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bridgslam

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suites et permutation des termes

Bonjour,

Si on considère une suite de réels u quelconque, il est parfois impossible de trouver une bijection $\phi : \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N} $ telle que
$u o \phi$ soit croissante ( toute suite qui n'a pas de minimum par exemple , mais aussi la suite (1 , 1/2, 2/3, 3/4, ....).
Peut-on affirmer qu'une CNS pour que ce soit vrai est : $\forall n \in \mathbb{N} \; \{ k: u_k \lt u_n \}$ est fini ?
Une preuve rigoureuse si c'est vrai?

Alain

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"Ceux qui ne savent rien en savent toujours autant que ceux qui n'en savent pas plus qu'eux" -Pierre Dac
"Travailler sur un groupe haddock, ou être heureux comme un poisson dans l'eau..."

Michel Coste

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Re : suites et permutation des termes

Bonjour,
La condition est clairement nécessaire.
Elle est suffisante :
Supposons la condition vérifiée. On définit un ordre $\prec$ sur $\mathbb N$ par $n\prec p$ si $u_n <u_p$ ou $(u_n=u_p \text{ et } n\leq p)$. C'est un ordre bien fondé et pour tout entier $p$ il n'existe qu'un nombre fini d'entiers $n$ tels que $n\prec p$. Le type d'ordre de $(\mathbb N,\prec)$ est donc l'ordinal $\omega$ et on a  un unique isomorphisme $\varphi : (\mathbb N,\leq)\to (\mathbb N,\prec)$. La suite $u\circ \varphi$ est croissante.

bridgslam

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Re : suites et permutation des termes

Bonjour,

Merci Michel.
J' exhibais une bijection par récurrence. C'est sans doute plus compact dit comme cela.

A.

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Michel Coste

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Re : suites et permutation des termes

Qui dit ordinal dit récurrence.

bridgslam

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Re : suites et permutation des termes

Bonsoir

oui c'est bonnet blanc et blanc bonnet, et même transfinie dans le cas des ordinaux quelconques, mais vôtre preuve colle (à u près) les entiers directement dessus, globalement, en considérant les ensembles en blocs. Ca évite d'itérer et de numéroter les tranches, en servant du résultat déjà acquis des ensembles naturels tous isomorphes.

Alain

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