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Reivax90

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Adjoint d'un endormorphisme 1-lipschitzien

Bonsoir à tous,

Je suis complètement bloqué sur l'exo suivant :

Soient E un espace euclidien et f ∈ L(E) tel que ∀x ∈ E, $‖f (x)‖ =< ‖x‖$.
(a) Montrer que si $f (x) = x$ alors $f^{*}(x) = x$
(b) Montrer que Ker(f − id) et Im(f − id) sont supplémentaires dans E

Je n'ai tout bonnement aucune idée de comment aborder cet exercice. Il n'y a que la définition d'un endomorphisme adjoint qui me vient à l'esprit. C'est à dire <f(x),x> = <x,f*(x)>

Est-ce qu'une bonne âme accepterait de m'indiquer la marche à suivre ?

Merci beaucoup.
Reivax90

Roro

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Messages : 1 801

Re : Adjoint d'un endormorphisme 1-lipschitzien

Bonsoir,

Pour la première question, je commencerai par montrer que si $f$ est $1$-lipschitzienne, alors $f^\star$ l'est aussi (penser à l'inégalité de Cauchy-Schwarz).

Ensuite, en développant le carré $\|f^\star(x)-x\|^2$ tu devrais t'en sortir.

Roro.

Dernière modification par Roro (31-05-2023 21:41:00)