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iode

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Expliquer l'addition

Bonsoir,

Au risque de passer un peu pour un idiot, j'aurais une ou deux questions assez existentielles à poser avant de peut-être me retrouver devant des élèves l'année prochaine. Ces questions ne viennent pas entièrement de moi, ou plutôt disons que je me les étais déjà posée sans trop me soucier d'y répondre avant de retomber dessus il y a une petite semaine.

1. Pourquoi placer dans une même colonne les chiffres qui se rapporte à des unités du même ordre ?

2. Quel principe appliquer pour former les retenues ?

Si nous revenons aux fondamentaux, à savoir le principe de position, un nombre est composé de chiffres et ces chiffres ont deux valeurs : une valeur absolue (le chiffre en lui-même, disons $8$) ainsi qu'une valeur relative (mettons $8$ centaines ou $800$ unités). Jusque-là, tout va bien.

1. Dix unités d'un ordre quelconque forment une unité de l'ordre immédiatement supérieur

2. Dans un nombre, le premier chiffre à partir de la droite représente des unités simples, le deuxième chiffre à partir de la droite représente des dizaines, etc… plus généralement, tout chiffre écrit à la gauche d'un autre représente des unités de l'ordre immédiatement supérieur.

Prenons par exemple l'addition suivante : $384+23+192$.

Je comprends bien que lorsqu'une retenue apparaît c'est ce même principe de position qui s'applique. Nous atteignons les dix unités qui conduisent irrémédiablement à une unité d'ordre supérieure. Néanmoins, je ne vois pas comment "expliquer" plus que cela le fait qu'on mette les chiffres dans une même colonne selon leur ordre.

Si quelqu'un pouvait donc m'éclairer, je lui en serais reconnaissant.

yoshi

Modo Ferox

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Re : Expliquer l'addition

Bonjour,

Fichtre !...
Question existentielle s'il en est !Je vais essayer d'y répondre.
D'abord, je te conseille cette lecture qui, moi, m'avait passionné :
Histoire universelle des chiffres de Georges Ifrah
J'ai un faible pour cette présentation (celle que j'ai) :
https://fr.shopping.rakuten.com/mfp/749 … id=1446060
Faire des opérations chez les Romains, par écrit, était impossible, pour autant elles étaient réalisées quand même (et ils utilisaient la base 10) mais leur numération à principe additif et soustractif obligeait ceux qui étaient capables de compter, à utiliser un abaque, sorte de planchette creusée par colonnes destinées à recevoir des calculi (pluriel de calculus qui désignait un petit caillou * puis un jeton).
Abaque simplifiée :

 |    C    |     X    |    I    |
 |---------|----------|---------|
 |         |          |         |
 |         |          |         |
 |         |          |         |
 |         |          |         |

Mettons, pour reprendre ton exemple, qu'ils devaient additionner CCCLXXXIV + XXIII + CXCII
Tu te vois faire ça avec papier crayon, avec sans colonnes en utilisant les chiffres romains.
Les doctes romains, eux ouvraient leur sac de calculi et plaçaient
>  sur la première "ligne" :
   4 calculi dans la colonne I, puis 8 en colonne X et 3 En colonne c
> sur une deuxième "ligne" :
   3 calculi en colonne I et 2 en colonne X
> sur une 3e "ligne" :
   2 calculi en colonne I, 9 en colonne X et 1 en colonne C
Ensuite ils traitaient les colonnes de droite à gauche :
   Colonne I
Après compte du nombre de calculi en colonne I  --> 9 il, regroupaient leurs 9 cailloux/jetons sur la même "ligne"
Ils passaient en colonne X :
arrivés à10, ils retiraient leurs 10 cailloux/jetons en ajoutaient 1 de plus en Colonne C et remettaient les cailloux/jetons restants (soit 9) dans leur petit sac. Les 2 premières "lignes" de la colonne X restant vide, cette colonne ne contenait plus que les 9 cailloux/jetons de la 3e ligne.

Quant à la colonne C
elle contenait 3 cailloux/jetons + 1 transféré de la colonne X + 1 de la 3e "ligne"
Ils arrivaient donc à un total de DXCIX.
Même question : tu ferais comment sans ton abaque façon planchette ou tracée à même le sol avec ta collection de petits cailloux ?

Les premiers jetons en corne avec les 9 chiffres de 1 à 9 ont été introduits par Gerbert d'Aurillac (cf https://defimath.ca/mathadore/vol2num71.html) qui deviendra pape sous le nom de Sylvestre II

* Et le zéro ?
Le zéro, était noté par l'absence de jetons. Il est venu plus tard (Georges Ifrah l'évoque dans son livre)...

On peut dire qu'utilisant la base 10 (après C, il y avait encore M et au delà $\dot X,\;\dot M$ ou $\bar X,\; \bar C$ selon les sources...), Romains étaient des précurseurs de la notion de retenue de la numération de position...
La numération de position induit la notion de colonnage pour le calcul et l'écriture des nombres, d'ailleurs tout système de numération de position utilisant une base autre que 10 fonctionne à l'identique, par exemple la base 16 qui compte 16 chiffres  :
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8,  9, A, B, C, D, E, F
Là, le principe est : 1 unité d'un ordre quelconque  représente 16 unités de l'ordre immédiatement inférieur et les chiffres d'un nombre quelconque sont écrits, positionnés en ordre décroissant...
C'est la position d'un chiffre dans un nombre qui détermine sa valeur et les chiffres du même ordre de de 2 nombres différents placés l'un en en dessous de l'autre sont alignés verticalement donc en colonnes.
Position et ordre nous ramènent à la notion de colonne(s).
Sans la notion de colonne, base 10, base 2, base 16, les calculs seraient rendus plus acrobatiques, voire "scabreux"... Et comment, dans ce cas progresser dans les ordres d'unités.
La numération de position avec le placement de chaque ordre d'unité différent dans une colonne différente n'est que la transposition moderne, écrite,  de l'abaque romain, puis de Gerbert qui troqua le sacs de cailloux contre un sac de jetons comportant un chiffre dessiné (dont la graphie a évolué au cours des siècles cf Ifrah).
Sans les colonnes ou les abaques, comment gérer les sommes d'unités du même ordre et les retenues éventuelles ?
Très difficile.
Quoique... Les Arabes avaient inventé une forme de multiplication (largement adaptable à l'addition, je pense) où les colonnes étaient suppléées par des diagonales cf :
https://www.bibmath.net/forums/edit.php?id=87074 et https://www.cjoint.com/c/JEfpvPAcqIW

Je ne suis pas sûr d'avoir pleinement répondu à ton questionnement...

@+

[EDIT] * D'où dérivent les notions de calculs rénaux et biliaires...

Dernière modification par yoshi (19-10-2023 17:26:57)

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iode

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Re : Expliquer l'addition

Bonsoir yoshi.

Désolé pour le gros retard… plus d'un mois quand même ! Je t'ai lu quelques jours après que tu m'aies répondu mais n'ai pu prendre le temps de te répondre ; puis l'idée de te répondre a fini par me sortir de la tête… et je m'en excuse.

Quoi qu'il en soit, je n'ai pas oublié ta réponse et celle-ci m'a d'ailleurs occupée un bon paquet de jours en m'apportant des éclairages intéressants (particulièrement l'aspect historique que j'ai beaucoup aimé ! Si tu en as encore à ajouter je suis preneur !) ainsi qu'en me faisant un peu plus réfléchir sur la numération de position et surtout sur les différents systèmes de numération. En effet, avant que tu ne me répondes il ne m'était même pas venu à l'esprit que tout ceci fonctionne pour une base $b$ quelconque.

Merci donc un bon $1\times 10^3 + 0\times 10^2 + 0\times 10^1 + 0\times 10^0$ de fois pour ce message fort utile qui a dû te prendre un temps fou à rédiger.