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philppi1

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Intersections de 3 plans dans l'espace

cns pour prouver que l'intersection de 3 plans d'équations cartésiennes données soit une droite:

Je pense qu'il faut montrer que les 3 vecteurs normaux des plans soient non colinéaires, mais je ne sais pas vérifier cette condition.

j'ai 3 plans P1,P2,P3 d'équations respectives :

x+ty-z+1=0

(t+1)x+3y+4z-2=0

y+(2t+4)z-(2t+2)=0
IL faut trouver la valeur de t pour que l'intersection des 3 plans soit une droite:

Je calcule le déterminant des 3 vecteurs normaux et je trouve qu'il est nul si: t=1 ou t=-2+racine(3)/2 ou t=-2-racine(3)/2.

Je pense que c est juste par contre je ne vois pas pourquoi il faut prouver cela.
Merci

Dernière modification par philppi1 (01-07-2023 06:44:29)

Black Jack

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Re : Intersections de 3 plans dans l'espace

Bonjour,

"Je pense qu'il faut montrer que les 3 vecteurs normaux des plans soient non colinéaires"

Pas vraiment, en général, le lieu de rencontre 3 plans quelconques non parallèles 2 à 2 (donc à vecteurs normaux non colinéaires), est un point.

Une manière possible parmi d'autres :

On cherche 2 points distincts communs aux 2 premiers plans, en imposant x et en déterminant y et z en fonction du paramètre t.

On trouve par exemple les points :
P1(0 ; -2/(3+4t) ; (3+2t)/(3+4t))
et
P2(1 ; - (t+7)/(3+4t) ; -(t²-t-6)/(3+4t))

Ensuite on impose que ces points appartiennent au 3 ème plan (donc que les coordonnées de P1 et P2 satisfassent l'équation du 3ème plan)

On obtient ainsi un système de 2 équations à 1 inconnue (t)

La première équation (celle avec P1) donne facilement 2 solutions possibles qui sont t = -1 ou t = 1
On vérifie si ces solutions vérifient l'équation issue de P2 ... et on voit que t = -1, ne convient pas et que t = 1 convient.

Voila, il te reste à mener tous ces calculs en suivant la piste indiquée ... ou trouver une autre méthode.

Michel Coste

Membre Expert

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Re : Intersections de 3 plans dans l'espace

Bonjour,
On doit donc trouver l'ensemble des [tex]t[/tex] tels que le système linéaire des trois équations de plans ait comme espace de solutions une droite affine. C'est le cas si et seulement si la matrice du système est de rang 2, et la matrice augmentée est aussi de rang 2.
Un petit échelonnement de matrice fait parfaitement l'affaire. Le travail est assez facile car on a un premier pivot fourni par le coefficient 1 de [tex]x[/tex] dans la première équation et un deuxième pivot fourni par le coefficient 1 de [tex]y[/tex] dans la troisième équation.