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cestmoiseul01

Invité

Élément neutre d’un espace vectoriel

Bonjour à tous,
Élève en sup je me pose une question sur les espaces vectoriels :
En considérant 2 K-espaces vectoriels E et F, est-il possible que l’élément neutre de E ( par l’addition ) noté Oe appartienne à F sans être l’élément neutre de F. ( On est dans un cas où F n’est pas inclus dans E et E n’est pas inclus dans F)
Mon prof de maths a un peu calé et pense qu’on ne peut pas vraiment répondre.
Si vous avez des idées de contre exemple ou de preuve ça m’intéresse merci !

Glozi

Invité

Re : Élément neutre d’un espace vectoriel

Bonjour,
Drôle de question !
Si $E$ et $F$ sont des sous espaces vectoriels d'un même espace vectoriel $G$ alors c'est impossible (car $0_E=0_F=0_G$).

Sinon, prenons par exemple $E=\mathbb{R}\times \{1\}$ et $F=\{0\}\times \mathbb{R}$.
On définit une structure d'espace vectoriel sur $E$ comme
$\lambda (x,1)+\mu(y,1) = (\lambda x+\mu y,1)$
et une structure sur $F$ comme
$\lambda (0,x)+\mu (0,y) = (0, \lambda x+\mu y)$.
Alors $E$ et $F$ sont des espaces vectoriels (mais attention ni $E$ n'est pas un sous espace vectoriel de l'usuel $\mathbb{R}^2$).
Le neutre de $E$ est $(0,1)$ qui est bien dans $F$ mais n'est pas le neutre de $F$ (qui vaut $(0,0)$).
Bonne journée

cestmoiseul01

Invité

Re : Élément neutre d’un espace vectoriel

Merci beaucoup, je pense que nous n’avons pas suffisamment avancé dans le cours pour comprendre bien les notions de structure mais je ne comprends pas pourquoi (x, 1) + (y, 1) n’est pas égal à ( x + y, 2) par rapport à E.

Glozi

Invité

Re : Élément neutre d’un espace vectoriel

Car justement, je définis une autre structure d'espace vectoriel pour que ça donne un contre exemple.
En gros on additionne les éléments de $E$ uniquement sur leur première coordonnée (on veut que la somme de deux éléments de $E$ restent dans $E$). Si tu as la définition d'un espace vectoriel, tu peux vérifier que $(E,+)$ (avec cette loi + bizarre) est un groupe abélien de neutre $(0,1)$ puis que la loi externe $\lambda \times (x,1) := (\lambda x,1)$ est bien une loi externe qui met une structure vectorielle sur $E$. (évidemment cette structure vectorielle sur $E$ n'est pas la structure usuelle, comme je l'ai dit $E$ n'est PAS un sous espace vectoriel de $\mathbb{R}^2$ usuel).

Ce qu'il faut retenir : dans un espace vectoriel $G$ tous les sous espace vectoriels de $G$ ont (au moins) un élément commun qui est leur neutre et qui est aussi le neutre de $G$.

cestmoiseul01

Invité

Re : Élément neutre d’un espace vectoriel

Super je savais pas que l’on pouvait faire ça merci beaucoup

bridgslam

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Re : Élément neutre d’un espace vectoriel

Bonsoir,

Je viens de voir le post.

On peut considérer aussi deux espaces affines E et F qui se rencontrent (intersection G non vide).

En considérant dans E qu'un point I dans l'intersection G  est le vecteur nul pour la structure vectorielle sur E puisque qu'on peut le choisir en n'importe quel point de l'espace affine E, et en prenant un point quelconque J distinct de I dans F comme vecteur nul de F, on a ce qu'on cherche.
In fine cela revient si besoin est à translater pour décaler le vecteur nul et l'envoyer par translation sur un autre vecteur-point.
Le neutre I de E (vu comme EV)  est bien commun aux deux espaces vectoriels,  mais I n'est pas le neutre des deux.

Une activité en classe de collège? Prendre deux ficelles marquées chacune  en un point, les tendre, les croiser en ce point, en translater une le long d'elle-même...
faire ressortir le caractère vectoriel de chacune ... comme support fondamental  de la structure affine (direction, "point nul" spécifique à chacune, les deux opérations etc.

NB: j'ai évité les double-décimètre ou les règles graduées pour ne pas pencher pernicieusement vers des espaces euclidiens :-)

A.

Dernière modification par bridgslam (25-01-2024 20:35:32)

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Bernard-maths

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Re : Élément neutre d’un espace vectoriel

Bonsoir !

La question est amusante et je cogitais un schéma constitué de  :

1 axe réel, et superposé un "axe"de 1 pour E

A partir du(0,1) "pependiculairement" un autre axe réel au niveau des 1, sous lequel on met un "axe" de 0 ...

Ce qui resemble à ce que dit Alain en affine ...Si vous voyez !

Bernard-maths

Dernière modification par Bernard-maths (25-01-2024 20:07:39)

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bridgslam

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Re : Élément neutre d’un espace vectoriel

Bonjour,

Ainsi l'exemple fourni par Glozi  est typiquement celui-ci:
En considérant un espace vectoriel sur $\mathbb{R}$,  $P$,  de dimension 2, de base $(i,j)$, posons $ F = Vect(j) $ et soit $\mathcal{E} = j + Vect(i)$ le sous-espace affine de $\mathcal{P}$ ( espace affine banal associé à $P$ ).

L'espace vectoriel $E_j$ de vecteur nul j qui dirige $\mathcal{E}$  a son vecteur nul dans $F$, mais ce n'est pas celui de $F$.

A.

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Bernard-maths

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Re : Élément neutre d’un espace vectoriel

Bonjour !

Merci de ces exemples ... mais il faut que je fasse ce dessin ... à main levée, car je n'ai pas trouvé comment dessiner !

B-m

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Glozi

Invité

Re : Élément neutre d’un espace vectoriel

Bonjour,
Si vous voulez un exemple moins visualisable.
Prenez $E=\mathbb{R}$ et $F=\mathbb{R}$.
Munissez $E$ de la structure d'espace vectoriel usuel.
Pour $F$ en revanche, on définit une loi additive $\star_1$ sur $F$ par $x \star_1 y := x+y-1$, alors on vérifit que $(F, \star_1)$ est un groupe abélien d'élément neutre $1$, (l'opposé pour $\star_1$ de $x$ est $2-x$, étrange n'est-ce pas ?). On munit ensuite $F$ d'une structure de $\mathbb{R}$ espace vectoriel en définissant la loi externe $\lambda \star_2 x := \lambda (x-1)+1$. On vérifit alors que $(F,\star_1,\star_2)$ est bien un espace vectoriel.
Par exemple :
$\lambda\star_2 (x\star_1 y)= \lambda \star_2 (x+y-1) = \lambda(x+y-1-1)+1$
$= \lambda(x-1)+1 +\lambda(y-1)+1-1 = (\lambda(x-1)+1)\star_1 (\lambda(y-1)+1) = (\lambda \star_2 x)\star_1 (\lambda\star_2 y)$.
(dans $E$ vous liriez plutôt cela comme $\lambda \cdot (x+y) = (\lambda \cdot x)+(\lambda \cdot y)$).

Alors $E$ et $F$ sont deux espaces vectoriels avec le même ensemble sous-jacent mais évidemment le neutre de l'un n'est pas le neutre de l'autre.

En fait, ils ont beau être définis sur le même ensemble la structure d'espace vectoriel de l'un n'a rien à voir avec la structure d'espace vectoriel de l'autre.
C'est pourquoi on ne compare que des espaces vectoriels qui sont en fait sous espaces d'un même espace vectoriel.

▼d'où vient $F$ ?

Les lois $\star_1$ et $\star_2$ définies sur $F$ semblent sortir du chapeau, mais en fait j'ai juste "déplacé" les points de $\mathbb{R}$ de sorte que $1$ joue le rôle de l'origine (en gros j'ai déplacé la structure de $\mathbb{R}$ via la bijection $\varphi : x\mapsto x-1$. Par exemple : $x\star_1 y = \varphi^{-1}(\varphi(x)+\varphi(y))$.
Vous pouvez changer de bijection pour obtenir un espace vectoriel avec des lois atroces.

Bonne journée

Bernard-maths

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Re : Élément neutre d’un espace vectoriel

Bonjour !

En y réfléchissant (bien), si E est l'ensemble des couples (x,1) et F l'ensemble des couples (0,x), ce n'est pas parceque (0,1) de E et (0,1) de F s'écrivent pareillement, qu'ils sont "égaux" / "confondus" !

Il y a une espèce de confusion, non !???

Bonne nuit, le temps de cogiter (:-))

Pour le dessin auquel je pense, cest pareil ...

Bernard-maths

Dernière modification par Bernard-maths (29-01-2024 16:18:54)

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bridgslam

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Re : Élément neutre d’un espace vectoriel

Bonjour Bernard,

Ils sont égaux, mais selon l'espace vectoriel où on le prend, il  est translaté de j dans F par rapport à l'origine de F, égal à l'origine dans E.

Bon a-m
A.

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Glozi

Invité

Re : Élément neutre d’un espace vectoriel

Il y a une espèce de confusion, non !???

Oui c'est le cœur de ces exemples tordus : on définit deux structures d'espace vectoriel sur le même ensemble ($\mathbb{R}^2$ ou même $\mathbb{R}$). Du coup le même point de l'ensemble sous-jacent jour le rôle du neutre pour le premier espace vectoriel mais d'un autre point pour le second...

Je redis ce que j'ai déjà dit plusieurs fois, mais en pratique pour comparer deux espaces vectoriels ils faut qu'ils soient sous espaces d'un même espace vectoriel (comme ça on sait que leurs structures d'espace vectoriel proviennent d'une même structure (celle de l'espace plus gros) et seront donc comparables).

Bernard-maths

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Re : Élément neutre d’un espace vectoriel

Bonsoir !

Je suis plutôt de l'avis de Glozi, car les définitions de E et F sont indépendantes, et le "hasard" de notation crée une confusion ...

B-m

Dernière modification par Bernard-maths (30-01-2024 14:10:48)

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