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#1 08-07-2023 20:27:36

bridgslam
Membre
Lieu : Rospez
Inscription : 22-11-2011
Messages : 1 458

topologie générale

Bonsoir,

Je me demande si ceci tient la route:

Je voudrais montrer que si X est un espace topologique fini et séparé, alors X est discret.

Je suppose donc X à la fois fini et séparé.

Si  $a \in X$ et $b \neq a $ je note $U_b$ l'ensemble des ouverts contenant a mais pas b.
Quel que soit b distinct de a, cet ensemble n'est pas vide, d'après la séparabilité,  et il est aussi fini car X est fini.
Son intersection $I_b$ , qui est une intersection finie d'ouverts, est un ouvert.

Mais $\{a\} = \cap_{ b \neq a } I_b $ est aussi un ouvert car X\{a} est évidemment fini.

J'ai toujours un doute dans ce genre de questions quand on frôle l'axiome du choix, mais semble-t-il pas nécessaire ici.

Alain


"Ceux qui ne savent rien en savent toujours autant que ceux qui n'en savent pas plus qu'eux" -Pierre Dac
"Travailler sur un groupe haddock, ou être heureux comme un poisson dans l'eau..."

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#2 08-07-2023 23:15:27

Glozi
Invité

Re : topologie générale

Bonsoir,
Ça m'a l'air de tenir la route, où penses-tu avoir utiliser l'axiome du choix ? (car je ne vois pas).
Sinon preuve peut-être un chouillat plus directe : $X$ séparé implique que l’intersection de tous les ouverts contenant $a$ est le singleton $\{a\}$. $X$ fini implique que cette intersection est en fait finie et donc que $\{a\}$ est ouvert.
Bonne soirée

#3 09-07-2023 10:04:53

bridgslam
Membre
Lieu : Rospez
Inscription : 22-11-2011
Messages : 1 458

Re : topologie générale

Bonjour,

Et merci pour ta réponse.
Je n'ai pas utilisé AC, je me demandais seulement si en l'utilisant, la preuve aurait été plus directe encore.
Sinon, dans ce que j'ai écrit, j'ai finalement exposé le fait que tu utilises: l'intersection des ouverts contenant a se réduit à {a}.
Si on le prend pour acquis, c'est effectivement plus direct.

Bonne journée.

Alain


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#4 09-07-2023 10:26:08

bridgslam
Membre
Lieu : Rospez
Inscription : 22-11-2011
Messages : 1 458

Re : topologie générale

Re-bonjour,

Sinon une option exploitant la finitude d'emblée peut être ceci:

Soit F l'ensemble des ouverts contenant a, dont le cardinal (fini) est minimum, disons C.
Soit V quelconque  dans F, on a donc Card V = C .
Si b est distinct de a, il existe un ouvert U contenant a mais pas b, à cause de la séparabilité.
Alors V$\cap$ U , ouvert inclus dans V contenant a et de cardinal au plus C est donc égal à V, car C est minimum.
On a donc montré que b n'appartient pas à V, pour tout V dans F, et b quelconque distinct de a.

Ainsi F = { {a} }.

A.


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