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Ettore

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Morphisme de groupe

Bonjour !

J'ai du mal avec une question concernant les morphismes de groupe, j'ai bien retourner le problème dans tous les sens.. Je ne trouve que des exemples qui vérifient la relation et peine à trouver un contre exemple !

Pourriez vous m'éclairer sur un contre exemple ? Cela me donnera peut être le déclic.

En vous remerciant,

Chaleureusement,

Ettore

La question :

Exercice 4 Inverse*

Soient (X, ∗, e) et (Y, †, f) deux ensembles chacun muni d’une loi de composition interne ayant
un élément neutre (plus précisément, e est l’élément neutre de ∗, et f est l’élément neutre de
†). Soit ϕ : X → Y une application satisfaisant ϕ(x1 ∗ x2) = ϕ(x1) † ϕ(x2) quels que soient
x1, x2 ∈ X.
1
2
(1) Montrer qu’on n’a pas nécessairement ϕ(e) = f (il faut trouver un contre-exemple)

Glozi

Invité

Re : Morphisme de groupe

Bonsoir,
Si tu supposes $(X, \cdot, e)$ et $(Y, \star, e)$ des groupes alors tu vas avoir du mal à trouver un contre exemple...
En fait, il faut les lois de compositions qui ne donne pas forcément un inverse à chaque élément.
Ex : $X=Y=(\mathbb{Z},\times,1)$ et $\Phi : X\to Y, x\mapsto 0$.
Bonne soirée

bridgslam

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Re : Morphisme de groupe

Bonjour,

Il faut et il suffit que le neutre de (Y,T)  ne soit pas dans $\phi(X)$...

Par exemple l'application nulle du groupe additif de $\mathbb{R}$ dans $(\mathbb{R},\times)$
1 est le neutre pour Y.

je préférerais "morphisme" tout court (entre magmas, munis chacun d'un neutre ) dans l'intitulé du sujet, et pas morphisme de groupes...

Alain

Dernière modification par bridgslam (07-02-2024 11:25:19)

Ettore

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Re : Morphisme de groupe

merci pour vos réponses à tous les deux !

bridgslam

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Re : Morphisme de groupe

Bonsoir,

De rien, avec plaisir.

Il y en a plein : par exemple l'insertion $( X=\{1,2\}, *= inf)  \rightarrow ( Y=\{1,2,3\}, T=inf )$

Le neutre pour l'ensemble de départ est 2, c'est 3 pour Y.

A.

Ettore

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Re : Morphisme de groupe

c'est très clair, je vois comment trouver d'autres exemples désormais, merci encore !

Une petite question concernant un autre énoncé :

On considère l’application ψ : Mn(R) → F(R^n, R^n) donnée par ψ(A)(v) = A × v pour tout A ∈ Mn(R) et tout v ∈ R^n. Ici les éléments de R^n sont vus comme des matrices à n lignes et une seule colonne, et × est la multiplication matricielle. Autrement dit, si A = (aij )1≤i,j≤n, alors la i-ème coordonnée et ψ(A)(v) est donnée par Pn j=1 aijvj (LIRE : la somme sur j des a_ij*v_j)

(1) Montrer que ψ(A × B) = ψ(A) ◦ ψ(B) quels que soient A, B ∈ Mn(R).

(2) Montrer que ψ est injective.

Désolé pour l'écriture, je n'ai pas pris le temps de me replonger un poil dans latex que j'ai pu utilisé par le passé.. encore milles excuses !

Voici donc ma question : Je connais le concept de composition s'agissant de deux applications qui seraient "composables" : '(f o g) (x)', cependant je ne vois pas ce que représenterait f(x) o g(y) ?

Quant à la seconde question, la preuve de l'injectivité doit pouvoir se faire avec la propriété sur le ker(ψ).

Dernière modification par Ettore (08-02-2024 13:31:29)

bridgslam

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Re : Morphisme de groupe

Bonjour,

Normalement, changeant de sujet, vous devriez ouvrir un autre fil de discussion.

Il s'agit bien de la composition de fonctions, et même d'applications linéaires plus précisément, il n'y a rien d'ambigu.

A.

Ettore

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Re : Morphisme de groupe

Oui je comprends, je ferais ça la prochaine fois :s..

Par contre, quelle est la différence entre psi(A) où A est une matrice de Mn(R) et psi .. ? La question paraît vraiment bête, mais vu que la seconde question porte sur l'injectivité de psi, j'ai un doute !

Encore merci, le sujet sera clos désormais.

bridgslam

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Re : Morphisme de groupe

Oui merci c'est impératif, sinon ça noie la logique du site.

psi est une application qui envoie chaque matrice sur une certaine  application linéaire.
Il est assez courant d'envoyer tel ou tel objet sur une fonction grâce à une fonction.
Par exemple l'application qui a un réel c associe la fonction constante égale à c.
Ou encore qui a une partie de E associe la fonction indicatrice qui lui correspond, etc.

A.

Ettore

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Re : Morphisme de groupe

D'accord, merci encore, je voyais ça de façon un peu plus compliqué, mais tout va bien finalement !

Oui je comprends, ça n'arrivera plus !