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Spike

Invité

Dérivée dans une algèbre de Banach

Bonjour à toutes et à tous,

J'espère que vous vous portez pour le mieux. J'aurais, je vous prie, une question sur les algèbres de Banach, en analyse.

Soit A be une algèbre de Banach complète d'unité e et φ : A → A a une application continue antilinéaire (au sens utilisé en anglais) tel que φ(exp(x)) soit inversible, pour tout x dans A. Soit f une fonction de l'ensemble des complexe vers A définie par:
f(λ) = [φ(exp(λx))]y[φ(exp(λx))]−1

1/ Comment puis-je calculer la dérivée de f par rapport à λ? Je ne sais pas en particulier comment calculer la dérivée de [φ(exp(λx))]−1.
2/ Comment montrer que f est harmonique?
D'avance un grand merci pour votre aide!

Spike

Invité

Re : Dérivée dans une algèbre de Banach

Pour la 2/, je me propose de poser lambda = a + ib, ou a et b sont des réels.
Et de calculer le laplacien de f, en la voyant comme une fonction de a et de b.
Mais pour ce faire, encore faut-il savoir dériver [φ(exp(λx))]−1

Qu'en pensez-vous?

Fred

Administrateur

Inscription : 26-09-2005

Messages : 7 352

Re : Dérivée dans une algèbre de Banach

Bonjour,

  Le point clé, c'est la formule de la dérivée (ou de la différentielle) d'une composée.
Commence par poser $\psi(\lambda)=\varphi(\exp(\lambda x))=\varphi \circ \exp(\lambda x).$

Tu as, par la formule de la dérivée d'une composée,
$$\psi'(\lambda)=d\varphi(\exp(\lambda x))( u'(\lambda))$$
où j'ai posé $u(\lambda)=\exp(\lambda x).$ La différentielle d'une application antilinéaire est facile à obtenir.
Concernant la dérivée de $u,$ tu peux écrire
$$\frac{u(\lambda +h)-u(\lambda)}{h}= \frac{ \exp((\lambda+h)x)-\exp(\lambda x)}{h}=\exp(\lambda x)\frac{\exp( hx)-Id}{h}$$
puis utiliser le fait que le dernier quotient tend vers $x$ (par une écriture en série de l'exponentielle).

Quand tu ajoutes l'inverse, il faut faire pareil en tenant compte cette fois de la différentielle de l'inverse.

F.

Spike

Invité

Re : Dérivée dans une algèbre de Banach

Merci beaucoup pour votre réponse rapide monsieur!

Pourrais-je abuser de votre gentillesse et vous demander comment s’écrit justement la différentielle de l’inverse dans ce cas?

Bien à vous

Bien à vous,
Spike

Spike

Invité

Re : Dérivée dans une algèbre de Banach

Je vais essayer de détailler mon raisonnement.
S'il vous plaît si quelqu'un pourrait me corriger, ça me serait très utile.

En reprenant les notations de Monsieur Fred:

[img=mathématiques]/Users/ffbenchakroungmail.com/Desktop/thumbnail_IMG_5687.jpg[/img]
[img=maths]/Users/ffbenchakroungmail.com/Desktop/thumbnail_IMG_5688.jpg[/img]

J'ai utilisé comme arguments principaux:
- la convergence normale dans A permettant de faire tendre h vers 0 au sein de la somme
- le fait que si ψ est une fonction de l'ensemble des complexes vers A telle que définie ci-haut: ψ'(λ) = dψ(λ)

Merci de bien vouloir me corriger si je fais erreur.
Bien à vous,
Spike

Spike

Invité

Re : Dérivée dans une algèbre de Banach

Je vais essayer de détailler mon raisonnement.
S'il vous plaît si quelqu'un pourrait me corriger, ça me serait très utile.

En reprenant les notations de Monsieur Fred:
https://imagizer.imageshack.com/img924/4769/Bz6ZES.png
https://imagizer.imageshack.com/img923/6853/BZ6Lkt.png
https://imagizer.imageshack.com/img924/8231/zDSbS8.jpg

J'ai utilisé comme arguments principaux:
- la convergence normale dans A permettant de faire tendre h vers 0 au sein de la somme
- le fait que si ψ est une fonction de l'ensemble des complexes vers A telle que définie ci-haut: ψ'(λ) = dψ(λ)

Merci de bien vouloir me corriger si je fais erreur.
Bien à vous,
Spike