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- Contributions : Récentes | Sans réponse
#1 12-09-2023 07:03:31
- Dr_Piradians
- Membre
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- Messages : 38
Bon ordre sur $\mathbb{R}$ et sur $\mathcal{P}(\mathbb{N})$
Bonjour. Pouvez-vous donner un exemple de bon ordre sur $\mathbb{R}$ et sur $\mathcal{P}(\mathbb{N})$ ?
Un bon ordre sur $E$ est lorsque toute partie non vide de $E$ admet un plus petit élément. Or $]-\infty,0]$ est une partie de $\mathbb{R}$ et n'admet pas de plus petit élément (à moins que l'on définisse une relation d'ordre différente de celle qu'on connaît usuellement). Quant à $\mathcal{P}(\mathbb{N})$, il me semble par exemple que la partie $\{\{3,5\},\{3,4,6\}\}$ admet comme plus petit élément $\{3,4,6\}$ mais je ne sais pas si ce que je dis est correct.
Dernière modification par Dr_Piradians (12-09-2023 07:04:28)
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#2 12-09-2023 07:44:01
- Michel Coste
- Membre Expert
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Re : Bon ordre sur $\mathbb{R}$ et sur $\mathcal{P}(\mathbb{N})$
Bonjour,
L'ordre standard sur [tex]\mathbb R[/tex] n'est pas un bon ordre. L'axiome du choix te dit qu'il existe un bon ordre sur [tex]\mathbb R[/tex] - mais il n'y a rien d'explicite. Pareil pour [tex]\mathcal P(\mathbb N)[/tex]. Est-ce que s'est l'ordre lexicographique que tu considères ? Ce n'est pas non plus un bon ordre.
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#3 12-09-2023 08:06:34
- Dr_Piradians
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Re : Bon ordre sur $\mathbb{R}$ et sur $\mathcal{P}(\mathbb{N})$
Merci.
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#4 12-09-2023 09:59:20
- Michel Coste
- Membre Expert
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- Messages : 1 464
Re : Bon ordre sur $\mathbb{R}$ et sur $\mathcal{P}(\mathbb{N})$
Avec plaisir.
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#5 12-09-2023 13:28:19
- Amade75
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Re : Bon ordre sur $\mathbb{R}$ et sur $\mathcal{P}(\mathbb{N})$
Dans un ensemble bien ordonné, si $S$ est un segment non vide il aura un plus petit élément. Ton exemple $]-\infty,0]$ n'est pas bien ordonnée.
Pouvez-vous donner des justifications pour la seconde exemple du plus petit élément ?
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#6 12-09-2023 14:57:29
- Michel Coste
- Membre Expert
- Inscription : 05-10-2018
- Messages : 1 464
Re : Bon ordre sur $\mathbb{R}$ et sur $\mathcal{P}(\mathbb{N})$
Un ensemble bien ordonné est un ensemble ordonné dont toute partie non vide admet un plus petit élément. De manière équivalente (avec l'axiome du choix dépendant), un ensemble totalement ordonné dans lequel il n'y a pas de suite strictement décroissante infinie.
Il faut savoir de quel ordre on parle sur [tex]\mathcal P(\mathbb N)[/tex]. Chaque partie de [tex]\mathbb N[/tex] peut être rangée pour donner une suite (finie ou infinie) strictement croissante d'entiers, et on peut mettre l'ordre lexicographique sur ces suites. Voici alors une suite infinie strictement décroissante de parties (infinies) de [tex]\mathbb N[/tex] pour cet ordre lexicographique :
0,2,4,6,8,10,12,...
0,1,2,4,6,8,10,12,...
0,1,2,3,4,6,8,10,12,...
0,1,2,3,4,5,6,8,10,12,...
0,1,2,3,4,5,6,7,8,10,12,...
....
Ce n'est donc pas un bon ordre sur [tex]\mathcal P(\mathbb N)[/tex].
Dernière modification par Michel Coste (13-09-2023 08:34:30)
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