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tilda

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Lebesgue intégrable vs Riemann intégrable

Bonjour

S'il vous plait , quelles sont les points de différences entre être Lebesgue intégrable et Riemann intégrable ? pourriez-vous me clarifier ?

Ce que je sais , que si une intégrale est absolument convergente au sens de Riemann ; on peut se ramener à l'intégrale de Lebesgue.

Je remarque que dans certains exos , même si on a pas la convergence absolue au sens de Riemann d'une certaine intégrale , on affirme que c'est Lebesgue intégrable vu la mesurabilité de la fonction à intégrer !

Merci d'avance.

Dernière modification par tilda (24-12-2023 13:12:03)

bridgslam

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Re : Lebesgue intégrable vs Riemann intégrable

Bonjour,

L'intégrabilité au sens de Riemann exige des conditions plus sévères qu'au sens de Lebesgue.
Déjà sa construction est basée sur des découpages en intervalles de la source, déjà choix assez rigide , que l'on fera tendre vers 0, mais simultanément ( sans moduler selon des grosses variations ou pas d'une zone à une autre, contrairement à l' intégrale de Kurzweil-Henstock au moyen de jauges ).
Lebesgue regarde ce qui se passe directement au but, mais le retour sur la source doit  fournir des parties mesurables ( plus nécessairement des intervalles) afin de pouvoir être utilisées.
Donc plus abstraite, mais l'intégrale de Lebesgue couvre plus de fonctions que l'intégrale de Riemann, pour laquelle les fonctions doivent être vraiment régulières... Disons presque continues pour schématiser.
Sous forme de videos, vous aurez une présentation sérieuse qui élude juste qques détails techniques, sur le site de maths adultes animé par Gilles Bailly-Maître, sous forme plaisante.

Bonne chance
A.