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Richard Elian

Invité

Exercice fonctions (niveau terminal)

Bonjour,

Auriez vous des exercice pour les fonctions (nottamant variation et limite, mais je prends de tout) pour le niveau terminal, je veut bétonner ca avant ma rentrée à l'IUT

yoshi

Modo Ferox

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Re : Exercice fonctions (niveau terminal)

Bonsoir,

Extraits d'un recueil d'exercices tirés d'interros de Lycées
I
Soit $f$ définie sur $\mathbb R \setminus \{-2\, ;\, +2\}$ par $f(x)=\frac{x+2}{|x|-2}$
1. Étudier les limites de $f$ en $+\infty$ et $-\infty$
2. Étudier les limites de $f$ en $-2$ puis en $2$
3. Peut-on prolonger $f$ par continuité en - 2 en 2 ?

II Les fonctions suivantes f, g, h, k, l sont définies sur $\mathbb R^+$
   $f(x)=\frac{x}{|x|}$       $g(x)=\frac{\sqrt{|x|}}{x}$      $h(x)=\frac{x}{\sqrt{|x|}}$     $k(x)=\sin\left(\frac{1}{x}\right)$   $l(x)=x\sin\left(\frac{1}{x}\right)$
   1. Lorsque ces limites existent, les calculer à droite et à gauche en $0$
   2. Quelles sont les fonctions prolongeables par continuité en $0$ ?

III On considère $r \in \mathbb R$ et la fonction $f$ définie sur $\mathbb R$ par $f(x)=\frac{x+r}{x^2+1}$.
    1. Justifier que cette fonction est dérivable. En calculer la dérivée.
    2. a) Montrer cette dérivée s'annule pour deux valeurs a et b de $x$ (on suppose a < b). Étudier le signe de $f'(x)$
        b)Montrer que $f(a)=\frac{1}{2a}$ et $f(b)=\frac{1}{2b}$
    3. Dresser le tableau de variation de la fonction $f$
    4. On appelle $m_r$ le minimum de la fonction $f$ et $M_r$ son maximum.
        a) Donner les expressions de $m_r$ et $M_r$ en fonction de r
        b) Calculer $\lim\limits_{r \to +\infty} m_r$ et  $\lim\limits_{r \to +\infty} M_r$

Ça ira avec tes demandes ?

@+

Dernière modification par yoshi (17-08-2023 20:58:34)

yoshi

Modo Ferox

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Re : Exercice fonctions (niveau terminal)

Re,

@Roro
Je me suis relu avant d'éteindre ma bécane et j'avais trouvé la faute de frappe...
Et je découvre que tu l'avais vue avant, merci

Demain, je fouillerai le forum pour voir si quelque chose de déjà traité peut coller avec les demandes : ce soir, je n'ai pas eu le courage !

@+

Roro

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Re : Exercice fonctions (niveau terminal)

Pas de soucis... j'ai effacé mon message qui n'avait plus lieu d'être !
Bonne nuit.
Roro.

Sergio_Hassan

Banni(e)

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Re : Exercice fonctions (niveau terminal)

Bonjour,

Voici des sujets qui vont peut être t'intéresser :
Exercice 1 : Fonctions et dérivées

    Soit la fonction $f(x) = x^3 - 2x^2 + 5x - 3$. Calculez $f'(x)$ et déterminez les valeurs de $x$ pour lesquelles $f'(x) = 0$.
    Trouvez les points d'inflexion de la fonction $g(x) = \ln(x^2) + e^{2x}$.
    La fonction h(x) est définie sur l'intervalle [0 ; 2] par $h(x) = \sqrt{x} \times (2 - x)$. Calculez la valeur de $x$ qui maximise $h(x)$.

Exercice 2 : Limites et continuité

    Étudiez la continuité de la fonction f(x) = (x^2 - 1) / (x - 1) en x = 1.
    Calculez la limite de la fonction g(x) = (3x^2 - 2x + 1) / (4x^2 + x - 6) lorsque x tend vers +∞.
    Déterminez si la fonction h(x) = sin(1/x) a une limite lorsque x tend vers 0. Justifiez votre réponse.

Exercice 3 : Intégration

    Calculez l'intégrale $\int \frac{2x + 3} {x^2 + 4x + 4} dx$.
    Trouvez l'aire de la région limitée par la courbe de la fonction f(x) = x^3, l'axe des x et les droites x = 1 et x = 2.
    Calculez la longueur de l'arc de la courbe définie par l'équation y = ln(x) entre x = 1 et x = 3.

Dernière modification par yoshi (18-08-2023 15:32:57)

yoshi

Modo Ferox

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Re : Exercice fonctions (niveau terminal)

Bonjour

@Sergio_Hassan
Voilà, là tu es plus utile... ^_^
Je t'invite à aller lire cette page Code Latex
Je n'ai rectifié - à titre d'exemple et d'encouragement - que le premier exercice que tu proposes et l'écriture de l'intégrale du dernier, je te laisse le plaisir de t'occuper du reste...

Mais, il y a répétition d'un point de "détail" assez gênant :

Soit la fonction $f(x) = x^3 - 2x^2 + 5x - 3$

$f(x)$ n'est pas la fonction, la fonction s'appelle $f$...
$f(x)$ est l'image de $x$ par la fonction $f$...

Ta fonction est définie sur $\mathbb R$ par  $f(x) = x^3 - 2x^2 + 5x - 3$
On peut en général et en résumé, l'écrire ainsi :
$\begin{cases} f : \mathbb R \to \mathbb R \\ x \mapsto f(x)=x^3 - 2x^2 + 5x - 3\end{cases}$
N'as-tu jamais vu cette présentation ?
Je vais prendre une comparaison photographique.
Muni d'un appareil photo qui te donne instantanément une image papier (comme les Polaroïd d'il y a pas mal de temps) d'un sujet quelconque, tu vas prendre en photo un sujet (par exemple, un exercice de maths que tu juges trop long à recopier).
le $x$ est l'antécédent, donc le sujet de ta photo, la photo papier est l'image, obtenue par l'appareil photo, du sujet choisi.
$x$ est le sujet, la fonction $f$ ( ou $g$, ou $h$, ou $k$ ou...) est l'appareil et $f(x)$ l'image obtenue...
Confondre $f$ et $f(x)$, c'est comme confondre l'appareil photo et l'image qu'il t'a donnée  de ton sujet...

Énoncé d'un exercice issu du manuel Transmath Ed Nathan Terminale S Tronc commun (J'ai en plus, le livre supplémentaire traitant de l'enseignement de spécialité) imprimé et en service dans certains lycées français en 1998. Le programme a bien changé depuis, mais le langage et les notations restent).
Il commence ainsi :

$f$ est la fonction définie sur $\mathcal D=\mathbb R\setminus \{-3\,;\,-2\}$ par $f(x)=\frac{4x+11}{(x+2)(x+3)}$

Au cas où tu ne serais pas convaincu, voici le début du suivant :

$f$ est la fonction définie sur $\mathbb R$ par :
$f(x)=\frac{-1+\sqrt{1+x^2}}{2}$

Tu veux d'autres exemples ?

@+

Dernière modification par yoshi (19-08-2023 10:42:37)

ONADJA Buffletin

Invité

Re : Exercice fonctions (niveau terminal)

Bonjour
Svp, j'aimerai l'intégrer au site
Merci

yoshi

Modo Ferox

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Messages : 17 385

Re : Exercice fonctions (niveau terminal)

Bonjour,

Bonjour
Svp, j'aimerai l'intégrer au site
Merci

l' = quoi ?

Que voudrais-tu intégrer au site ?

       Yoshi
- Modérateur -