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Toniu

Invité

Prouver R archimédien complet

Saluuut,
Je bloque dans un exo qui demande montrer cette implication
Si R vèrifie les propriétés de la limite monotone des suites alors R archimédien complet.
Pouvez vous m'aider s'ils vous plaît ?!
Merci.

Glozi

Invité

Re : Prouver R archimédien complet

Bonjour,
Soit $(K,\leq)$ un corps totalement ordonné de caractéristique nulle (ainsi $(\mathbb{Q},\leq)$ s'injecte dans $(K,\leq)$).

Pour l'implication "limite monotone $\Rightarrow$ archimédien", on suppose par l'absurde qu'on a un $x\in K$ tel que $x>n$ pour tout $n\in \mathbb{N}$, alors certainement la suite $u_n = n$ est croissante et majorée... je te laisse aboutir à la contradiction.
(sinon sans passer par l'absurde, considérer la suite $1/n$ décroissante, minorée, etc...).

Pour l'implication "limite monotone $\Rightarrow$ complet", il s'agit de montrer que toute suite de Cauchy est convergente. Je donne 3 faits (si ce n'est pas clair il suffit de démontrer les trois)
Fait 1 : une suite de Cauchy est bornée
Fait 2 (attention pas si trivial à bien écrire) : une suite dans $(K,\leq)$ admet toujours une sous suite croissante ou une sous suite décroissante.
Fait 3 : si une sous suite d'une suite de Cauchy converge, alors la suite de Cauchy originelle (avant extraction) converge.

Bonne journée