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Roro1

Invité

Continuité à droite d'une fonction

Bonjour.
Soit $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ une fonction, soit pour tout $u\in\mathbb{R},\ h(u)=\limsup_{r \downarrow u, r \in \mathbb{Q}}f(r).$
Est-ce que $h$ est continue à droite ? Pourquoi ?

Je pense que le resultat est correct, pouvez vous donner des pistes pour commencer?
Merci.

Fred

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Re : Continuité à droite d'une fonction

Bonsoir,

  J'essaierais par un raisonnement par l'absurde. Si $h$ n'est pas continue en $u$ à droite, alors il existe $\delta>0$ et $(u_k)$ une suite qui décroît vers $u$ telle que $|h(u)-h(u_k)|>\delta.$

F.

PS : je n'ai pas vérifié si le résultat est correct.

bridgslam

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Re : Continuité à droite d'une fonction

Bonjour

Je pense que c'est faux.
Par exemple au voisinage de 0,   la fonction f définie sur $[ 1/(n+1), 1/n [ $   par $(-1)^n$ vaut alternativement -1 ou 1 quand on passe à l'intervalle adjacent
selon la parité de n.
Le sup valant aussi 1 ou -1, à droite de ces nombres, lorsque x varie sur [0, 1[  la fonction h n'a pas de limite en 0.

Alain

Dernière modification par bridgslam (22-06-2023 13:46:12)

bridgslam

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Re : Continuité à droite d'une fonction

Re-bonjour,

Si on veut formaliser un peu plus:

$Soit  f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} $ telle que :

- si $ x \le 0 \; f(x) = 0 $
- si $ x \ge 1 \; f(x) = -1 $
- si $ x \in \cup_{n=1 , 2 , ...} [ 1/(n+1) , 1/n [  $  $f(x) = (-1)^n$

Alors $h(u_n) = lim_{\epsilon \rightarrow 0} sup f( [ u_n ; u_n + \epsilon] \cap \mathbb{Q} ) = (-1)^n $ en posant $ u_n = 1/(n+1) $

Et la fonction h n'est certainement pas continue à droite de 0...

A.

Dernière modification par bridgslam (23-06-2023 11:05:43)