Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Peroquet

Invité

Théorème des résidus.

Bonsoir,

Pourquoi le théorème des résidus présente une généralisation de la formule intégrale de Cauchy.
C'est dit ici : https://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A9o … C3%A9sidus

Merci d'avance.

Fred

Administrateur

Inscription : 26-09-2005

Messages : 7 352

Re : Théorème des résidus.

Bonjour,

  Si tu as $f$ une fonction holomorphe, il suffit d'appliquer le théorème des résidus à $g(z)=\frac{f(z)}{z-\xi}$ pour retrouver la formule intégrale de Cauchy, puisque $g$ va avoir un unique pôle en $\xi$ et que son résidu en ce point sera $f(\xi)$.

F.

Peroquet

Invité

Re : Théorème des résidus.

Oui. Merci Fred. Je comprends maintenant.
[tex]\displaystyle \int_{C} g(z) dz = \displaystyle \int_{C} \dfrac{f(z)}{ z - \xi } dz = 2 \pi i \ \mathrm{Res} ( g , \xi ) = 2 \pi i f ( \xi )[/tex],
car, [tex]\mathrm{Res} ( g(z) , \xi ) = \displaystyle \lim_{ z \to \xi } ( z - \xi ) g(z) = f( \xi )[/tex].
D'où, [tex]f( \xi ) = \dfrac{1}{2 \pi i } \displaystyle \int_{C} \dfrac{f(z)}{ z - \xi } dz[/tex].

Peroquet

Invité

Re : Théorème des résidus.

Bonjour,

Peut-on montrer à l'aide du théorème des résidus la formule intégral de Cauchy généralisée, qui est que, [tex]f^{(n)} (z) = \dfrac{n!}{2 \pi i } \displaystyle \int_C \dfrac{f(z)}{(z - \xi )^{n+1}} dz[/tex] ?

Merci d'avance.

Fred

Administrateur

Inscription : 26-09-2005

Messages : 7 352

Re : Théorème des résidus.

Re-

  Tu mélanges variable d'intégration et paramètre (ici $\xi$ et $z$). Et oui, tu appliques le théorème des résidus à $z\mapsto \frac{f(z)}{(z-\xi)^{n+1}}$ dont le résidu en $\xi$ est $\frac{f^{(n)}(\xi)}{n!}$ d'après le développement en série entière de $f$ en $\xi$.

F.

Peroquet

Invité

Re : Théorème des résidus.

Merci Fred.