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Bernard-maths

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Dans une pyramide ... des points de la base ?

Vous prenez une pyramide régulière à base carrée, les 4 côtés sont des triangles isocèles !!!

Le centre O de la base peut se projeter sur les 4 côtés triangles ...

Si vous vous écartez de O, un point M se projette aussi sur les 4 côtés triangles ...

sauf si vous allez "trop loin".

Sur quelle figure de la base trouve-t-on tous les points qui peuvent se projeter sur les 4 côtés triangles ???

Bernard-maths

Dernière modification par Bernard-maths (12-07-2023 09:39:12)

Glozi

Invité

Re : Dans une pyramide ... des points de la base ?

Bonjour,
Je suppose que tu parles de projection orthogonale sur les faces.
J'ai fait les calculs lorsque le sommet de la pyramide est à la verticale du centre de la base. Si la base est un carré de côté $2$ et le sommet est à hauteur $h>0$ (je suppose encore une fois que le sommet se projette orthogonalement sur le centre de la base) alors :

▼voici ce que je trouve

Un octogone convexe en général non régulier mais ayant tous ses côtés de même longueur. Dans $\mathbb{R}^2$, si la base est assimilée au carré $[-1,1]^2$, alors l'octogone admet comme sommets $(h^2/(1+h^2),0)$, $(h^2/(2+h^2), h^2/(2+h^2))$. Les 6 autres sommets sont obtenus par des rotations de ces deux sommets par un angle $\pi/2, \pi, 3\pi/2$ par rapport à l'origine du repère.

Cet octogone est régulier si et seulement si $h=2^{1/4}$

Bonne journée

Bernard-maths

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Re : Dans une pyramide ... des points de la base ?

Bonjour Glozi !

Et bonne fête du 14 ...

Oui, on trouve un octogone ! On a bien une base carrée de centre O, de côté = 2a, et de hauteur b, sommet bien vertical au dessus de O ...

Donc question suivante : si on fait varier b, de 0+ à +∞, comment se comporte cet octaèdre ? Pour quel rapport entre a et b a-t-on un octogone régulier ?

Bon amusement, je suis en vadrouille ...

Bernard-maths

Glozi

Invité

Re : Dans une pyramide ... des points de la base ?

Bonjour,
Bonne fête à toi aussi !

J'ai précisé que le sommet de la pyramide $S$ est bien à la verticale de $O$ car on pourrait avoir une pyramide, avec des faces qui sont des triangles isocèles, qui ne vérifie pas cette propriété. Par exemple $A=(-1,-1,0)$, $B=(-1,1,0)$, $C=(1,1,0)$, $D=(1,-1,0)$ et $S= (1,0, \sqrt{3})$ alors la pyramide $ABCDS$ de base carrée $ABCD$ a toutes ses faces triangulaires qui sont des triangles isocèle mais $S$ n'est pas à la verticale du centre de la base $O=(0,0,0)$.

Pour avoir l'octogone régulier j'avais déjà répondu dans mon message précédent pour $a=1$, mais si $a$ est quelconque alors il suffit de multiplier le $b$ trouvé précédemment par $a$. Sinon vu les coordonnées des sommets de l'octogone que j'ai donné on voit que lorsque $b\to 0$ alors on se retrouve avec un point : le centre de la base, lorsque $b\to \infty$ on trouve la base carrée toute entière !

Bonne journée :)

Bernard-maths

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Re : Dans une pyramide ... des points de la base ?

Bonsoir Glozi !

Je viens de rentrer.

Il y a 1 an et demi, j'ai montré que : https://www.bibmath.net/forums/viewtopi … 782#p98782

Alors j'ai repris, et constatant qu'un point du carré de base ne se projetait pas forcément sur le côté triangulaire, j'avais cherché et trouvé cet octogone ... comme toi.

Il y a plusieurs voies pour poursuivre ... je te les livre, je n'ai pas vraiment fait de calculs, mais des subodorations, les voici !

On m'appelle à table ! Je suis de retour.

Partons d'un octaèdre régulier d'équation abs(x) + abs(y) + abs(z) = 5 = a.

Dans le plan (xOy), l'octogone correspond aussi aux points M de la base tels MK1 + MK2 + MK3 + MK4 = 20 Rac(3) / 3, où K1 ... K4 sont les projetés de M sur les faces triangles SAB, SBC, SCD et SDA.

Si on considère la symétrie de plan (xOy), on aura de même MK5 + MK6 + MK7 + MK8 = 20 Rac(3) / 3, où K5, ... K8 sont les projetés sur les faces triangles RAB, RBC, RCD et RDA, si R est le sommet du bas ...
=
Donc en fait, l'octogone est l'ensemble des points du plan (xOy) se projetant sur les 8 triangles faces de l'octogone, tels que MK1 + ... + MK8 =40 Rac(3) / 3 !

ALORS les symétries de l'octaèdre laissent penser qu'il existe 2 autres octaèdres vérifiant la même équation ... lesquels ?

Revenons au début ... si on se décale un peu vers le haut, dans un plan parallèle à (xOy), on cherche toujours les points qui se projettent sur les 4 faces triangles, mais on n'aura pas la même équation : MK1 + MK2 + MK3 + MK4 < 20 Rac(3) / 3, et si on se décale vers le bas MK1 + MK2 + MK3 + MK4 > 20 Rac(3) / 3.

On peut penser que l'ensemble des points M se projetant sur les 4 faces triangles supérieurs est une pyramide pleine, de sommet S, et de base à définir ...

La suite demain !

Bernard-maths

Dernière modification par Bernard-maths (18-07-2023 15:28:08)

Glozi

Invité

Re : Dans une pyramide ... des points de la base ?

Bonsoir,

On peut penser que l'ensemble des points M se projetant sur les 4 faces triangles supérieurs est une pyramide pleine, de sommet S, et de base à définir ...

La base de cette pyramide sera certainement le fameux octogone dont on a discuté précédemment.

Ma méthode pour trouver l'octogone était de considérer une face, et de voir le soleil à l'infini dans la direction orthogonale au plan de cette face. La zone d'ombre créée par cette face et ce soleil est alors une sorte de "cylindre semi-infini à base triangulaire" (je n'ai pas géogébra 3d pour faire un dessin mais ce n'est pas si dur à imaginer). Bref, l'intersection de cette zone d'ombre avec le plan de la base est un triangle. L'intersection de ces quatre triangles (un triangle pour chaque face) donne précisément un octogone.

Maintenant le solide dont tu parles est juste l'intersection de ces 4 zones d'ombres (une zone d'ombre pour chaque face, attention le soleil est différent pour chaque face) sans considérer l'intersection avec le plan de la base. Et on se convainc alors visuellement que la solide obtenu est bien une pyramide de base l'octogone décrit précédemment et de sommet, le sommet de la pyramide initiale.

Bonne soirée

Bernard-maths

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Re : Dans une pyramide ... des points de la base ?

Bonjour Glozi ! Et les curieux !

J'aime bien tes soleils de projection ... voici une image de pyramide à base carrée ABCD :

De sommet S, les 4 faces triangles isocèles de sommet S. Ici le côté vaut 5 Rac(2) et la hauteur b = 5. Un soleil de Glozi se trouve à l'infini, perpendiculairement à la face SAB, il projette l'ombre de SAB selon le triangle EAB sur le plan (xOy). S en E, A en A et B en B.

Si l'on procède de même avec les 3 autres faces en les projetant perpendiculairement à elles-mêmes, on obtient sur (xOy) les 3 triangles FBC, GCD et HDA. Les 4 triangles de projection se croisent selon un octogone IJKLNPQT ...

La symétrie des projections impose que les 8 côtés soient de même longueur. Mais les angles dépendent de la valeur de la hauteur b par rapport au côté de la base ! Glozi a calculé que l'octogone est régulier si le rapport côté/2/hauteur = 2^1/4 , figure du milieu environ.
Pour b = 0, on a un carré-point, et pour b = ∞ on aurait le carré ABCD !

A suivre ... B-m !

Dernière modification par Bernard-maths (18-07-2023 19:46:55)

Glozi

Invité

Re : Dans une pyramide ... des points de la base ?

Wow ! Merci pour ces belles images, on visualise bien la notion d'ombre avec ça !

Bernard-maths

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Re : Dans une pyramide ... des points de la base ?

Bonsoir !

Passons au cas de l'octaèdre en complétant par symétrie la pyramide, soit R le sommet du bas.

Comme je le disais dans mon post #5, si m de l'octogone se projette en K1, K2, ... k7 et K8 sur les 8 triangles, on a :

MK1 + MK2 + MK3 + MK4 = 20 Rac(3) ... MK1 + ... + MK8 =40 Rac(3) / 3 !

Remarquons que ce genre de relation, pour M quelconque dans l'espace, ne se projetant pas uniquement sur les faces triangles, mais sur les plans supports des faces, permet d'obtenir une équation de l'octaèdre plein !

Ce que je cherche maintenant c'est le volume vérifiant cette équation, mais avec les 8 points Ki projetés sur les faces triangles !

pour s'amuser, on peut déjà penser aux 2 autres octogones obtenus par rotations de 90° du 1er, autour des axes (x'x) et (y'y).

En fait il faut revenir aux projections ... le triangle de projection de SAB est contenu dans un prisme perpendiculaire au triangle SAB !

Si on passe en face au triangle RCD, on trouve de même un prisme perpendiculaire à RCD. Ces 2 prismes ont un même axe, celui qui joint les centres de SAB et de RCD ! Si on regarde dans le sens de cet axe, on voit que les 2 triangles projetés sont dans un prisme hexagonal !

Voici une figure ...

Ici M est au centre O de l'octèdre, alors les Ki sont les centres des faces ...

On voit que le prisme hexagonal englobe l'octaèdre et se superpose sur 4 des 8 côtés ...

A plus, B-m

Dernière modification par Bernard-maths (19-07-2023 09:14:13)

Bernard-maths

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Re : Dans une pyramide ... des points de la base ?

Bonjour !

Ce qu'on vient de voir peut se refaire 3 fois avec les 3 autres paires de faces parallèles de l'octogone. En tout on aura 4 prismes hexagonaux ... L'ensemble des points de l'espace, qui se projettent sur les 8 faces triangles de l'octaèdre, se trouve alors à l'intersection de ces 4 prismes !

A priori, on obtiendra un polyèdre convexe à 4 fois 6 = 24 faces ... Nous allons en chercher 2 équations : l'une du polyèdre plein (ensemble des points cherchés), l'autre de sa surface.

Il nous faut les équations des 24 plans ! Nous allons le faire pour le 1er prisme ...

Appelons C1, C2, ... C8, les centres des 8 faces.

Pour SAB, C1 centre de SAB a pour coordonnées la moyenne de celles de S, A et B : C1 (a/3, a/3, a/3).Pour les plans perpendiculaires passant par (AB), (BS) et (SA), on a des vecteurs normaux qui sont $\overrightarrow{SC1}$, $\overrightarrow{AC1}$ et $\overrightarrow{BC1}$. Et ces plans passent par des points connus : A, B et S ...

$\overrightarrow{SC1}$ (a/3, a/3, -2a/3). (Pab) : a/3 (x -xA) + a/3 (y - yA) - 2a/3 (z - zA) = 0. Soit x + y - 2z - a = 0, par exemple.

$\overrightarrow{AC1}$ (-2a/3, a/3, a/3). (Pbs) : -2a/3 (x -xB) + a/3 (y - yB) + a/3 (z - zB) = 0. Soit -2x + y + z - a = 0, par ex.

$\overrightarrow{BC1}$ (a/3, -2a/3, a/3). (Psa) : a/3 (x -xS) - 2a/3 (y - yS) + a/3 (z - zS) = 0. Soit x - 2y + z - a = 0, par ex.

Pour la face RCD, C7 (-a/3, -a/3, -a/3).

$\overrightarrow{RC7}$ (-a/3, -a/3, 2a/3). (Pcd) : -a/3 (x -xC) - a/3 (y - yC) + 2a/3 (z - zC) = 0. Soit x + y - 2z + a = 0, par ex.

$\overrightarrow{CC7}$ (2a/3, -a/3, -a/3). (Pdr) : -2a/3 (x -xD) + a/3 (y - yD) + a/3 (z - zD) = 0. Soit -2x + y + z + a = 0, par ex.

$\overrightarrow{DC7}$ (-a/3, 2a/3, -a/3). (Prc) : a/3 (x -xR) - 2a/3 (y - yR) + a/3 (z - zR) = 0. Soit x - 2y + z + a = 0, par ex.

On voit ici les 6 plans délimitant le prisme hexagonal !

B-m

Dernière modification par Bernard-maths (19-07-2023 10:49:57)

Bernard-maths

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Re : Dans une pyramide ... des points de la base ?

Bonsoir !

Voici les équations et images du prisme, en surface bien lisse et en plein granuleux, avec Maple :

Reste à finir les autres prismes, pour demain !

B-m

PS : vous trouverez des méthodes pour ces équations à : https://www.bibmath.net/forums/viewtopi … 693#p94693

Dernière modification par Bernard-maths (20-07-2023 09:06:27)

Bernard-maths

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Re : Dans une pyramide ... des points de la base ?

Bonjour, pour la suite !

Après ce 1er prisme, passons aux suivants. Mais remarquons bien sur que cet octaèdre régulier possède 3 plans de symétrie que sont les 3 plans du repère ... il en est de même pour les prismes ! Voici les 4 prismes, orientés comme la 1ère image de l'octaèdre, post#9 : les équations puis les figures.

Puis le résultat final.

J'ai la surprise de trouver un polyèdre que je connaissais de vue en consultant mathcurve (de Robert Ferréol).

https://mathcurve.com/polyedres/icosite … idal.shtml

La dernière image du cristal est celle obtenue ... maintenant on en a une équation surface !

Une suite encore plus tard !

B-m

Dernière modification par Bernard-maths (20-07-2023 13:11:59)

Bernard-maths

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Re : Dans une pyramide ... des points de la base ?

Bonsoir Glozi !

Alors, pour finir peut-être, je reviens sur la pyramide en demi octaèdre régulier, et on avait parlé des points de l'espace qui se projettent sur les 4 côtés triangles équilatéraux de la pyramide !

Donc je reprends le schmilblic de l'octaèdre, mais en me limitant aux prismes des 4 faces, prismes qui sont alors triangulaires !

Ce qui donne la "goutte" qui fait déborder sous la face de la pyramide ...

Et voici quelques vues diverses ... en biais dessus, dessus, dessous, en biais dessous.

Cette "goutte" ressemble un peu à une antipyramide, sans l'être ! Voir mathcurve ...

Voilà qui clôt pour moi cette étude ... Questions ???

Bernard-maths

Dernière modification par Bernard-maths (20-07-2023 18:24:11)

Glozi

Invité

Re : Dans une pyramide ... des points de la base ?

Bonsoir,
C'est très joli tout ça ! Ainsi le "cristal" que tu obtiens en #12 est aussi l'intersection de 6 "gouttes" que tu décris en #13. J'ai une très mauvaise vision dans l'espace et j'avais du mal à me représenter cette intersection de toutes les zones d'ombres ! Merci d'avoir éclairer tout ça.

Sinon j'ai cru comprendre que tu utilisais Maple pour obtenir toutes ces belles images, si j'ai le temps cet été je vais peut-être regarder comment ça fonctionne.

Bonne soirée :)

Bernard-maths

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Re : Dans une pyramide ... des points de la base ?

Bonsoir à tous !

En fait, je n'ai pas fini ! Pourquoi ?

Parce qu'il existe une infinité d' icositétraèdre de ce genre ... il suffit de placer des points bien situés entre eux ...

Je vais donc vérifier si celui ci a bien des sommets avec de bonnes coordonnées ! Comment ?

Sur le net on trouve des coordonnées, des mesures de côtés, des angles, etc ... Je vais vérifier qu'on trouve les mêmes valeurs ...

Alors ? Je vais tracer les arêtes des prismes hexagonaux, et en chercher les points d'intersections, qui devraient être les sommets de cet icositruc. Et comparer.

Voilà le début : prisme1 en rouge et prisme 2 en orange.

Et voilà les 24 arêtes tracées ! Où sont les sommets ?

Bernard-maths

Dernière modification par Bernard-maths (24-07-2023 20:59:26)

Bernard-maths

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Re : Dans une pyramide ... des points de la base ?

Bonjour à tous !

Je m'étais engagé sur une voie compliquée. J'ai procédé autrement, et finalement trouvé que l'icosaèdre trouvé ne correspond pas à celui de mathcurve, et d'une façon générale à celui étudié par Catalan !

Détails plus tard ...

B-m

Bernard-maths

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Re : Dans une pyramide ... des points de la base ?

Bonjour !

Alors, si l'octaèdre régulier de départ a des sommets de coordonnées (±a,0,0), (0,±a,0) et (0,0,±a), alors l'icositétraèdre trapézoïdal, lui, a des sommets de coordonnées ... 6 de coordonnées (±a/2,0,0), (0,±a/2,0) et (0,0,±a/2) ; 12 de coordonnées (±a/3, ±a/3,0), (±a/3,0,±a/3) et (0,±a/3,±a/3) ; et enfin 8 de coordonnées (±a/4;±a/4,±a/4) ! Ces rapports sont simples ... bizarre ?

Et une vue de dessus, avec a = 12, pour voir les coordonnées :

B-m

Dernière modification par Bernard-maths (26-07-2023 10:05:06)