méthode du supplémentaire pour une forme bilinéaire non régulière

Bonsoir Michel,

Merci pour votre réponse, c'est beaucoup plus clair ! En effet : [tex]\mbox{Ker}(\pi_{|A})=\{ x \in A : \pi(x)=\overline{x}=\overline{0} \}=A \cap \mbox{Ker}(b)[/tex]. Par théorème du rang, on a : [tex]\mbox{rg}(\pi_{A})=\mbox{dim}(A)-\mbox{dim}(\mbox{Ker}(\pi_{|A})[/tex], soit finalement [tex]\mbox{dim}(\pi(A))=\mbox{dim}(A)-\mbox{dim}(A \cap \mbox{Ker}(b))[/tex].

Comme [tex]\overline{b}[/tex] est régulière : [tex]\mbox{dim}(\pi(A)^{\perp_{\overline{b}}})=\mbox{dim}(E/\mbox{Ker}(b))-\mbox{dim}(\pi(A))[/tex], soit [tex] \mbox{dim}(\pi(A)^{\perp_{\overline{b}}}) = \mbox{dim}(E)-\mbox{dim}(\mbox{Ker}(b))-\mbox{dim}(A)+\mbox{dim}(A \cap \mbox{Ker}(b))[/tex].

De même : [tex]\mbox{dim}(\pi(A^{\perp_b}))=\mbox{dim}(A^{\perp_b})-\mbox{dim}(A^{\perp_b} \cap \mbox{Ker}(b))[/tex], et comme [tex]A^{\perp_b} \subset \mbox{Ker}(b)[/tex], on a : [tex]\mbox{dim}(\pi(A^{\perp_b}))=\mbox{dim}(A^{\perp_b})-\mbox{dim}(\mbox{Ker}(b))[/tex].

L'égalité de dimensions [tex]\mbox{dim}(\pi(A^{\perp_b}))=\mbox{dim}(\pi(A)^{\perp_{\overline{b}}})[/tex] donne l'égalité voulue, en ajoutant [tex]\mbox{dim}(\mbox{Ker}(b))[/tex].

Pour trouver la deuxième question sans utiliser le résultat intermédiaire sur la dimension de [tex]A^{\perp_b}[/tex], je pense qu'il faut montrer l'égalité de dimension "modulo [tex]\mbox{Ker}(b)[/tex]", et je remarque que (si les écritures sont licites) : [tex]\pi(A^{\perp_b})^{\perp_{\overline{b}}}=(A^{\perp_b})^{\perp_b}+\mbox{Ker}(b)[/tex], donc j'ai envie d'appliquer l'orthogonal (au sens de [tex]\overline{b}[/tex]) au résultat de la question 1 et d'utiliser le fait que le double orthogonal pour [tex]\overline{b}[/tex] est en fait l'orthogonal simple), mais ça ne donne rien j'ai l'impression. Auriez-vous une indication supplémentaire s'il vous plaît ?

Merci encore pour votre aide.

Michel Coste

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Re : Méthode du supplémentaire pour une forme bilinéaire non régulière

C'est plutôt $\ker(b)\subset A^{\perp_b}$.
Par ailleurs on a $b(x,y)= \overline b(\overline x, \overline y)$, ce qui entraîne directement que $\pi^{-1}\left(\pi(A)^{\perp_{\overline b}}\right)= A^{\perp_b}$ et que $\left(A^{\perp_b}\right)^{\perp_b} = \pi^{-1}\left(\left(\pi(A)^{\perp_{\overline b}}\right)^{\perp_{\overline b}}\right)=\pi^{-1}\left(\pi(A)\right)$.

Ossekour

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Re : Méthode du supplémentaire pour une forme bilinéaire non régulière

Michel,

En effet, on déduit ensuite que [tex](A^{\perp_b})^{\perp_b}+\mbox{Ker}(b)=A + \mbox{Ker}(b)[/tex], ce qui donne le résultat voulu.

Merci encore pour votre aide et bon week-end.