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Simoyell

Invité

Ensemble muni d'une structure

Bonjour pour tout le monde,
J'ai dans mon cours :
Soit E un espace affine. Si on fixe un point origine O∈ E, l'application:

fo:E------>E

M--------->OM(vecteur)
Est une bijection.

La bijectivité de fo découle de l'existence et l'unicité du translaté.

Remarque: 2 1. Cette bijection permet de munir l'espace affine E d'une structure d'espace vectoriel isomorphe à E.

Bonjour, ma question c'est quelle est la signification de E sera Muni d'une structure d'espace vectoriel, est ce que ça signifie que E en tant qu'espace affine est un espace vectoriel ?
Ou bien quoi?

Merci pour votre aide.

bridgslam

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Re : Ensemble muni d'une structure

Bonjour,

L' isomorphisme vous est donné, il dépend du point particulier O choisi, qui devient le vecteur nul.
Cela revient à transporter les propriétés linéaires de l'espace vectoriel directeur, par bijection, sur l'espace affine avec le même corps de scalaires.
Tous les points se valent pour jouer le rôle du vecteur nul, ce qui peut se résumer en disant qu'un espace affine est un espace vectoriel dont on a oublié l'origine, ou autrement dit la structure vectorielle est omniprésente vue de n'importe quel point central.

Dans certaines discussions pénibles on oublie parfois l'origine du sujet. Il semble même ne plus avoir grande importance.
Rien n'empêche pourtant de passer d'un point à un autre ( voire parfois de revenir au point de départ ... hum ): ça revient à faire de la géométrie affine comme Monsieur Jourdain ...
Par le jeu des translations, un espace vectoriel peut aussi être vu comme un espace affine d'ailleurs.
Par exemple il est intéressant de voir la somme d'un vecteur v et d'une droite vectorielle D comme une droite affine passant par v
( notamment si v n'appartient pas à D pour que cela ait de l'intérêt ). A un vecteur près c'est un sous-espace vectoriel !

Bonne soirée
A.

Michel Coste

Membre Expert

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Re : Ensemble muni d'une structure

Bonsoir,
Dans ton message, il y a deux "E" différents que tu écris avec la même lettre. D'une part l'espace affine $E$, d'autre part l'espace vectoriel sous-jacent $\vec{E}$.
"$E$ sera muni d'une structure d'espace vectoriel isomorphe à $\vec{E}$" signifie que $E$ n'est pas un espace vectoriel, mais que le choix d'un point $O\in E$ comme origine permet de définir sur $E$ une structure d'espace vectoriel pour laquuelle $M+N$ est le point $P$ tel que $\vec{OP}=\vec{OM}+\vec{ON}$ et $\lambda M$ est le point $Q$ tel que $\vec{OQ}=\lambda (\vec{OM})$. Si on change de point origine, on a une structure d'espace vectoriel différente.