Forum de mathématiques - Bibm@th.net

plem06

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Quel serait votre angle pour parler... des angles ?

Questions classiques aux oraux du CAPES, qui m'interroge sur des questions que je ne m'étais jamais posées jusqu'ici :
1- Qu'est-ce qu'un angle ?
2- En quoi se différencie-t-il d'une mesure d'angle ?
3- Le cosinus doit il toujours être défini en lien avec un triangle rectangle ?

Bon, étant en candidat libre, j'ai un peu arpenté le net, et j'arrive aux conclusions (temporaires) que :

1- Difficile de définir un angle facilement. Je serais tenté de prendre l'approche de Wikipedia qui le définit dans le plan comme étant la classe de congruence d'un secteur angulaire. Mais on parle aussi en géométrie de l'hypoténuse comme étant le côté "opposé à l'angle droit", ce qui tend à en faire un objet mathématique "physique", non ? (l'hypoténuse est pas en face de la classe de congruence du secteur angulaire...). Comme alors le définir dans ce cadre ?

2- J'imagine qu'on ne peut identifier l'objet à sa mesure (pourrait on faire le parallèle segment/longueur ?  ou plutôt longueur/mesure de longueur ?)

3- Est-ce qu'il faut juste dire que ce n'est pas forcément un triangle en soit qui intervient, mais un projeté orthogonal (avec du coup le même type de relations que celles apprises dans le triangle rectangle, mais sans que l'objet triangle n'intervienne explicitement ?) ? Ou autre chose ?

Que répondriez-vous ?

Merci !

Pierre

yoshi

Modo Ferox

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Re : Quel serait votre angle pour parler... des angles ?

Bonjour,

Ce que je vais dire remonte à longtemps voire très longtemps sachant que j'ai "détélé en... 2007"...

Tu te poses la question pour un angle, louable intention... Mais pourquoi ne pas te poser la même question pour une longueur...
On m'avait montré en stage, que si je traçais sur une feuille de papier (par extension dans un plan) plusieurs segments de droite dans des positions diverses et variées (plus d'autres plus grands et plus petits) et de plus tous superposables exactement, la propriété commune aux segments de cet ensemble, était d'appartenir à la même longueur...

De même, si on considère un ensemble de .... tous superposables, leur propriété commune est d'appartenir au même angle : se greffaient là-dessus les notions de relation d'équivalence et de classe d'équivalence voire de congruence:  dans la droite ligne d'une définition utilisé pour définir un vecteur comme une classe d'équivalence de bipoints équivalents !
Tout ça vous fleurait bon les réminiscences des "Maths modernes"...
C'était joli, satisfaisant pour l'esprit d'un prof mais totalement inapplicables en Collège.
Alors en 6e, je donnais des feuilles avec segments prétracés, je fournissais avec un morceau de papier calque et on aboutissait à la conclusion que tous les segments superposables avaient la même (ou étaient de même) longueur.
Après, j'expliquais que pour comparer deux longueurs il était plus simple de dessiner un petit segment segment unité et de chercher pour chacun des segments à comparer de les comparer au segment unité : on obtenait un nombre pas toujours  précis... Et qu'on pouvait redécouper le segment unité en un nombre entier de segments plus petits...
Je prenais la règle en bois du tableau et je demandais ce que c'était...
puis je faisais remarquer la règle "était le "segment unité"  puis les 10 graduations de 10 cm , je traçais 15 cm au tableau et demandais un volontaire pour venir avec son double décimètre, mesurer... Bon, c'est un raccourci rapide ça prenait plus de temps que ça...

Concernant les angles, sur leurs petites feuilles, figuraient des secteurs angulaires "colorés" en nuances de gris, en petits points, hachures diverses... plus ou moins dense "coincés" entre des demi-droites de même origine (limitées à des segments) là aussi superposition. Et avec questions/réponses on arrivait à conclure que l'angle n''était pas la partie colorée entre les demi-droites mais l'écartement des deux demi-droites et O étant le sommet commun A et B chacun sur un côté, l'angle était noté $\widehat{AOB}$ que O était son sommet et que les demi-droites ou les segments partant de O dans le cas d'un triangle étaient appelé  "côtés" : j'avais bien conscience du risque de confusion entre angle (écartement des branches d'un compas, d'une paire de ciseaux...) et secteur angulaire (objet physique : portion de plan -surface et non aire - c'est pour cela que ces surfaces étaient toutes matérialisées). En évitant d'utiliser l'expression secteur angulaire - pas vraiment utile en 6e et au Collège). Cela demandait une certaine vigilance, mais je n'ai jamais constaté de confusion qui ne soit vite corrigée, et ensuite la notion, d'écartement était facilement  - même si abstraite - facilement acceptée.

Je me souviens d'un temps où on ne devait plus parler de côtés égaux, d'angles égaux, même de longueurs égales, il fallait parler de côtés ayant des longueurs de même mesure : de quoi se faire des nœuds à la langue...

Après pour la mesure des angles, on pouvait expliquer que le degré existait depuis trèèèès longtemps (Babyloniens) qu'on avait décidé de découper un cercle en 360 angles (écartement égaux), chaque angle unité avait été appelé le degré qu'un tour complet revenait à écarter les jambes jusqu'au grand écart puis de continuer jusqu'à ce que les jambes se rejoignent, les deux pieds au dessus de la tête...

Bon, j'arrête là, sinon, je vais finir par t'embrouiller (j'espère que ce n'est pas déjà fait).

@+

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Arx Tarpeia Capitoli proxima...

Michel Coste

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Re : Quel serait votre angle pour parler... des angles ?

Bonjour,

Déjà, de quels angles parle-t-on ?
1) Angle orienté de demi-droites de même origine ?
2) Angle non orienté de demi-droites de même origine (souvent appelé angle géométrique) ?
3) Angle orienté de droites ayant un point commun ?
4) Angle non orienté de droites ayant un point commun ?

Pour comprendre la différence entre ces angles, un bon exercice :
On se donne trois points A, B et C dans le plan, non alignés. Quel est l'ensemble des points M du plan tels que l'angle AMB soit égal à l'angle ACB (pour des angles pris dans le sens 1, 2, 3 ou 4) ?

Pour vous aider  (dans le désordre, attribuer un n° à chaque dessin) :

Dernière modification par Michel Coste (26-05-2023 18:37:17)

plem06

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Re : Quel serait votre angle pour parler... des angles ?

Bonjour,

Merci d'abord à tous les deux du temps que vous avez bien voulu consacrer à me formuler une réponse !
Désolé aussi de ne pas être revenu vers vous plus vite, j'enchaine un peu les sujets en ce moment en dernière ligne droite pour les oraux du CAPES...
Mais je crois qu'on n'a pas fini pour autant (en tout cas pour moi, car je comprendrais que vous arrêtiez les frais de votre côté) :

1) Yoshi :
- Oui, en fait je m'étais aussi posé la question sur la longueur (mais elle tombe bien + souvent sur l'angle au CAPES, alors... :-)
- Merci de tes détails sur la confrontation théorie / pratique que tu as connue, riche d'enseignements :-)

2) Michel :  C'est terrible... Je m'aperçois que je ne sais pas définir "L'" (au singulier) angle de deux droites sécantes. Deux droites sécantes définissent naturellement DEUX angles supplémentaires non ?
Finalement, un peu désespéré, en supposant les figures référencées par A,B,C,D dans le sens de lecture, je dirais en toute honnêteté : 1C, 2A. Sachant que mon intuition me dirait par ailleurs que l'ordonnancement des définitions en allant la + large à la plus fine serait pour moi 4,3,2,1, et celle des dessins avec des ensembles de solutions du plus important au plus petit A, C, B, D, donc peut être 4A, 3C, 2B, 1D ? (mais sans conviction, en tout cas sans vraiment comprendre la logique)

Et au final, si je vous demande la définition d'un angle façon bouquin en moins de 2 lignes, vous diriez quoi ?
...et pour ma proposition de réponse à la question n°3 initiale, vous êtes d'accord ou pas ?

Merci !

Pierre

Michel Coste

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Re : Quel serait votre angle pour parler... des angles ?

La bonne réponse est 1D, 2C, 3B, 4A. Cet exemple est assez important car il a à voir avec le contenu du théorème de l'angle inscrit.

Par exemple la définition d'angle orienté de deux droites (dans un plan affine euclidien, pas nécessairement orienté) :
L'angle orienté d'un couple de droites [tex](D,D')[/tex] ayant un point commun est l'orbite de ce couple pour l'action du groupe des isométries directes du plan.
Autrement dit l'angle [tex](D,D')[/tex] est le même que l'angle [tex](\Delta,\Delta')[/tex] s'il existe une isométrie directe qui envoie [tex]D[/tex] sur [tex]\Delta[/tex] et [tex]D'[/tex] sur [tex]\Delta '[/tex].
Tu peux traduire ça en termes de calque que tu déplaces.

Pour obtenir le groupe des angles orientés de droites, tu peux procéder ainsi pour définir l'addition de l'angle [tex](D,D')[/tex] (deux droites passant par [tex]O[/tex]) et de l'angle [tex](\Delta,\Delta')[/tex] (deux droites passant par [tex]P[/tex]) : il existe une isométrie directe [tex]u[/tex] du plan qui envoie [tex]P[/tex] sur [tex]O[/tex] et [tex]\Delta[/tex] sur [tex]D'[/tex] ; la somme des deux angles est l'angle [tex](D,u(\Delta'))[/tex]. (En fait, il y a deux telles isométries directes mais les images de [tex]\Delta'[/tex] par ces isométries sont les mêmes.)

Après, pour mesurer les angles orientés de droites, il faut que le plan soit orienté. Un angle orienté de droites a alors une mesure modulo [tex]\pi[/tex].

Ne t'affole pas, ceci dépasse sans doute ce qui est attendu au CAPES.

plem06

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Re : Quel serait votre angle pour parler... des angles ?

Bon ben, décidément il va falloir que je travaille encore !
Je le garde au chaud pour revenir dessus après mes (nombreux) autres sujets à préparer.

Merci Michel d'avoir pris ce temps de réponse.