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yoshi

Modo Ferox

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Défi n°3 de décembre 2023 du site Images des mathématiques

Bonjour,

Plu précisément : https://images.math.cnrs.fr/Decembre-3e-defi.html
50e de l'année.

On pioche parmi neuf cartes numérotées de 1 à 9. Si toutes les sommes de paire de deux cartes de notre main sont distinctes, on gagne, sinon on perd. Ainsi, la main {1,3,9} est gagnante alors que la main {1,2,3,4} est perdante car 1+4=2+3. Quelle est le nombre maximal de cartes qu’une main gagnante peut contenir ?

@+

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Glozi

Invité

Re : Défi n°3 de décembre 2023 du site Images des mathématiques

Bonjour,
Merci Yoshi pour ces petites énigmes !
Je suppose que les 9 cartes sont sur la table et qu'on les prend donc sans remise.

▼proposition

Déjà, avec deux cartes différentes de $1$ à $9$, on peut obtenir exactement $15$ sommes différentes, de $3=1+2$ à $17=8+9$.
Si on prend $N$ cartes parmi les $9$ alors le nombre de paires de cartes est ${N\choose 2}=\frac{N(N-1)}{2}$. Si $N\geq 7$ alors ${N\choose 2}>15$ et donc par le principe des tiroirs, au moins deux paires donneront la même somme. Pour $N=6$, on a ${N\choose 2}=15$, ainsi si on veut réussir avec six cartes il faut que chaque paire corresponde exactement à une somme (et toutes les sommes apparairont). En particulier, on aura une paire qui donnera la somme $3$ et une paire qui donnera la somme $17$, donc parmi les six cartes on a les cartes $1,2,8,9$, mais alors $1+9=2+8$ et on a perdu. Donc $N=6$ cartes ne convient pas.

Pour $N=5$, on peut prendre la main suivante $\{1,2,3,5,9\}$ qui convient (il y en a plein d'autres).
Bilan : une main gagnante contient au plus cinq cartes.

Bonnes fêtes !