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#1 19-02-2024 14:39:18
- Ju50
- Membre
- Inscription : 28-08-2023
- Messages : 3
négligeabilité
Bonjour,
je me pose une question, il y a-t-il quelque chose qui cloche dans le raisonnement suivant ?
au voisinage de 0 : si f = o(x²) alors il existe une fonction e qui tend vers 0 en 0 telle que f(x)=x²e(x)=x.xe(x)=xe1(x) avec e1 qui tend vers 0 en 0.
Donc f=o(x).
Mais alors o(x²)=o(x)..? Mais alors o(x^n)=o(x^p) en 0 pour tout n et tout p entiers naturels...?
Si quelqu'un peut m'éclairer, merci !
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#2 19-02-2024 14:43:32
- Michel Coste
- Membre Expert
- Inscription : 05-10-2018
- Messages : 1 473
Re : négligeabilité
Bonjour,
C'est un danger de la notation "o". Il faut en fait voir $o(x^n)$ comme un ensemble de fonctions, et tu as démontré $o(x^2)\subset o(x)$ (on est bien sûr au voisinage de 0), mais pas l'inclusion inverse !
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#4 19-02-2024 16:46:51
- bridgslam
- Membre Expert
- Lieu : Rospez
- Inscription : 22-11-2011
- Messages : 1 912
Re : négligeabilité
Bonsoir,
La notation de Hardy ( << à la typographie près) permet de mieux saisir l'aspect relationnel, en évitant le signe d'égalité un peu trompeur si on ne connait pas l'abus d'écriture avec la notation de Landau.
Les énoncés de propriétés sont toutefois plus lourds à écrire car il faut par la force des choses mentionner toutes les fonctions à gauche du signe utilisé.
Ces abus d'écriture, néanmoins pratiques, sont voisins de ceux que l'on fait quand on dit par exemple : soit 2/5 le nombre rationnel r (sous-entendu =) etc ,
on ne dit jamais soit $2/5 \in r$ qui est plus conforme à la réalité.
Dans un cadre fixé (algébrique dans cet exemple, germes sur un voisinage pour l'autre), identifier un élément à une partie qui lui donne sa spécificité n'est en général pas problématique dans ce cadre, mais c'est mieux d'en être conscient.
Alain
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