Forum de mathématiques - Bibm@th.net

raouga45

Membre

Inscription : 06-10-2023

Messages : 4

montrer qu'un nombre est irrationel

Bonjour/Bonsoir,
la question est la suivante:
"Sachant que si p est premier alors √p est irrationnel, Montrer que $\sqrt 5 +\sqrt[3]{2} \notin \mathbb{Q}$"
les nombres de l'addition sont irrationnels mais je ne sais pas comment cela dois m'aider avec la preuve
je n'ai aucune idee a part ça si quelqu'un peut me dire comment debuter?
Merci

Fred

Administrateur

Inscription : 26-09-2005

Messages : 7 352

Re : montrer qu'un nombre est irrationel

Bonjour,

  Une idée qui a l'air de fonctionner : je vais noter $a=\sqrt 5$ et $b=\sqrt[3]{2}$, de sorte que $a^2=5$ et $b^3=2$.
On fait un raisonnement par l'absurde et on suppose que $a+b\in\mathbb Q.$
En mettant au carré, et en utilisant que $a^2=5,$ on trouve $2ab+b^2\in\mathbb Q.$
En mettant au cube, et en utilisant que $a^2=5$ et $b^3=2,$ on trouve $5a+15b+3ab^2\in\mathbb Q.$
On peut continuer ainsi, en mettant à la puissance 4,5,6,... (autant de fois qu'il est nécessaire) et on va trouver un certain nombre d'équations en $a$, $b$, $b^2$, $ab$ et $ab^2$ dont les coefficients sont tous dans $\mathbb Q.$ En résolvant ce système, on va pouvoir conclure que $a\in\mathbb Q,$ ce qui est une contradiction.

F.

Cidrolin

Membre

Lieu : Paris 13ème

Inscription : 17-09-2023

Messages : 45

Re : montrer qu'un nombre est irrationel

Bonjour,
Posons $x=\sqrt 5 +\sqrt[3]{2}$ et supposons $x  \in \mathbb{Q}$,
alors $2=(x-\sqrt 5)^3$, on développe, on isole $\sqrt 5$.
On tombe sur une contradiction.
Amicalement

Fred

Administrateur

Inscription : 26-09-2005

Messages : 7 352

Re : montrer qu'un nombre est irrationel

Beaucoup plus simple!!!

raouga45

Membre

Inscription : 06-10-2023

Messages : 4

Re : montrer qu'un nombre est irrationel

Bonjour,
Posons $x=\sqrt 5 +\sqrt[3]{2}$ et supposons $x  \in \mathbb{Q}$,
alors $2=(x-\sqrt 5)^3$, on développe, on isole $\sqrt 5$.
On tombe sur une contradiction.
Amicalement

Merci beaucoupppp
comme a chaque fois je me sens con de pas y avoir reflechit
et Merci a Mr.Fred aussi