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pangolin

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Exercice d'algèbre linéaire - automorphismes.

Bonjour à tous, faisant des exercices d'algèbre je me suis retrouvé coincé devant l'un d'entre eux. Dans cette exercice, on se place dans un $\mathbb{K}ev$ $E$ sur lequel on définit deux endomorphismes $u$ et $v$. Il faut montrer que si $id-{u}\circ{v}$ est bijective alors $id-{v}\circ{u}$ l'est également. Au préalable, j'ai réussi à montrer que l'injectivité de l'une entraine celle de l'autre. Voici là où j'en suis :

On suppose que $id-{u}\circ{v}$ est bijective. Donc, $id-{v}\circ{u}$ est injective. Il reste plus qu'à montrer sa surjectivité soit $Im(id-{v}\circ{u})=E$.

Comme $id-{v}\circ{u}$ est injective alors $E={Ker(id-{v}\circ{u})}\oplus{E}$ donc en appliquant le théorème d'isomorphie, $E$ est isomorphe à $Im(id-{v}\circ{u})$ soit qu'il existe un isomorphisme $f$ de $Im(id-{v}\circ{u})$ vers $E$ tel que :

$\forall y \in E, \exists x \in Im(id-{v}\circ{u}), y=f(x)$

$\Rightarrow \forall y \in E, \exists z \in E, y=f((id-{v}\circ{u})(z))$.

C'est la proposition la plus proche que j'ai de la surjectivité. En remarque, $z$ est même unique dû à l'injectivité et je n'ai pas utilisé la surjectivité de $id-{u}\circ{v}$.
En dernier, je précise que je fais des mathématiques de niveau CPGE Physique et Chimie.

Je remercie d'avance tous ceux qui prendront de leur temps pour aider.

Michel Coste

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Re : Exercice d'algèbre linéaire - automorphismes.

Bonjour,
Tu as déjà démontré que si [tex]\mathrm{Id}_E-u\circ v[/tex] est injectif, alors [tex]\mathrm{Id}_E-v\circ u[/tex] est injectif ?
Supposons que c'est fait.
Tu as oublié de nous dire si [tex]E[/tex] est de dimension finie. Si c'est le cas, c'est terminé, non ? Un endomorphisme injectif d'un espace vectoriel de dimension finie ...

pangolin

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Re : Exercice d'algèbre linéaire - automorphismes.

Oui, l'implication $id-{u}\circ{v} \Rightarrow id-{v}\circ{u}$ a déjà été démontrée.
Je m'excuse pour l'imprécision car $E$ est justement de dimension infinie ce qui rend le problème d'une autre difficulté.

Michel Coste

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Re : Exercice d'algèbre linéaire - automorphismes.

D'accord, du coup il faut travailler un peu plus.

Petit coup de pouce : essaie de montrer que pour tout [tex]x\in E[/tex], il existe [tex]y\in E[/tex] tel que [tex]u(x)= u(y-(v\circ u)(y))[/tex].