combien d'angles droit

FAIZE852 · 06-09-2023 09:19:20

RE-bonjour

Combien de fois dans la journée les aiguilles des minutes et des heures d’une horloge forment-elles un angle droit ?

(avec ou sans la calculatrice) ?

merci

Bernard-maths · 06-09-2023 10:44:26

Bonjour !

Au pif, pour jouer : 44,000 fois ?

B-m

Zebulor · 06-09-2023 13:05:16

bonjour,
48 fois ?

Bernard-maths · 06-09-2023 13:11:24

Bonjour Z !

Commence par exemple à 3 h pile(s). On voit bien les 2 aiguilles perpendiculaires ...

Passe à 3h30, le sont-elles ? CHERCHE !!! (:-))

B-m

Zebulor · 06-09-2023 14:03:52

Bonjour Bernard !
je vois ce que tu veux dire. 2880 ?

Dernière modification par Zebulor (06-09-2023 14:09:23)

Bernard-maths · 06-09-2023 15:48:49

Re,

2880 = 2 fois 1440 minutes ! Tu navigues sur 2 jours ?

Moi j'ai cherché, en partant à 3h00, aiguilles bien perpendiculaires, au bout de combien de temps elles seront superposées ...

Plus de 15 minutes : quand la grande arrive sur le 3, la petite a tourné un peu, de 5/4 = 1min15.

Si on continue, pour que la grande tourne de 1min15, la petite tournera de ... etc, on peut envisager une somme de termes ... et calculer la limite t, pour que les 2 aiguilles passe d'une position perpendiculaire à une position "alignée".

Mais j'ai préféré résoudre une équation ... qui me donne 16.363636... min pour "un quart de tour relatif" des 2 aiguilles.

D'où ma réponse !

@ +, B-m

Dernière modification par Bernard-maths (06-09-2023 15:49:30)

Wiwaxia · 06-09-2023 21:14:16

Bonjour,

Si l'on exprime le temps en minutes à l'intérieur d'une demi-journée (soit 12 heures et un tour de quadrant) en heures et en minutes, il vient:

t = (h, m) = (60.h + m) min
avec h = t DIV 60 et m = t MOD 60 ;

les orientations de la petite et de la grande aiguille dans un repère indirect (xOy, Ox dirigé vers le haut) sont données par les angles :

θ₁ = 360°(t/(12*60)) = 0.5°(t) ,
θ₂ = 360°(m/60) = 6°(m)

.
Il faut donc résoudre θ₂ - θ₁ = s.90° , avec s = ± 1
soit encore pour la première demi-journée:

6°(m) = 0.5°(60h + m) + s.90° , avec 0 ≤ h < 12 et 0 ≤ m < 60 .

On trouve 2*11 solutions e: 5.5°*m = 30°*h + s*90°
parmi lesquelles 9h00 (8h60) et 3h00.
La solution (12h16.364min), équivalente à (0h16.364min), est à éliminer de même que (0h, -16.364min) équivalente à (11h43.636min).

Pour la demi-journée suivante, ajouter 12 heures.

Bernard-maths · 07-09-2023 08:25:00

Bonjour à tous !

Salut Wiwaxia, alors combien trouves tu ? 44 ou 43 ?

Et FAIZE nous donnera- t il "la solution" ?

Encore une journée pleine de questions ...

B-m

Dernière modification par Bernard-maths (07-09-2023 09:28:29)

yoshi · 07-09-2023 15:23:20

B'jour,

Réponse vérifiée : c'est bien (11 x 2) x 2 = 44 en 24 h démarrant à 0 h...
Il semble que ce soit une énigme bateau: on trouve facilement la réponse du 1er coup avec une recherche sur la Toile...

@+

Bernard-maths · 08-09-2023 10:13:35

'Jour !

Un peu de cogitation : il me semble que 44 est la réponse générale, quel que soit l'angle proposé, sauf nul ou plat ...

Alors, qu'en pensez vous ?

B-m

Wiwaxia · 08-09-2023 14:02:20

Re-Bonjour,

Bernard-maths a écrit :

... Un peu de cogitation : il me semble que 44 est la réponse générale, quel que soit l'angle proposé, sauf nul ou plat ...
Alors, qu'en pensez vous ? ...

Je suis du même avis. Ma recherche aurait gagné en rigueur en envisageant des écarts angulaires

θ₂ - θ₁ = ± 90° ± k* 180°

(à formaliser et à délimiter).

yoshi a écrit :

... Il semble que ce soit une énigme bateau: on trouve facilement la réponse du 1er coup avec une recherche sur la Toile ...

Tu as sans doute mis le doigt sur la motivation profonde de FAIZE852, qui s'intéresse moins à la résolution des énigmes qu'à la possibilité de faire sécher des matheux à bon compte.
Une recherche sur Internet constituerait donc (en ce qui le concerne) la meilleure démarche - si toutefois le sujet en vaut la peine ...

Je m'étais intéressé à un sujet apparenté lorsque je me trouvais en classe de seconde ... ça remonte loin, et il n'y avait pas à l'époque de ressources Internet !

Dernière modification par Wiwaxia (08-09-2023 19:33:18)

Bernard-maths · 08-09-2023 17:23:08

Re,

et on en a 22 pour les aiguilles superposées, et 22 pour les alignements ...

B-m

FAIZE852 · 10-09-2023 09:13:03

Bonjour
si j'ai posté cette énigme ou problème ce n'est pas forcement que je connais la solution ,même si je la connais je voudrais un échange d’idées ou chacun vois de son angle

mais aussi pour être claire j'ai attendu une démonstration à ceux qui ont proposé 44 au moins les 5 premiers angle premiers

En démarrant par 00 heurs (minuit)et ça quand les deux anguilles sont à zero angle
- quand les deux forment -ils le 1er angle droit ? le 2eme jusqu’au 5 , comme ça on aura une bonne vision des choses est ça nous facilitent le calcule après on on comprendrait la solution

logique et mathématique

Wiwaxia · 10-09-2023 10:46:18

Bonjour,

FAIZE852 a écrit :

... mais aussi pour être claire j'ai attendu une démonstration à ceux qui ont proposé 44 au moins les 5 premiers angle premiers
... après on on comprendrait la solution ...

La solution générale a été établie, et la dernière formule (5.5°*m = 30°*h + s*90°) contient implicitement toutes les solutions particulières, après filtrage.
Voici ce qui reste dans la mémoire de la calculatrice:

s = +1

h =    m =     

     16.364

     21.818

     27.273

     32.727

     38.182

     43.636

     49.091

     54.545

     60.000 ≡   9 h 00

     65.455 ≡ 10 h 05.455

    70.909 ≡ 11 h 10.909

    76.364 ≡ 12 h 16.364 (éliminée) b

s = -1

h =    m =

     -16.364 ≡ 11 h 43.636 (doublon)   

     -10.909 ≡ 0 h 49.091

     -5.455 ≡ 1 h 54.545

     0.000

     5.455

     10.909

     16.364

     21.818

     27.273

     32.727   

     38.182

     43.636

Dernière modification par Wiwaxia (10-09-2023 10:49:49)

yoshi · 10-09-2023 18:45:24

Bonjour,

@FZ
Voici ma méthode en partant de 0 h qui donne les deux premières réponses...
Soit $x$ le nombre de secondes écoulées, jusqu'à ce que le 1er écart écart angulaire soit de 90°
La grande aiguille tourne à raison de 360° pour 60 min soit 6°/min, la petite à raison de 30° pour 60 min soit 0,5°/min...

-------------------------------------------------------------------------------------

Note à l'intention des lecteurs potentiels qui s'offusqueraient de ce que j'utilise min et non mn pour le symbole de la min...
Il y a longtemps, à la rentrée de septembre, dans mon casier je découvre un manuel de Physique tout neuf dans mon casier... Je le feuillette et, ô surprise, j'y découvre - sans un mot d'explication - le symbole min...
Tous les manuels étaient d'accord... Pourquoi ce changement depuis l'année scolaire précédente ? Alors j'ai cherché, cherché (longtemps, des années... : ) et enfin un jour j'ai découvert ceci :

Le symbole de la minute est min, depuis 1975.
Le symbole mn n'a été d'usage officiel qu'entre 1948 et cette date.
Décret n° 75-1200 du 23 déc. 1975 relatif aux unités de mesure et au contrôle des instruments de mesure.
Ref : http://sgalex.free.fr/typo-maths_fr.pdf (p.17).

Puis vers 1998, ma dernière fille qui avait 10 ans, en CM2, revient avec une punition, 100 fois à copier : le symbole de la minute est mn et non min (et moi qui avais bien chapitré ma fille à ce sujet !...).
Ce fut la 1ere et la dernière fois de ma vie que je me suis permis une remontrance à l'Instit (et elle fut salée, d'autant qu'elle avait fait écrire sur les cahiers que dans une fraction, le dénominateur 1 n'existait pas).
Ma fille ne fit pas sa punition...
Tf1 a mis au moins 30 ans pour se mettre à jour dans son bulletin météo, la Télé du Service Public 10 ans de moins, nombre de publicitaires ne sont toujours pas au courant, un nombre certain de panneaux indicateurs des randonnées pédestres, toujours pas à jour...

-----------------------------------------------------------------------------------------------

Reprenons
Avances
aiguille des min : 6°/min, soit 6'/s
aiguille des h : 0,5°/min, soit 0,5'/s

Les 2 aiguilles étant superposées, à 0 h j'appelle $x$ le nombre de s nécessaires pour que l'écart angulaire soit de 5400'
J'écris donc:
$6x-0,5x =5400$
$5,5x=5400$
$x= \cfrac{5400}{5,5}=\cfrac{10800}{11}\approx 981.81818181818181818...$ 982 s 82/100e arrondi à 0,01 s près... 0 h 16 min 22 s 82/100e.
Dans la même heure, on trouve un angle obtus de 270° ou un angle aigu de 90° mais il y a bien un angle droit au sens où les aiguilles sont perpendiculaires aux alentours de 0 h 49 (vérifié avec ma pendule d'échecs)
$x= \cfrac{16200}{5,5}=\cfrac{32400}{11}\approx 2945.4545454545454545...$ soit 0 h 49 min 5 s 46/100e à 0,01 s près...

Je ne vais pas m'amuser à recommencer à 24 fois.
Je vois que à 1 h, 2 h, 3 h, 4 h... la grande aiguille repart de 0 et la petite aura déjà pris une avance de 30° par heure et que entre 0 h (minuit) à 12 h (midi) ou de 12 h (midi) à 24 h (minuit) les positions obtenues sont superposables.
"Je" vais donc faire les calculs heure par heure sur 12 heures seulement, vérifier/éliminer les doublons, multiplier par 2...

J'ai écrit "Je", mais en fait, je vais utiliser mon esclave préféré, Python, qui fera (NDLR : et a fait) le boulot à ma place pourvu que je lui donne les bonnes consignes...

@+

FAIZE852 · 11-09-2023 09:41:16

BONJOUR
bien éclairé
et si quelqu'un nous invente une horloge qui indique non seulement l'heure mais aussi les angles

FAIZE852 · 12-09-2023 08:27:25

moi ce que j'ai fait

L'aiguille des heures fait 2 tours par jour et l'aiguille des minutes fait 24 tours. A partir de là, l'aiguille des minutes dépasse l'aiguille des heures 22 fois et à chaque fois deux angles droits se forment avec l'aiguille des heures, c'est-à-dire que la réponse est 44

Wiwaxia · 12-09-2023 14:01:13

Re-bonjour,

FAIZE852 a écrit :

... et si quelqu'un nous invente une horloge qui indique non seulement l'heure mais aussi les angles

Tout cadran complet comporte une graduation en minutes, donc une division du cercle en secteurs angulaires égaux dont chacun vaut 360°/60 = 6° .

FAIZE852 a écrit :

... A partir de là, l'aiguille des minutes dépasse l'aiguille des heures 22 fois et à chaque fois deux angles droits se forment avec l'aiguille des heures, c'est-à-dire que la réponse est 44

Pourquoi 22 ? Tu n'effectue aucun dénombrement.
Tu te contentes de livrer le nombre de cas de superposition des aiguilles, alors qu'il s'agit de vérifier si tous les angles droits sont bien réalisés - et tu déclares ta réponse comme allant de soi ...

Dernière modification par Wiwaxia (12-09-2023 14:14:02)

Wiwaxia · 12-09-2023 14:50:15

À quels instants de la journée les deux aiguilles sont-elles perpendiculaires ?
[image]https://www.cjoint.com/doc/23_09/MImnNJ … 20x720.png[/image]
On attend la réponse de FAIZE852 ...

Michel Coste · 12-09-2023 16:23:17

L'argument de Faize est très simple et correct (une fois bien formulé).
Soudons sur l'aiguille des minutes une aiguille rouge qui fait un angle droit vers la droite et une aiguille bleue qui fait un angle droit vers la gauche.
L'aiguille des heures fait un angle droit avec celle des minutes quand l'aiguille des heures et l'aiguille rouge coïncident, ou quand l'aiguille des heures et l'aiguille bleue coïncident.
En douze heures, l'aiguille des heures fait un tour tandis que les aiguilles rouge et bleue font chacune douze tours, dans le même sens. Pour un observateur ficelé sur l'aiguille des heures, les aiguilles rouge et bleue font chacune 12-1=11 tours en 12 heures et l'observateur voit bien en 12 heures 11 coïncidences avec l'aiguille rouge et 11 avec l'aiguille bleue. En un jour, 44 coïncidences.
Pas besoin de s'embêter de savoir à quelles heures ça arrive.
N.B. On peut remplacer l'angle droit par n'importe quel angle, sauf l'angle nul et l'angle plat pour lesquels rouge et bleu coïncident (et il y a donc alors deux fois moins de coïncidences, bien sûr).

Dernière modification par Michel Coste (12-09-2023 17:03:18)

Michel Coste · 16-09-2023 09:37:39

L'argument s'adapte sans peine au cas où l'aiguille des heures fait un tour en 24h tandis que l'aiguille des minutes fait 24 tours ...

Forum de mathématiques - Bibm@th.net

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combien d'angles droit

#2 06-09-2023 10:44:26

Re : combien d'angles droit

#3 06-09-2023 13:05:16

Re : combien d'angles droit

#4 06-09-2023 13:11:24

Re : combien d'angles droit

#5 06-09-2023 14:03:52

Re : combien d'angles droit

#6 06-09-2023 15:48:49

Re : combien d'angles droit

#7 06-09-2023 21:14:16

Re : combien d'angles droit

#8 07-09-2023 08:25:00

Re : combien d'angles droit

#9 07-09-2023 15:23:20

Re : combien d'angles droit

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#13 10-09-2023 09:13:03

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