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Viki098

Invité

Topologie.

Bonsoir,

Soit [tex]X[/tex] un espace topologique de Hausdorff, localement compact et [tex] \sigma [/tex] - compact.

Pourquoi [tex]X[/tex] admet une suite exhaustive de compacts [tex]( K_i )_{ n \geq 0 }[/tex] ?

Voir ici, https://en.wikipedia.org/wiki/Exhaustio … mpact_sets pour celui qui cherche la définition de la notion de suite exhaustive de compacts d'un espace topologique [tex]X[/tex].

Merci d'avance.

Michel Coste

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Re : Topologie.

Bonsoir,
Tu peux procéder ainsi :
1°) L'espace est la réunion d'une suite croissante de compacts $(L_n)$ ($\sigma$-compacité).
2°) Tu construis ensuite une suite de compacts $(K_n)$ telle que $L_n\subset K_n$ et que $K_n$ soit contenu dans l'intérieur de $K_{n+1}$, pour tout $n$ (l'espace est localement compact).

Dernière modification par Michel Coste (22-10-2023 20:46:46)

Viki098

Invité

Re : Topologie.

Merci beaucoup pour ta réponse Michel.  :-)
J’ai juste réussi à faire le point 1°), le point 2°) est très difficile pour moi.
Voici comment j'ai fait pour la point 1°) :
Puisque [tex]X[/tex] est [tex]\sigma[/tex] - compact, alors, [tex]X = \displaystyle \bigcup_{ n \geq 0 } A_n[/tex] où, [tex]A_n[/tex] est compact pour tout [tex]n \geq 0[/tex].
On pose, [tex]L_0 = A_0[/tex] et [tex]L_n = A_0 \cup \dots \cup A_n[/tex], pour tout [tex]n \geq 0[/tex].
Alors, puisque, [tex]L_n[/tex] est réunion finie de compact pour tout [tex]n \geq 0[/tex], alors, [tex]L_n[/tex] est compact pour tout [tex]n \geq 0[/tex].
En revanche, pour tout [tex]n \geq 0[/tex], [tex]L_n \subset L_{n+1}[/tex].
CQFD.
Maintenant pour le point 2°), je ne sais pas comment faire. Pouvez vous m’aider un peu plus s'il vous plaît ?
Merci d'avance.

Michel Coste

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Re : Topologie.

Tu procèdes bien sûr par récurrence, en supposant que tu es déjà arrivé à $K_n$. Déjà tu peux prendre le compact $K_n\cup L_{n+1}$, il contient $L_{n+1}$.
Ensuite, en utilisant que tout point admet un voisinage ouvert contenu dans un compact (compacité locale), tu peux montrer que tout compact est contenu dans l'intérieur d'un compact de l'espace.

Viki098

Invité

Re : Topologie.

... Ensuite, en utilisant que tout point admet un voisinage ouvert contenu dans un compact (compacité locale), tu peux montrer que tout compact est contenu dans l'intérieur d'un compact de l'espace.

Peux tu me dire Michel comment on fait pour montrer ça ? C'est trop difficile cet exercice très abstrait pour moi Michel.
Merci infiniment.

Michel Coste

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Re : Topologie.

Ne pars pas battu(e)
Tu as un compact $A$ dans un espace localement compact. Tout point $a$ de $A$ a un voisinage ouvert $V_a$ contenu dans un compact $B_a$. Les $V_a$ pour $a\in A$ forment un recouvrent $A$ ... je te laisse poursuivre.

Viki098

Invité

Re : Topologie.

Merci Michel.  :-)
Les [tex]V_a[/tex] pour [tex]a \in A[/tex] forment un recouvrement ouvert de [tex]A[/tex].
Puisque [tex]A[/tex] est compact, ce recouvrement est fini.
Donc, [tex]A \subset \displaystyle \bigcup_{ i =1}^{n} V_{a_{i}} \subset \displaystyle \bigcup_{ i =1}^{n} B_{a_{i}}[/tex] pour [tex]i = 1 , \dots , n[/tex].
On pose, [tex]B = \displaystyle \bigcup_{ i =1}^{n} B_{a_{i}}[/tex] qui est compact comme réunion finie de compacts.
On pose, [tex]V = \displaystyle \bigcup_{ i =1}^{n} V_{a_{i}}[/tex] qui est un ouvert de [tex]X[/tex] contenu dans B.
Puisque, [tex]V[/tex] est un ouvert de [tex]B[/tex], et [tex]\mathrm{int} ( B )[/tex] est le plus grand ouvert contenu dans [tex]B[/tex] ( intérieur de [tex]B[/tex] ), alors, [tex]A \subset V \subset \mathrm{int} ( B ) \subset B[/tex].
Par conséquent, [tex]A \subset \mathrm{int} ( B ) \subset B[/tex].  ( CQFD )
Est ce que c'est ça ?
Merci. :-)

Viki098

Invité

Re : Topologie.

Tu procèdes bien sûr par récurrence, en supposant que tu es déjà arrivé à $K_n$. Déjà tu peux prendre le compact $K_n\cup L_{n+1}$, il contient $L_{n+1}$.

Peux tu me dire Michel, s'il te plaît, comment poursuivre ce raisonnement qui clos le sujet en utilisant ton lemme suivant,

Ensuite, en utilisant que tout point admet un voisinage ouvert contenu dans un compact (compacité locale), tu peux montrer que tout compact est contenu dans l'intérieur d'un compact de l'espace.

Merci.  :-)

Michel Coste

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Re : Topologie.

Tu as pu finir la preuve de l'affirmation, à ceci près que
"Puisque $A$ est compact, ce recouvrement est fini"
n'est pas correct. Corrige-le, s'il te plait.
Pour la conclusion, ce n'est pas compliqué, tu peux faire. Je rappelle ce que j'ai écrit :
"Tu procèdes bien sûr par récurrence, en supposant que tu es déjà arrivé à $K_n$."
Je te laisse construire $K_{n+1}$, j'ai indiqué le premier pas : "Déjà tu peux prendre le compact $K_n\cup L_{n+1}$, il contient $L_{n+1}$.

Viki098

Invité

Re : Topologie.

Tu as pu finir la preuve de l'affirmation, à ceci près que
"Puisque $A$ est compact, ce recouvrement est fini"
n'est pas correct. Corrige-le, s'il te plait.

Je ne comprends pas où se situe le problème exactement Michel. Peux tu être explicite s'il te plaît ?
Merci.

Michel Coste

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Re : Topologie.

Le recouvrement $A\subset \bigcup_{a\in A} V_a$ n'a aucune raison d'être fini : il est indexé par l'ensemble $A$ qui n'est pas fini a priori. Je te demande donc de reformuler correctement ton assertion.
Et j'attends aussi que tu t'attaques au pas desrécurrence (construire $K_{n+1}$ à partir de $K_n$) ; on veut que $K_{n+1}$ contienne $L_{n+1}$ et que $K_n$ soit contenu dans l'intérieur de $K_{n+1}$.

Viki098

Invité

Re : Topologie.

Le recouvrement $A\subset \bigcup_{a\in A} V_a$ n'a aucune raison d'être fini : il est indexé par l'ensemble $A$ qui n'est pas fini a priori. Je te demande donc de reformuler correctement ton assertion.

Ah d'accord. Je pense comprendre maintenant.
Les [tex]V_a[/tex] pour [tex]a \in A[/tex] forment un recouvrement ouvert de [tex]A[/tex].
Puisque [tex]A[/tex] est compact, ce recouvrement possède un sous recouvrement fini.
Correct ?  :-)

Michel Coste

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Re : Topologie.

Oui, et pour le reste ?

yoshi

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Re : Topologie.

Bonsoir,

@bissa & Enos kadima : vos messages parasitant la discussion en cours supprimés.
Vous aviez jusqu'à ce soir 21 h 30 pour prendre connaissance et reposter vos messages chacun dans votre propre discussion (voir nos Règles) en cliquant sur le lien fourni.

Le délai est maintenant dépassé.
Bissa : tu ne répondais à viki098, et ton message n'avait rien à faire dans sa discussion, je te l'avais fait remarquer
Enos kadima : non seulement tu ne répondais pas non plus aux questions de Viki038, mais en plus tu as eu le culot de poster après mon message d'avertissement.

      Yoshi
- Modérateur -

Viki098

Invité

Re : Topologie.

Bonsoir Michel,
Bonsoir yoshi,
Merci Michel de m'avoir aidé.  :-)
Il reste ce dernier point que je ne sais pas faire,
Par récurrence,
Soit [tex]n \geq 1[/tex],
On suppose que, [tex]K_{n-1} \supset L_{n-1}[/tex] est compact tel que [tex]K_{n-1} \subset \mathrm{int} ( K_{n} )[/tex], et on montre, [tex]K_{n} \supset L_n[/tex] est compact tel que [tex]K_n \subset \mathrm{int} ( K_{n+1} )[/tex].
Est ce que c'est ça ?
Merci d'avance.

Michel Coste

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Re : Topologie.

Je répète.
On a le compact $K_n$. On veut construire un compact $K_{n+1}$ contenant $L_{n+1}$ et tel que $K_n$ soit contenu dans l'intérieur de $K_{n+1}$. Tu as en main tous les outils pour le faire. Qu'attends-tu pour te lancer ?

Dernière modification par Michel Coste (31-10-2023 23:14:41)

Viki098

Invité

Re : Topologie.

Ici, ...

"Tu procèdes bien sûr par récurrence, en supposant que tu es déjà arrivé à $K_n$."
Je te laisse construire $K_{n+1}$, j'ai indiqué le premier pas : "Déjà tu peux prendre le compact $K_n\cup L_{n+1}$, il contient $L_{n+1}$.

... tu m’as dit de prendre, [tex]K_{n+1} = K_n \cup L_{n+1}[/tex], c'est ça ?
- [tex]K_{n+1}[/tex] contient [tex]L_{n+1}[/tex].
- [tex]K_{n+1}[/tex] est compact, car réunion de deux compacts [tex]K_n[/tex] et [tex]L_{n+1}[/tex].
Il reste à montrer que, [tex]K_{n} \subset \mathrm{int} ( K_{n+1} )[/tex], mais, je ne sais pas le faire.
Peux tu me montrer comment Michel ?
Merci d'avance.

Viki098

Invité

Re : Topologie.

Michel,
On a montré toi et moi que, [tex]K_{n} \subset \mathrm{int} (B)[/tex] pour un certain compact [tex]B[/tex], à priori, non défini, mais pourquoi, [tex]B = K_{n+1}[/tex] ?
Merci d’avance.

Michel Coste

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Re : Topologie.

Et pourquoi pas $K_{n+1}=B$ ?
Mais il faut aussi s'assurer que $L_{n+1}\subset K_{n+1}$ (pas bien compliqué).

Viki098

Invité

Re : Topologie.

Et pourquoi pas $K_{n+1}=B$ ?
Mais il faut aussi s'assurer que $L_{n+1}\subset K_{n+1}$ (pas bien compliqué).

J'avais posté 2 messages successivement avant ton dernier message, tu n’as lu que le deuxième, tu n’as pas lu le premier.

Michel Coste

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Re : Topologie.

Ici, ...
... tu m’as dit de prendre, [tex]K_{n+1} = K_n \cup L_{n+1}[/tex], c'est ça ?

Où vois-tu que j'ai écrit ça ???
J'ai écrit que c'est un premier pas pour la construction de $K_{n+1}$.
Quand on parle de premier pas, c'est qu'on en attend d'autres.

Viki098

Invité

Re : Topologie.

[tex]K_n \cup L_{n+1}[/tex] est une partie compacte de [tex]X[/tex] localement compact, donc, [tex]K_{n} \cup L_{n+1}[/tex] admet une base de voisinages compacts. On prend alors, [tex]K_{n+1}[/tex] un voisinage compact de [tex]K_n \cup L_{n+1}[/tex], donc, contient un ouvert [tex]U[/tex], tel que, [tex]K_{n} \cup L_{n+1} \subset U \subset K_{n+1}[/tex]. Puisque, [tex]\mathrm{int} ( K_{n+1} )[/tex] est le plus grnd ouvert de [tex]K_{n+1}[/tex] contenant [tex]K_n \cup L_{n+1}[/tex], alors, [tex]K_{n} \cup L_{n+1} \subset U \subset \mathrm{int} ( K_{n+1} ) \subset K_{n+1}[/tex]. Par conséquent, [tex]K_n \subset \mathrm{int} ( K_{n+1} )[/tex].
Correct ?

Michel Coste

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Re : Topologie.

Ben voila, rien de sorcier n'est-ce pas ?

Viki098

Invité

Re : Topologie.

Merci Michel.  :-D

Michel Coste

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Re : Topologie.

Avec plaisir.