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Borassus

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Comment a-t-on établi que e est la base du logarithme naturel ?

Bonjour ou bonsoir,

La question de fond sous-jacente à la question précédente est

Comment Euler (ou d'autres mathématiciens) a établi que le nombre e qu'il avait défini sous la forme de la série 1 + 1/1! + 1/2! + 1/3! est précisément la base du logarithme naturel, c'est-à-dire le nombre pour lequel l'aire sous la courbe y = 1/x comptée à partir de 1 est égale à 1 ??

Merci d'avance pour vos réponses !

Dernière modification par Borassus (23-10-2023 17:29:17)

Glozi

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Re : Comment a-t-on établi que e est la base du logarithme naturel ?

Bonjour,

Je ne sais pas comment historiquement cela a été fait mais si quelqu'un connait l'histoire et l'ordre de ces concepts ça m'intéresse également.

Instinctivement je vois l'approche suivante (je n'ai pas vu d'argument circulaire mais je me trompe peut-être) :
On définit $\ln$ comme la primitive sur $]0,\infty[$ de $x\mapsto 1/x$ qui s'annule en $1$.
On vérifie aisément que $\ln$ est $\mathcal{C}^1$ et que $\ln'(x)=1/x>0$ donc $\ln$ est strictement croissante. On note alors $\exp$ la fonction $\mathcal{C}^1$ réciproque de $\ln$.
On vérifie que $\exp' = \exp$ et $\exp(0)=1$ de plus $\exp$ ne s'annule pas.
En posant $g(x)=\sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!}$ on vérifie que $g$ est bien définie sur $\mathbb{R}$, $g$ est $\mathcal{C}^1$, $g'=g$ et $g(0)=1$.
Si on pose $h(x)=g(x)/\exp(x)$ alors $h'(x)=(g'(x)\exp(x)-g(x)\exp'(x))/\exp(x)^2=0$ et $h(0)=1$ donc $h$ est constante égale à $1$ et donc $\exp(x)=g(x)$.

Finalement $e=\exp(1)=\sum_{n=0}^\infty \frac{1}{n!}$, est bien la valeur telle que $\ln(e)=1$.

Bonne journée

Black Jack

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Re : Comment a-t-on établi que e est la base du logarithme naturel ?

Bonjour,

Tu trouveras peut-être ce qui t'intéresse sur ce lien : 

https://www.math93.com/19-histoire-des- … bre-e.html

Borassus

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Re : Comment a-t-on établi que e est la base du logarithme naturel ?

Merci de vos réponses, Glozi et Black Jack !

Je ne connaissais pas la page référencée par BJ, mais elle est similaire à beaucoup de pages que j'ai pu lire, et donc elle ne m'apporte pas vraiment une explication qui me permette de dire « Ça y est, j'ai compris !! », et me donne l'impression de "tourner en rond".
(Je suis très têtu dans mes incompréhensions. :-)

Le problème réside dans le fait que ces démonstrations ont été établies a posteriori, avec nos conceptions actuelles.

Dans son ouvrage " Mathématiques à travers les siècles (Tome II)", aux éditions Calvage & Mounet, Michel Garcia explique le raisonnement d'Euler pour un logarithme de base [tex]a[/tex] quelconque, en posant que le logarithme en base [tex]a[/tex] d'un nombre est la puissance à laquelle il faut élever [tex]a[/tex] pour obtenir ce nombre. (Michel Garcia indique que c'est Euler qui a intronisé cette définition du logarithme. Par là-même, Euler indique que les fonctions [tex]a^x[/tex] et [tex]log_a(x)[/tex] sont réciproques l'une de l'autre.)

M. Garcia montre que le raisonnement d'Euler, en partant de l'écriture (modernisée) [tex]a^\epsilon = 1 + k.\epsilon[/tex], aboutit à l'expression [tex]a^z = 1 + \frac{kz}{1!} + \frac{k^2z^2}{2!} + \frac{k^3z^3}{3!} + ...[/tex], où [tex]\epsilon[/tex] désigne un très petit nombre (qu'Euler désigne par [tex]\omega[/tex]).

Je cite :
« et ensuite, il introduit le célèbre nombre d'Euler [tex]e[/tex], défini comme la valeur de [tex]a[/tex] pour laquelle [tex]k = 1[/tex], et que l'on obtient en faisant [tex]z = 1[/tex] :
[tex]e  = 1 + \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} = \frac{1}{3!} + ...[/tex]. »

C'est cette dernière phrase que j'aimerais comprendre : pourquoi [tex]k[/tex] doit être égal à 1 ??

Dernière modification par Borassus (24-10-2023 19:14:04)

Borassus

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Re : Comment a-t-on établi que e est la base du logarithme naturel ?

Je crois que je commence à comprendre :

Avant d'expliquer le calcul d'Euler, M. Simon indique en parenthèse
« (il apparaîtra plus tard que [tex]k = lna[/tex] car [tex]k = \lim\limits_{\epsilon \to\ 0 } \frac{1}{\epsilon} (a^\epsilon - 1) = [...] = ln a [/tex])

Or, la dérivée de l'aire sous une courbe [tex]y = f(x)[/tex] à partir d'une valeur [tex]\alpha[/tex] donnée est [tex]f(x)[/tex].
(Ceci était connu à l'époque d'Euler.)

Donc la dérivée en [tex]x_0[/tex] de l'aire sous la courbe [tex]y = \frac{1}{x}[/tex] est égale à [tex]\frac{1}{x_0}[/tex]

Je ne sais pas encore terminer le raisonnement, mais j'ai l'impression que l'issue n'est pas loin...

Dernière modification par Borassus (24-10-2023 18:59:37)

Borassus

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Re : Comment a-t-on établi que e est la base du logarithme naturel ?

Une autre voie, plus fructueuse : Il faut lire l'égalité [tex]a^\epsilon = 1 + k.\epsilon[/tex] comme [tex]a^0 + k(\epsilon - 0)[/tex] ce qui correspond à l'approximation de premier ordre de [tex]a^x[/tex] au voisinage de [tex]0[/tex].

Comme la pente en [tex]1[/tex] à la courbe [tex]y = lnx[/tex] — j'entends ici "ln" pour "logarithme naturel" — est égale à [tex]\frac{1}{1} = 1[/tex], la pente de la courbe [tex]y = \text{labase}^x[/tex] en [tex]0[/tex] doit être, par symétrie avec la courbe [tex]y = lnx[/tex] (car les deux courbes sont réciproques l'une de l'autre), égale à 1.

Donc [tex]k[/tex] doit être égal à [tex]1[/tex].  :-)

Dernière modification par Borassus (24-10-2023 19:00:46)

Borassus

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Re : Comment a-t-on établi que e est la base du logarithme naturel ?

Donc, l'égalité [tex]a^z = 1 + \frac{kz}{1!} + \frac{k^2z^2}{2!} + \frac{k^3z^3}{3!} + ...[/tex] devient [tex]\text{labase}^z = 1 + \frac{z}{1!} + \frac{z^2}{2!} + \frac{z^3}{3!} + ...[/tex]

Et pour [tex]z = 1[/tex], on a [tex]\text{labase} = 1 + \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} + \frac{1}{3!} + ...[/tex]

Euler a appelé cette base [tex]e[/tex].

Voili, voilou  :-)

Dernière modification par Borassus (24-10-2023 19:15:11)

Borassus

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Re : Comment a-t-on établi que e est la base du logarithme naturel ?

Pour ce qui est de la raison de cette lettre [tex]e[/tex], l'hypothèse selon laquelle Euler l'aurait choisie par ce qu'il utilisait déjà les lettres a, b, c, d me séduit davantage que celle pour laquelle e serait la première lettre de "exponentielle".

Dernière modification par Borassus (24-10-2023 00:25:54)

Fred

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Re : Comment a-t-on établi que e est la base du logarithme naturel ?

Bonjour,

  C'est un sujet intéressant! Je n'ai pas lu le livre, mais dans "Histoires de calcul infinitésimal  : de l'étude des courbes aux dérivées et aux intégrales", ouvrage coordonné par Guillaume Moussard, il y a deux chapitres qui pourraient être très intéressants :
* Les fonctions logarithmes et exponentielles : quatre siècles d'histoire
* L'exponentielle avant l'exponentielle, autour de 1690.

F.

Borassus

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Re : Comment a-t-on établi que e est la base du logarithme naturel ?

Bonsoir ou bonjour,

Merci, Fred, de m'avoir communiqué la référence de cet ouvrage !

La table des matières semble prometteuse.
L'extrait qu'on peut consulter — le début du chapitre 1 — donne une représentation du style d'écriture qui a priori me convient.

Le fait que l'ouvrage consacre deux chapitres entiers au sujet montre bien que les explications réductrices et anachroniques, répétées un grand nombre de fois sans véritablement apporter un réel éclairage explicatif, ne peuvent suffire pour permettre une bonne compréhension du processus d'élaboration des exponentielles et des logarithmes.

J'ai donc bien l'intention de le commander tantôt, ou me rendre chez Gibert ou Eyrolles.
Merci encore.

Borassus

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Re : Comment a-t-on établi que e est la base du logarithme naturel ?

Bonjour,

J'ai acheté tout à l'heure le livre "Histoires de calcul infinitésimal".

J'y retrouve, avec quelques petites variantes, le raisonnement d'Euler présenté par M. Simon.
La lecture des deux chapitres indiqués par Fred va effectivement me permettre de consolider ma compréhension.

Bonne journée