Forum de mathématiques - Bibm@th.net

veronico

Invité

Equation trigonométrie

Bonjour !
Je viens d'entrer en prepa et j'ai  un exercice avec 10 équations à résoudre, mais il y en a 3 qui me posent soucis...

1 ) tan(2x) = tan (π/2 - x)
Puis-je écrire 2x = π/2 - x + kπ ?

2) racine(3) * cos (2x - π/5) - sin(2x - π/5) = racine(2)
Je n'ai aucune idée de comment partir...

3) (cos (x) - sin(x))² = 3/2
Je suis parti en faisant cos x - sin x = racine (3/2)
Puis je transforme le cos en 1- sin² et je pose y = sin x
puis je résous cela comme une équation du 2nd degré ?

Merci beaucoup !!

Zebulor

Membre expert

Inscription : 21-10-2018

Messages : 2 230

Re : Equation trigonométrie

Bonjour,
quelques indices :
1) la fonction tangente est périodique de période $\pi$.
2) comme ca sans trop réfléchir je diviserais membre à membre par 2, de sorte à faire apparaître un sinus et un cosinus supplémentaires dans le membre de gauche
3)comme c'est un carré tu as aussi le cas où $cos(x)-sin(x)$ est négatif. Et c'est plutôt le carré du cosinus qui vaut ce que tu écris dans ta transformation.
J'aurais plutôt tendance à développer le carré de ton équation de départ puis simplifier. Tu peux ensuite exploiter l'égalité : sin(2x)=2sin(x)cos(x)

Dernière modification par Zebulor (03-10-2023 15:14:17)

Rescassol

Membre

Lieu : 30610 Sauve

Inscription : 19-09-2023

Messages : 357

Re : Equation trigonométrie

Bonjour,

1) Oui.
2) Remplace [tex]\sqrt{3}[/tex] par [tex]\tan\left(\dfrac{\pi}{3}\right)[/tex].
3) Développe le carré, puis utilise le développement de [tex]\sin(2x)[/tex].

Cordialement,
Rescassol

veronico

Invité

Re : Equation trigonométrie

Bonjour,
quelques indices :
1) la fonction tangente est périodique de période $\pi$.
2) comme ca sans trop réfléchir je diviserais membre à membre par 2, de sorte à faire apparaître un sinus et un cosinus supplémentaires dans le membre de gauche
3)comme c'est un carré tu as aussi le cas où $cos(x)-sin(x)$ est négatif. Et c'est plutôt le carré du cosinus qui vaut ce que tu écris dans ta transformation.
J'aurais plutôt tendance à développer le carré de ton équation de départ puis simplifier. Tu peux ensuite exploiter l'égalité : sin(2x)=2sin(x)cos(x)

Merci beaucoup !!

veronico

Invité

Re : Equation trigonométrie

Bonjour,

1) Oui.
2) Remplace [tex]\sqrt{3}[/tex] par [tex]\tan\left(\dfrac{\pi}{3}\right)[/tex].
3) Développe le carré, puis utilise le développement de [tex]\sin(2x)[/tex].

Cordialement,
Rescassol

Bonjour,
Merci pour votre réponse !
je n'arrive pas à comprendre pourquoi le fait d'ajouter tan(pi/3) nous aide dans la q2, je bloque....

Fred

Administrateur

Inscription : 26-09-2005

Messages : 7 352

Re : Equation trigonométrie

Bonjour,

  Les méthodes de Zebulor et de Rescassol sont à peu près les mêmes pour la Q2. Si on suit l'indication de Zebulor,
ton équation va s'écrire
$$\cos(a)\cos(2x-\pi/5)-\sin(a)\sin(2x-\pi/5)=\sin(\pi/4)=\cos(\pi/4)$$
($a$ est un angle bien connu...).
Pour simplifier le membre de gauche, tu peux utiliser une formule de trigonométrie, du type $\cos(u+v)$ ou $\cos(u-v)$ etc...

F.

Rescassol

Membre

Lieu : 30610 Sauve

Inscription : 19-09-2023

Messages : 357

Re : Equation trigonométrie

Bonjour,

On peut ensuite remplacer [tex]\tan\left(\dfrac{\pi}{3}\right)[/tex] par [tex]\dfrac{\sin\left(\dfrac{\pi}{3}\right)}{\cos\left(\dfrac{\pi}{3}\right)}[/tex] et réduire au même dénominateur.

Cordialement,
Rescassol

veronico

Invité

Re : Equation trigonométrie

Bonjour,

  Les méthodes de Zebulor et de Rescassol sont à peu près les mêmes pour la Q2. Si on suit l'indication de Zebulor,
ton équation va s'écrire
$$\cos(a)\cos(2x-\pi/5)-\sin(a)\sin(2x-\pi/5)=\sin(\pi/4)=\cos(\pi/4)$$
($a$ est un angle bien connu...).
Pour simplifier le membre de gauche, tu peux utiliser une formule de trigonométrie, du type $\cos(u+v)$ ou $\cos(u-v)$ etc...

F.

Bonjour !
Merci beaucoup de votre réponse
en faisant cela et en utilisant les formules cos (u-v) et sin (u-v), je me retrouve avec quelque chose d'encore plus compliqué au final...

j'ai :

cos pi/6 * (cos 2x * cos pi/5 + sin 2x * sin pi/5) - sin pi/6 * (sin 2x * cos pi/5 - cos 2x * sin pi/5) = sin pi/4 = cos pi/4
Que je ne vois pas comment simplifier...

veronico

Invité

Re : Equation trigonométrie

Bonjour,

On peut ensuite remplacer [tex]\tan\left(\dfrac{\pi}{3}\right)[/tex] par [tex]\dfrac{\sin\left(\dfrac{\pi}{3}\right)}{\cos\left(\dfrac{\pi}{3}\right)}[/tex] et réduire au même dénominateur.

Cordialement,
Rescassol

Merci pour votre réponse !
Mais idem, quand j'essaie cette technique, comme au dessus, je tombe sur quelque chose de compliqué que je ne vois pas comment simplifier... :
[sin pi/3 * cos (2x - pi/5) - cos (pi/3) * sin(2x - pi/5) ] / cos (pi/3) = racine 2

Zebulor

Membre expert

Inscription : 21-10-2018

Messages : 2 230

Re : Equation trigonométrie

$$\cos(a)\cos(2x-\pi/5)-\sin(a)\sin(2x-\pi/5)=\sin(\pi/4)=\cos(\pi/4)$$
($a$ est un angle bien connu...).

Bonjour,
tu te compliques la vie. D'après ce qui précède, en posant $b=2x-\pi/5$, tu peux exploiter l'égalité $cos(a+b)=cos(a)cos(b)-sin(a)sin(b)$

https://www.bibmath.net/formulaire/inde … i=trigoadd

Dernière modification par Zebulor (03-10-2023 16:12:11)

Rescassol

Membre

Lieu : 30610 Sauve

Inscription : 19-09-2023

Messages : 357

Re : Equation trigonométrie

Bonjour,

Il fallait utiliser [tex]\cos(a+b)[/tex] dans l'autre sens.
Dans n'importe quelle équation, on a en général intérêt à factoriser plutôt qu'à développer.

Cordialement,
Rescassol

veronico

Invité

Re : Equation trigonométrie

$$\cos(a)\cos(2x-\pi/5)-\sin(a)\sin(2x-\pi/5)=\sin(\pi/4)=\cos(\pi/4)$$
($a$ est un angle bien connu...).

Bonjour,
tu te compliques la vie. D'après ce qui précède, en posant $b=2x-\pi/5$, tu peux exploiter l'égalité $cos(a+b)=cos(a)cos(b)-sin(a)sin(b)$

https://www.bibmath.net/formulaire/inde … i=trigoadd

Merci !! En utilisant votre technique, je tombe sur :

cos (pi/6 + 2x - pi/5) = cos (pi/4)

soit pi/6 + 2x - pi/5 = pi/4 + 2k pi

soit en résolvant je tombe sur x = 37/120 * pi + 2k pi
Ce résultat me semble légèrement étrange, non?
Merci en tous cas de m'avoir permis d'arriver jusqu'à là !!

Zebulor

Membre expert

Inscription : 21-10-2018

Messages : 2 230

Re : Equation trigonométrie

Re,
tu peux toujours tester une de ces solutions avec k=0 ou k=1 par exemple si ça te paraît étrange...
Si tu regardes bien le cercle trigonométrique tu peux voir que tu as oublié des solutions...

Dernière modification par Zebulor (03-10-2023 16:30:24)

Fred

Administrateur

Inscription : 26-09-2005

Messages : 7 352

Re : Equation trigonométrie

cos (pi/6 + 2x - pi/5) = cos (pi/4)

soit pi/6 + 2x - pi/5 = pi/4 + 2k pi

Relis bien ton cours!!!!

veronico

Invité

Re : Equation trigonométrie

Re,
tu peux toujours tester une de ces solutions avec k=0 ou k=1 par exemple si ça te paraît étrange...
Si tu regardes bien le cercle trigonométrique tu peux voir que tu as oublié des solutions...

Merci ! Mais vu la complexité de l'équation, je n'arrive pas du tout à la visualiser sur le cercle trigonométrique ; ni les solutions...
Merci pour votre aide en tous cas, cela fait plus d'1h que je m'arrache les cheveux dessus et j'en vois enfin le bout :D

yoshi

Modo Ferox

Inscription : 20-11-2005

Messages : 17 404

Re : Equation trigonométrie

Bonsoir,

@veronico
Chez un de nos confrères tu as posté ton sujet à 15 h19...
Tu as eu une première réponse à 16 h 10 jusqu'à 16 h 51...

Entretemps, à 15 h 57, tu postais le même sujet ici !
En gros, on peut interpréter cela comme ceci :
J'avais accosté sur une île où un matheux m'a répondu. Mais je n'ai pas eu confiance dans ses explications, alors je me suis dit qu'il valait mieux reprendre ma barque et aller dans une bibliothèque pour voir si on me disait la même chose.
Et, 2e effet kiss cool, au besoin, je pouvais me servir des réponses des uns, en les faisant passer pour miennes, pour les fournir aux autres...
Elle est pas belle la vie ?
J'espère si ce n'était le cas, que tu as conscience maintenant de l'incorrection de ton comportement ?
Sujet fermé
La Fontaine  te dirait : Cette leçon vaut bien un fromage, dans doute...

      Yoshi
- Modérateur -