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Brips

Invité

Trouver le spectre d'un opérateur

Bonjour,

J'essaye de résoudre l'exercice suivant mais je n'y arrive pas.
On définit l'opérateur suivant sur $l^2(N,C)$:
$$
S((x_n)_{n\geq 0})  := (0, x_0, x_1, \ldots ),
$$

On doit commencer par déterminer l'ensemble des valeurs propres : j'ai trouvé qu'il était vide.

Il s'agit ensuite de trouver son spectre. J'ai pris $\lambda \in C^*$ et j'ai déterminé le potentiel inverse de $(S-\lambda I)$.
Pour $(y_n)_n \in l^2(N,C)$, on a :
$x_n = - \sum_{k=0}^n y_k \lambda^{n+1-k}$
j'ai ensuite voulu trouver à quelles conditions sur $\lambda$ cette nouvelle suite est bien dans $l^2$, ce qui donnerait que $\lambda$ n'est pas dans le spectre.
J'avais l'impression que ce serait une condition du type $|\lambda|>1$ mais je n'ai pas abouti...
J'ai aussi remarqué que $S$ était une isométrie mais je ne sais pas si ça peut m'être utile

Merci d'avance pour votre aide !

Brips

Invité

Re : Trouver le spectre d'un opérateur

En utilisant le fait que c'était une isométrie j'ai montré que son spectre était inclus dans le disque unité...

Fred

Administrateur

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Messages : 7 352

Re : Trouver le spectre d'un opérateur

Bonjour,

  Ton idée est bonne, mais ta formule exprimant $x_n$ en fonction des $y_k$ est fausse...
Une fois que tu as la bonne formule, tu peux démontrer que si $|\lambda|\leq 1,$
on peut trouver une suite $(y_n)$ de $\ell^2$ telle que la suite $(x_n)$ trouvée ne sera pas dans $\ell^2$.

F.

Brips

Invité

Re : Trouver le spectre d'un opérateur

Merci beaucoup, j'ai pu conclure :)