Des cours et exercices des vieux livres

Blubber · 20-05-2023 18:10:17

Bonjour, en lisant un peu quelques forums sur le net, suis tombé sur des conversations parlant des vieux livres dans lesquels se trouvait de la vraie géométrie. J'ai donc fait le tour et j'ai trouvé assez facilement deux séries de livres : les Lebossé-Hémery et les Monge-Guinchan.
Seulement voilà, n'ayant jamais réellement eu à faire à ces problèmes ni à cette géométrie je me retrouve devant deux problèmes :

I — Le cours n'est pas forcément compliqué mais de ce que j'ai pu voir, dans les lebossé-hémery par exemple, chaque chapitre est repris d'année en année avec à chaque fois quelques approfondissements en plus : j'ai l'impression que si je pars de la sixième je perds mon temps, mais j'ai l'impression de ne pas avoir les prérequis pour partir de la quatrième par exemple. C'est d'autant plus flagrant en géométrie où j'ai l'impression de ne rien comprendre en partant depuis la quatrième.

II — Comment faire les exercices ? Les premiers concernent des problèmes élémentaires dont j'ai totalement oublié comment les résoudre… ainsi je suis pas mal perdu dès les premiers exercices que, je pense, j'arriverais à peu près à résoudre avec les outils du lycée mais pas sans :

On vient d'écrire les 384 premiers nombres entiers. Combien de fois a-t-on écrit chacun des chiffres 0, 1, 2, …, 9 ?

Un père à 46 ans, et son fils 10 ans. Dans combien d'années l'âge du père sera-t-il le quadruple, le triple ou le double de celui de son fils ?

Pierre, René et François ont à eux trois 40 ans. René à 3 ans de moins que Pierre et 2 ans de plus que François. Trouver l'âge de chacun des enfants.

Partager 120 billes entre trois garçons de façon que le premier ait 7 billes de plus que le premier et 4 billes de moins que le troisième.

Les seconds concernent les problèmes de cette géométrie que je n'ai jamais rencontrée :

Deux triangles ABC et A'B'C' ont un côté égal BC=B'C' ainsi que les hauteurs AH et A'H' et les médianes AMH et A'M'H'.
1) Comparer les triangles AMH et A'M'H'.
2) On superpose ces deux triangles. En déduire l'égalité des triangles ABC et A'B'C' et énoncer le cas d'égalité correspondant.

On considère un triangle ABC et la bissectrice extérieur de l'angle A.
1) Montrer que le symétrique C' de C par rapport à cette bissectrice se trouve sur BA et que AC' = AC.
2) Démontrer que pour tout point M de la bissectrice on a MB+MC>AB+AC.

Et il y en a bien d'autres encore.

Mes questions sont donc:

Comment lire la partie cours de ces livres ?
Comment travailler cette géométrie ?
Existe-t-il une ressource qui compilerait un peu toutes les méthodes de résolution de ce genre d'exercices ?

Dernière modification par Blubber (20-05-2023 18:44:00)

yoshi · 20-05-2023 20:41:50

Bonsoir,

Les Lebossé & Hemery ont été mes bouquins de la 6e à la 1ere

En Term Math Elem on avait la collection Lespinard & Pernet (j'ignore si c'était un trait d'humour de l'Imprimeur, mais leur couverture était... verte), collection parce que j'en avais au moins 7.
Je ne crois pas que c'étaient juste des "approfondissements"..
D'année en année, en Géométrie, on rajoutait des théorèmes, et il fallait tous les mémoriser pour ne pas courir le risque d'être coincés à cause d'un manque.

Voyons tes exos, résolution Collège actuel.

Un père à 46 ans, et son fils 10 ans. Dans combien d'années l'âge du père sera-t-il le quadruple, le triple ou le double de celui de son fils ?

Soit x le nombre d'années cherché.
Dans x années le père sera âgé de 46+x.
Dans x années le fils sera âgé de 10+x.
1. Quadruple.
46 + x = 4(10+x)
46 + x = 40 + 4x
46 - 40 = 4x - x
6 = 3x
x = 6/3=2
Réponse : dans deux ans.
Vérification : 46+2 = 48, 4(10+2)= 4 x 12 = 48

2. Triple.
46 + x = 3(10+x)
46 + x = 30 + 3x
46 - 30 = 3x - x
16 = 2x
x = 16/2 = 8
Réponse : dans huit ans.
Vérification : 46+8 = 54, 3(10+8)= 3 x 18 = 54

3. Double
46 + x = 2(10+x)
46 + x = 20 + 2x
46 - 20 = 2x - x
26 = x

Réponse : dans vingt-six ans.
Vérification : 46+26 = 72, 2(10+26)= 21 x 36 = 72
N-B : on peut se passer d'équation et recourir à l'arithmétique pure et dure :
Père et fils ont 36 ans d'écart.
Chaque père et fils gagnent un an, certes mais si je multiplie l'âge du fils par 4, l'écart se réduit de 3 ans .
Dans combien de temps l'écart entre l'âge du père et le quadruple de l'âge de de son fils sera-t-il de zéro ?
Réponse : 36/3 =12
-------------------------------------------------------------------------------
Tu as échappé à une vacherie :! il peut arriver qu'on tombe sur une valeur négative. Si on est sûr de soi, on ne se dit pas : où est l'erreur ?... Parce que la valeur négative signifie que ce cas de figure s'est déjà produit !
Autre vacherie : mon père me l'avait ramenée de l'usine où les dessinateurs industriels se cassaient les dents dessus.
Voilà :
J'ai 2 fois l'âge que vous aviez quand j'avais l'âge que vous avez.
Quand vous aurez l'âge que j'ai, nous aurons alors 63 ans à nous deux.
Quels âges avons-nous ?

Moins méchant, plus calculatoire et avec des fractions (ouh, que les mômes de Collège éprouvent en majorité une aversion profondes pour celles-ci !..)
« Quel âge avez-vous ? » demande un élève à son professeur.
Celui répond par une énigme :
« Il y a 5 ans, je dépassais des deux-tiers de ton âge le quadruple de celui-ci. Dans 1 an, il faudra multiplier ton âge par 16/5 pour trouver le mien ! ».
Quels âges ont-ils donc ?

-------------------------------------------------
Pierre, René et François ont à eux trois 40 ans. René à 3 ans de moins que Pierre et 2 ans de plus que François. Trouver l'âge de chacun des enfants.

Ce pb peut se faire en 6e comme ça :

P  |-----------------|
R  |------------|
F  |--------|

On part de François et on aligne verticalement pour arriver à 3 fois l'âge de P :

P  |-----------------|
                   3
R  |------------|....|
            2      3
F  |-----|......|....|

En ajoutant 2 ans à l'âge de F on obtient l'âge de R et si j'ajoute encore 3 ans, j'arrive à l'âge de P
En ajoutant 3 ans à l'âge de R on obtient l'âge de P.
En ajoutant le tout, j'arrive maintenant au triple de l'âge de P.
Âge de P : (40+2+3+3)/3 = 48/3 = 16
Âge de R : 16 - 3 = 13
Âge de F : 13- 2 = 11

Vérification :11 + 13 +16 = 40

Le schéma est (était ?) une habitude du Primaire, support visuel pour la réflexion...
Une version algébrique (5e/4e)
Soit x l'âge de R.
L'âge de P est x+3.
L'âge de F est x-2.
Somme des âges x+x+3+x-2 =3x+1
Equation :
3x+1 = 40
D'où x =(40-1)/3 = 13
D'où x+3 = 16 et x-2 = 11.
René a 13 ans, Pierre 16 ans et François 11 ans...

Les billes, c'est le même principe...

Quant au 1er exo, il est purement un exo de dénombrement...
Le 384e nombre entier (en commençant par 0) est le nombre 383...
De 0 à 9, il y a 10 chiffres, 1 de chaque.
De 10 à 99, il y a 9 dizaines complètes.
Chaque chiffre de 1 à 9 est un chiffre des dizaines
Chaque chiffre de 0 à 9 est présent une fois comme unité....

etc...

La suite demain : là, je fatigue...

@+

Blubber · 20-05-2023 22:28:29

Je n'en attendais pas tant en une seule fois ! :D

Déjà un grand merci, car rien qu'avec l'exercice de Pierre, René et François tu viens de me faire réaliser pourquoi ce dernier se trouve dans le chapitre ligne droite, segment de droite et ça, ce n'est pas rien ! C'est même très éloquent et très simple finalement, je m'en voudrais presque de ne pas avoir compris avant comment faire.

Pour le père et son fils je pense que j'aurais réussi à le faire comme ceci oui, mais dans le livre il est abordé avant les équations (dans le même chapitre que l'exercice de Pierre, René et François justement) du coup je ne sais pas comment le faire sans introduire de variables et équations. Quoi que je me dis que c'est sûrement de la même manière aidé d'un schéma. Ce sera sans doute un bon teste d'essayer de le refaire de cette manière demain pour voir si j'ai bien compris (enfin, si c'est bien comme cela qu'il faut procéder :'D).
Par contre c'est une bonne piqure de rappel ! Car j'étais arrivé à un résultat différent à cause d'une petite erreur de calcul et je n'avais pas pensé à faire la vérification… si je l'avais fait comme tu le rappelles ici, je m'en serais rendu compte !

Le premier exo c'est un peu mon Némésis en algèbre… trop calculatoire, typiquement le genre d'exo pour lequel je laisserais faire l'ordi… mais à cette époque tu n'avais évidemment pas d'ordinateur. Je ne sais pas comment j'aurais vécu ce type d'exos. Néanmoins merci encore une fois car j'ai, je crois, compris comment le résoudre !

En Term Math Elem on avait la collection Lespinard & Pernet (j'ignore si c'était un trait d'humour de l'Imprimeur, mais leur couverture était... verte)

J'ai voulu vérifier et c'est vrai ! Incroyable. Je me demande comment l'auteur l'a pris. :D

Quant à tes deux petites devinettes, elles me donnent du fil à retordre ! J'espère que j'arriverais à les résoudre d'ici demain !

Merci à nouveau pour le temps que tu as pris à me répondre pour ces premiers exercices ! Je t'avoue qu'avec de tels réponses de ta part, j'attends avec impatience la suite pour la géométrie. :)

yoshi · 21-05-2023 17:31:23

Bonjour

Je n'aime pas du tout ton 1er exo de Géométrie : je le trouve douteux...
Je commence par le 2e
Dessin.
La bissectrice extérieure de $\hat A$ est perpendiculaire à sa bissectrice intérieure.
Je trace un triangle ABC quelconque e la bissectrice intérieure de $\hat A$. Soit I son intersection avec [BC].
Pour éviter toute tentation, je trace la bissectrice extérieure en traçant la demi-droite $[Ax$ (du côté du point C) perpendiculaire en A à (AI).
Je construis le point C' symétrique de C par rapport à $[Ax$
Je trace [CC'] et j'appelle I' l'intersection de [CC'] avec $[Ax$.
Je joins [AC']

- Q1 -
Dans la symétrie orthogonale d'axe (AI')
$C' \mapsto C$ |
$A \mapsto A$ |> donc $\widehat{C'AI'}\mapsto \widehat{CAI'}$
$I' \mapsto I'$ |

La symétrie orthogonale conserve les angles.
D'où $\widehat{C'AI'}= \widehat{CAI'}$
$\widehat{C'AC} =2 \widehat{CAI'}$
Or, par construction, [AI) est la bissectrice intérieure de $\widehat{CAB}$, donc $\widehat{CAB}=2\widehat{CAI}$

On peut donc écrire :
$\widehat{C'AB} =\widehat{C'AC}+\widehat{CAB}=2 \widehat{CAI'}+2\widehat{CAI}=2(\widehat{CAI'}+\widehat{CAI})=2\widehat{I'AI}=2\times 90°=180°$
L'angle $\widehat{C'AB}$ est donc un angle plat.
Donc C', A et B sont alignés et par conséquent, on peut dire que $C' \in [BA)$
On a montré que, dans la symétrie orthogonale d'axe (AI')
$C' \mapsto C$ |
$A \mapsto A$ |> donc $[C'A] \mapsto [CA]$

La symétrie orthogonale, conservant les longueurs, on a donc AC = AC'

Q2
Il faut commencer par se demander : à quoi sert peut nous servir cette 1ere question ?...
La réponse (enfonçage de porte ouverte) : la 1ere précède la 2e, elle est là pour établir une conclusion qui pourra être exploitée dans la 2e. Qu'avons-nous montré ?
Deux choses C' est sur [BA) et AC'=AC.
Oui, et alors ?
[BC']=[BA]+[AC']
or AC' = AC
Donc BC'= AB+ AC (1)
Là, j'ai commencé à penser "Inégalité triangulaire...
[Parenthèse]
Maintenant, une imperfection dans l'intitulé de l'intitulé de cette question m'a gêné :
Démontrer que pour tout point M de la bissectrice on a MB+MC>AB+AC
Ce qui est valable pour tout point M l'est pour un point particulier que je choisis à ma guise, s'pas ?
Bin moi, je place M en A...
Et j'ai MB+ MC= AB+AC...
Donc le point M ne peut pas être n'importe où sur la bissectrice extérieure. C'est donc :
Montrer que $\forall M \in [AI']$, on a $MB+ MC \geqslant AB+AC$
Et comme d'après (1), j'ai AB+AC= BC', la question devient
Montrer que $\forall M \in [AI']$, on a $MB+ MC \geqslant BC'$
[/Parenthèse]
Mais M étant un point de $[Ax$ bissectrice et axe de symétrie pour le triangle CAC', MC=MC'.
La question équivaut alors à :
Montrer que MB+MC'>BC'
La voilà mon inégalité triangulaire...

Bon, voilà la démo propre.
Par hypothèse $[Ax$ est axe de symétrie de[CC'] donc, sa médiatrice...
M point de de $[Ax$ est donc tel que MC = MC'.
Donc MB+MC = MB+MC'
Or on a montré que AC = AC' et comme C,A,C' sont alignés AB+AC=AB+AC'.
Dans le triangle MBC', l'inégalité triangulaire permet d'écrire
MB+MC' > BB', donc MB+MC >BB'
Or AB+AC = AB+AC' = BB'.
On remplace BB' par AB+AC', donc par AB+AC et on obtient :
MB+MC > AB + AC.
-----------------------------------------
Ca n'était pas très évident...
Pourquoi ai-je pensé inégalité triangulaire ?
Je me suis souvenu d'une démo dans une leçon d'un bouquin de Géométrie de 4e de Collège qui date d'après l'abandon des "Maths modernes" dont le titre était : "Régionnement du plan par une médiatrice".

Une droite (BC), la médiatrice de [BC], un point A pris hors de la médiatrice, par ex du côté de C par rapport à cette médiatrice.
Montrer que AB>AC.
Au cas où tu aurais envie d'y réfléchir, je cache la démo, ...

▼Cliquer pour voir

.
L'autre exo plus tard.
(J'en ai 2 bien plus longs et plus intéressants que je réservais à mes 3e en DM... On verra ça plus tard :

La 1ere "devinette" de ma réponse précédente se résout avec un système de 2 équations à inconnues.
On peut écrire ces équations assez simplement en ne prenant pas comme inconnues les 2 âges, mais l'âge de la personne qui parle et la différence des âges.

Soit $x$ l'âge du plus âgé et $a$ la différence des âges.
L'âge du plus jeune s'écrit donc $x-a$
La difficulté principale venait du jeu des temps. En effet :

J'ai (présent) deux fois l'âge que vous aviez (imparfait, donc passé, donc pas l'âge présent).
Passé,oui, mais quand ?
Bin : ...quand j'avais] (passé) l'âge que vous avez (présent).

▼Les 2 méthodes

A suivre...

Blubber · 22-05-2023 17:24:41

Fiou ! J'ai mis du temps mais j'ai tout lu en essayant de comprendre du mieux possible (d'ailleurs tu me mâches bien le travail pour la compréhension, merci !) et même comme ça je sens que j'en suis encore loin. En effet, j'ai même réessayé tout à l'heure de le refaire moi-même et je n'y suis pas arrivé… je crois que j'ai beaucoup de travail devant moi ! ^^'

Je me demande comment vous deviez travailler ce genre de choses à l'époque. (Je me demande car de nos jours tout est tellement facile que je n'ai jamais réellement travaillé au collège ni au lycée…)

Pourquoi trouves-tu douteux le premier exercice de géométrie ? J'ai d'abord pensé avoir fait une erreur en recopiant l'énoncé mais non, ça a l'air de bien être ça

du coup je ne comprends pas trop ce que tu lui reproches.

Raaaah ! J'y étais presque pour la devinette ! J'étais tombé je ne sais comment sur 23 et 25 ans. J'ai dû faire une erreur quelque part. >_< mais encore une fois, c'est super bien expliqué ! J'espère qu'un jour j'y arriverais aussi bien que toi.

Dernière modification par Blubber (22-05-2023 17:27:30)

Blubber · 22-05-2023 17:27:09

Ah bah si, je viens de voir l'erreur ! Je me suis raté sur les médianes ! Je suis qu'un gros bêta ! >.<

yoshi · 22-05-2023 22:26:03

Bonsoir,

Vite fait, parce qu'il se fait tard pour moi
je n'aime pas du tout l'appel à la superposition des triangles...
Alors comparer des triangles = dire s'ils sont égaux (ou, plus tard semblables).
Il y a 3 cas d'égalité des triangles.
1. Si deux triangles ont un côté égal adjacent à deux angles égaux chacun à chacun alors ils sont égaux.
2. Si deux triangles ont un angle égal compris entre deux côtés égaux chacun à chacun alors ils sont égaux.
3. Si deux triangles ont leurs 3 côtés égaux chacun à chacun alors ils sont égaux.

Dans le cas de tes triangles AMH et A'M'H', ce sont tous deux des triangles rectangles
J'applique le théorème de Pythagore à chacun d'entre eux.
MH²=AM²-AH²= A'M'²-A'H'²= H'M'².
On a donc HM=HM'
Je peux appliquer soit le 2e cas AH =AH' et MH = M'H' et l'angle $\hat A = \widehat{A'} : 1 angle entre deux côtés soit le 3e :
AH = AH', AM = AM' et HM = HM'.
Ces triangles sont égaux.

2. C'est elle qui me dérange. J'ai réussi à mettre la main sur un contre exemple.
J'ai tracé une droite à partir d'un segment [HM]
J'ai construit un segment [HA] perpendiculaire en H à (HM). Puis j'ai tracé le triangle AHM.
J'ai dupliqué ce triangle en le baptisant AH'M' et l'ai déposé un peu plus loin sur la droite (HM).
J'ai choisi une ouverture de compas et j'ai placé deux points B et C de part et d'autre de M (j'ai BM=MC).
Et j'ai tracé le triangle ABC:
J'ai bien [AH] hauteur et [AM] médiane. OK ?

Je suis alors passé au triangle A'H'M'.
J'ai choisi une ouverture de compas un peu plus grande et en prenant M' pour centre, avec 2 arcs de cercle, j'ai placé B' et C' de part et d'autre de M'.
J'ai ensuite tracé le triangle A'B'C'.
J'ai bien [A'H'] hauteur et comme M'B' = M'C', [A'M'] médiane. OK ?

Comme A'H'M' est copie conforme de AHM, j'ai bien de plus A'H'=AH et AM = A'M'.
J'ai respecté les conditions de l'énoncé.
As-tu l'impression que, en superposant les triangles AHM et A'H'M', les triangles ABC et A'B'C' sont eux aussi superposés, donc égaux ?

@+

[EDIT]
Ah zut ! Je viens de voir que j'avais zappé la condition manquante : BC = B'C' !!!
Bon, ça confortait ma conclusion, mais ça ne me console pas !

On a déjà BC = B'C', donc MB = MB' et comme HM= H'M'.
On en déduit que HB = HB' puis grâce au th de Pythagore que AB = A'B' (triangles AHB et A'H'B' rectangles en H et H') et AC =A'C' (triangles AHC et A'H'C'' rectangles en H et H').
Ou alors sans Pythagore simplement parce que les angles $\hat A$ et $\widehat{H'}$ sont égaux coincé entre deux paires de côtés égaux : [HB] et [H'B'], [AH] et [A'H']. Cas d'égalité n°2...

ABC et A'B'C' ont trois côtés égaux chacun à chacun, ils sont égaux : 3e cas d'égalité...

Dernière modification par yoshi (22-05-2023 22:43:17)

yoshi · 23-05-2023 21:19:13

Re,

Ça m'a rappelé quelque chose de bien plus récent :

Construire en vraie grandeur le triangle rectangle RTS ci-dessus, en justifiant chaque étape de la construction, sachant que H est le pied de la hauteur relative au côté [RS] et I le milieu de celui-ci,TU = 4 cm et TI = 5 cm.
Calculer ensuite UI, RU, RT et TS (pour les deux dernières, donner les résultats arrondis à à 0,1 cm près.)

@+

Blubber · 24-05-2023 17:35:05

Intéressant ton petit exo ! J'arrive à ceci… bien que je ne sache pas trop ce que cela vaut !

Tout se justifie soit par construction soit à l'aide du théorème de Pythagore et de sa réciproque, néanmoins je ne suis pas satisfait de comment j'ai trouvé $\overline{RU}$… que je n’aie pu trouver qu'en "trichant" et en utilisant la règle. Il existe un moyen de le trouver convenablement ?

Dernière modification par Blubber (28-05-2023 12:24:08)

Bernard-maths · 24-05-2023 19:06:35

Bonsoir !

Ah, le triangle rectangle, plein de propriétés ...

Le milieu de l'hypoténuse est le centre du cercle circonscrit, entre autre(s) ...

Bonne soirée, B-m

Dernière modification par Bernard-maths (24-05-2023 19:07:46)

yoshi · 24-05-2023 20:05:48

B'soir,

Il existe un moyen de le trouver convenablement ?

En principe, tu l'as employé.
TUI c'est le célèbre triangle 3,4,5. Pythagore confirme : UI =3.
I milieu de l'hypoténuse [RS], [TI] médiane TI =RS/2, d'où RS =10 et RI=TI = 5 (th"orème médiane relative ç l'hypoténuse est de longueur moitié de celle de l'hypoténuse : RU = TI = 5
RI=RU+UI et donc RU =RI -UI = 5-3 = 2...

En Géométrie, j'ai bien mieux en stock (avoir gardé ses archives, ça sert !)

Un triangle ABC, non rectangle, est inscrit dans un cercle de centre O. Soient H le point d'intersection des hauteurs du triangle du triangle, D le point diamétralement opposé à A sur le cercle et M le milieu de [BC].
1. Montrer que les triangles ABD et ACD sont des triangles rectangles.
2. Par le point D, on trace la perpendiculaire à (AH) : on obtient le point E. Montrer que le point E est sur le cercle.
3. Démontrer que BDCH est un parallélogramme (Pensez aux côtés parallèles).
4. Montrer que M est le milieu de [HD].
5. En déduire que (BC) est la médiatrice de [HE], puis que E est le symétrique de H dans la symétrie d'axe (BC).

Celui-là était déjà pas mal, mais le suivant Brevet des Collèges de Bordeaux (1992) n'a pas dû beaucoup les faire rire... Il était long, le dessin à compléter devenait assez riche et s'ils n'avaient pas l'habitude de le coder avec les infos obtenues au fur et à mesure, ils se retroiuvaient vite largués vite largués. Je le trouve pa loin du niveau des anciens pb des Lebossé & Emery...

Comment faisait-on ? as-tu demandé...
Bin j'sais pas trop !
1. Tout le monde n'entrait pas au Lycée. Au CM2, si tu n'avais pas le passage en 6e, soit tu filais en Find d'Etudes 1 puis Fin d'Etudes 2 débouchant sur le Certificat d'Etudes Primaires, soit tu passais un exam. Les commissions d'appel, ça n'existait pas, 'me semble.
N-B : dédicace spéciale à mes pov' 3e qui se lamentaient :
4 ans dans ce bahut, vous imaginez ça ! Vivement qu'on s'en aille...
Je ricanais ouvertement en leur expliquant que à l'époque où le Collège n'existait pas, en principe on entrait au Lycée) en 6e pour en sortir (si pas d'accroc en route) 7 ans plus tard ! Quand je suis arrivé en Term, les Maths Sup - Maths Spé (Devise : S et KOH : tout un programme ! ^_^) on pouvait en reprendre pour deux ans ! Là, ils me regardaient les yeux exorbités... Grand sourire et j'ajoutais : et certains entraient au Lycée en 11e (CP, quoi), ils pouvaient en prendre pour 14 ans !
Et aux redoublants glandeurs qui chouinaient, je demandais : vous voudriez quitter le Collège le plus tôt possible ? Vous n'aimez pas ça hein ? Alors pourquoi faites-vous exprès d'y rester un an de plus ? A votre place, je bosserais pour être débarrassés le plus tôt possible !
Là, vous êtes dans la peau de celui qui n'aimerait pas les légumes de la cantine et qui en reprendrait ! Où est la logique ?

Bordeaux 1992
On considère un triangle ABC tel que BC = 8 cm et un point D de [AB] tel que $AD = \frac 1 3 AB$
La parallèle à (BC) passant par D coupe [AC] en E.
1. Calculer la valeur exacte de DE.
2. La bissectrice de l'angle $\widehat{ABC}$ coupe (DE) en F. Comparer les angles $\widehat{DBF}$ et $\widehat{DFB}$. En déduire la nature du triangle BDF.
3. On appelle J le milieu de [BF], et L le symétrique de D par rapport à J. Quelle est la nature du quadrilatère BDFL ? Démontrer que L appartient à la droite (BC).
4. Le cercle de diamètre [BL] recoupe (AB) en K. Quelle est la nature des triangles BJL et BKL ?
5. Les droites (BJ) et (KL) se coupent en H. Montrer que les droites (DH) et (BL) sont perpendiculaires.

Et puis, on était conditionnés dès la 6e : certains exos 6e ne feraient pas rire pas mal de 3e d'aujourd'hui...
Déjà que lorsqu'on rappelle des théorèmes ou des propriétés d'Algèbre de leur 5e, on les entend qui soupirent : Ouais... mais c'est loin !
Nous, on n'avait pas de choix : pour la plupart on avait nos parents sur le dos, les leçons devaient être sues par cœur (gare à celui qui ne les savait pas). Les exos pour les faire, il fallait régulièrement remettre le nez dans la leçon, se souvenir de celles passées et appliquer, appliquer. Pas possible de se tourner les pouces...

@+

Blubber · 24-05-2023 22:44:30

J'aime beaucoup l'exercice du brevet 92. Je vais donc m'y risquer.

Les droites $(BC)$ et $(DE)$ sont parallèles et coupent les droites $(AB)$ et $(AC)$, on a donc d'après le théorème de Thales
$$\frac{DE}{BC}=\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}$$
soit encore
$$\frac{DE}{BC}=\frac{AD}{AB}$$
or
$$AD=\frac{1}{3}AB$$
donc
$$\frac{DE}{BC}=\frac{AD}{AB}\iff\frac{DE}{BC}=\frac{\frac{1}{3}AB}{AB}\iff\frac{DE}{BC}=\frac{1}{3}\iff DE=\frac{1}{3}BC=\frac{8}{3}$$
Je vais pas mentir, j'ai eu du mal pour celle-ci. Puis j'ai eu un éclair de génie en me souvenant d'un truc que j'ai pas utilisé depuis la quatrième… les angles alternes-internes !
Les droites $(BC)$ et $(DE)$ sont parallèles et coupées par la sécante $(BF)$ donc les angles alternes-internes $\widehat{DBF}$ et $\widehat{CBF}$ sont égaux. Or $(BF)$ est la bissectrice de l'angle $\widehat{CBD}$ donc $\widehat{DBF}=\widehat{CBF}$. Enfin, un triangle étant isocèle si et seulement si deux de ses angles sont égaux, donc le triangle $BDF$ est isocèle.
Le point $J$ est par définition le milieu de $[BF]$, de plus, par construction $J$ est aussi le milieu de $[DL]$ donc le quadrilatère $BDFL$ est un parallélogramme. De plus, $(BF)$ est la bissectrice de l'angle $\widehat{CBD}$ par construction donc $BDFL$ est un losange.
(EDIT parce que j'ai fini par trouver): Le quadrilatère $BDFL$ est un parallélogramme donc $(BL)$ est parallèle à $(DF)$. De plus, $(DF)$ est parallèle à $(BC)$. On en déduit donc que $L$ est un point de $(BC)$.
Le quadrilatère $BDFL$ étant un parallélogramme, $(DL)$ est perpendiculaire à $(BF)$. $J$ étant le milieu de $[DL]$ et $[BF]$ on trouve que $(BJ)$ est perpendiculaire à $(JL)$, donc $BJL$ est un triangle rectangle en $J$.
Pour cette dernière question ainsi que la deuxième partie de la précédente, j'obtiens une figure qui n'est pas raccord… je ne sais pas trop quoi en penser, du coup.

Dernière modification par Blubber (24-05-2023 22:54:35)

Blubber · 24-05-2023 23:27:36

Oh ! Je crois que je ferais bien d'aller me coucher… x') Je viens de me rendre compte que le cercle est de diamètre (et non pas de rayon…) $[BL]$. Une si petite erreur et pourtant tant de conséquences. '_'

Dernière modification par Blubber (24-05-2023 23:27:53)

Blubber · 25-05-2023 14:39:35

Bon, j'ai refait la figure correctement et tout de suite ça fonctionne mieux !

Il me reste encore à finir les questions. x')

yoshi · 25-05-2023 15:44:10

Bonjour,

Je te propose mon dessin (réalisé avec GeoLabo de Fred et retouché via Photofiltre) sans copie avec smartphone :

Solution de Quel âge avez-vous ? demande un élève à son professeur...

▼Bestialement calculatoire

Puisque tu as l'air friand de Géométrie, bon appétit...
Une propriété sympa et méconnue de la bissectrice
On considère un triangle ABC quelconque. La bissectrice de l'angle $\widehat{BAC}$, coupe [BC] en L.
Indication (sinon, il faut y penser tout seul) : placer le point D intersection de la parallèle à (BL) passant par C et de la demi-droite [BA).
Montrer que $\frac{LB}{LC}=\frac{AB}{AC}$

@+

Blubber · 25-05-2023 17:33:33

Bonjour. ^^

En proposant ta version de la figure tu m'as incité à refaire la mienne au propre avec MetaPost, la voici donc

Quoi qu'il en soit, j'ai beau chercher, je n'arrive pas à finir la question 4.

Malgré cela, pour la 5. je pars du principe que $BKL$ est rectangle en $K$ comme on peut le voir sur la figure. On a donc $(BK)$ perpendiculaire à $(KL)$. On a aussi vu que $(BJ)$ et $(JL)$ sont perpendiculaires.
On se place donc dans le triangle $BDL$ où $(BJ)$ est la hauteur issue de $B$, $(LK)$ la hauteur issue de $L$. $(BJ)$ et $(LK)$ concourent en $H$ or toutes les hauteurs d'un triangle concourent en un même point donc $(DH)$ est la hauteur issue de $D$.
Finalement, comme la hauteur d'un triangle est perpendiculaire au côté opposé du point ont elle est issue, on en déduit que $(DH)$ est perpendiculaire à $(BL)$.

C'était un exo difficile en réalité. Je ne crois pas que je l'aurais réussi si j'avais dû passer cette épreuve. D'ailleurs j'ai dû tricher à deux trois endroits en piochant les définitions. ^^'

Tu dis que je suis friand de géométrie… et je crois que tu as raison. C'est plutôt étrange d'ailleurs car finalement je n'en ai quasiment jamais fait et c'est purement inutile, surtout comparé à la géométrie vectorielle qui règne en maître. Mais peut-être est-ce la raison pour laquelle cette discipline m'est très mystérieuse et m'attire ?

La solution de Quel âge avez-vous ? est assez dingue. Je me rends compte que j'ai encore beaucoup de mal à transformer des phrases du langage courant en équations algébriques. J'imagine qu'il n'y a pas grand-chose à faire hormis en travailler beaucoup ? Connaitrais-tu des ressources qui en proposent ? ^^

Enfin, je vais réfléchir à ton petit exercice sur les bissectrices.

Dernière modification par Blubber (27-05-2023 15:09:19)

yoshi · 25-05-2023 21:29:36

B'soir,

J'ai toujours soutenu que l'Algèbre c'était calculatoire et qu'en conséquence, elle demandait de maîtriser les techniques de calcul et peu de connaissances théoriques.
Par contre, lorsqu'il fallait juger de l'avenir de quelqu'un dans les Maths, mon juge de paix (à tort ou à raison) était exclusivement la Géométrie.
Ton souci pour la 4e question ne viendrait-il pas de l'oubli du théorème (ou la non-connaissance d'icelui) que les anciens programmes appelaient triangle inscrit dans un demi-cercle ?
Et qui maintenant s'énonce ainsi :
si un triangle ABC a le côté [BC] pour diamètre du Cercle et le sommet A sur le cercle alors le triangle est rectangle en A.
Démo de ce théorème :
On trace un cercle diamètre [BC] et de centre O et on met un point A (distinct de B et C) sur le cercle.
On place ensuite le point D diamétralement opposé à A.
On cherche la nature du quadrilatère ABDC.
O, centre du cercle est le milieu du diamètre. Par construction, D étant diamétralement opposé à A, il en résulte que [AD] est aussi un diamètre du cercle.
Donc le point O, centre du cercle est aussi le milieu du diamètre [AD] du cercle.
Les diagonales [AD] et [BC] du quadrilatère ABDC ayant le même milieu O ce quadrilatère est donc un parallélogramm.
Or, on sait que les diagonales [AD] et [BC] du parallélogramme ABDC sont deux diamètres du cercle et dont donc de même longueur : AD = BC.
Les diagonales [AD] et [BC] du parallélogramme ADBC étant de même longueur, il est en fait un rectangle

Or le rectangle ABDC a donc ses 4 angles droits et en particulier $\widehat{BAC}$.
Le triangle ABC ayant l'angle $\widehat{BAC}$ droit est donc rectangle en A.

(Au passage, note combien les démonstrations des théorèmes de Géométrie sont instructives...
La problématique de la Géométrie est qu'un théorème, une propriété traînent derrière eux, un coffre avec d'autres théorèmes, définitions, propriétés en rapport...
Ainsi la simple définition de la médiatrice peut être associée :
- à ce qui tourne autour de la notion de milieu
- à la propriété : Tout point appartenant a la médiatrice d'un segment est équidistant des extrémités d'un segment.
- sa réciproque
- au triangle isocèle (et donc aussi l'équilatéral)
- les théorèmes gravitant autour du triangle isocèle : médiatrice, médiane, hauteur relatives à la base, bissectrices de l'angle au sommet étant confondues.
- la réciproque : si dans un triangle l'une des lignes géométriques ci-dessus (tu choisis) est aussi confondue avec une autre de ces lignes ci-dessus (tu choisis) alors le triangle est isocèle.
- la notion d'axe de symétrie,
- les angles égaux...
etc
Et que tout ça tu n'as d'autre choix que de le savoir par cœur et savoir l'identifier sur le dessin.
J'ai dit savoir pas apprendre...
Je précisais à mes zouaves que jamais je leur dirai : tu n'as pas appris ta leçon, mais bien plutôt : te ne sais pas ta leçon.
Je me suis toujours refusé à apprendre mes théorèmes par cœur (comme une récitation) mais je me débrouillais pour les savoir par coeur et être capable de les voir sur un dessin...

Connaitrais-tu des ressources qui en proposent ?

Qui proposent quoi ? des exercices plus ou moins tordus ? Ca, j'ai ! J'ai stocké au fur et à mesure du temps qui passait, constituer une petite collection. J'ai aussi choisi ceux qui se prêtaient bien à l'analyse et au découpa en événements élémentaires ainsi que je le fais systématiquement depuis le début. Le "J'ai fois l'âge" demandait une analyse syntaxique assez fine des temps mais des calculs pas très pénibles.
Le "Quel âge avez-vous se séquençait assez simplement mais était "bestialement calculatoire" parce que réclamant une "virtuosité technique" que ne possèdent que très peu de 3e actuels.
Les Instructions des Inspecteurs en Collège commencent par
1. Ne pas donner d'exercices exigeant de la "virtuosité technique"
2. N'utiliser que des nombres "fréquentables".

Voilà ma vision des choses.
Lire attentivement l'énoncé en l'analysant pour en distinguer et pouvoir en écrire le séquençage.
Cette notion de séquençage pour moi est vitale. Dans les problèmes à système, c'est ce que j'ai fait et tu m'as, dit en gros, que c'était bien plus simple ainsi.
Sans analyse précise, pas de séquençage.
Voici un pb qui doit te permettre d'utiliser ce séquençage. Pas nécessaire d'utiliser un système.

Nicolas et Aurélien lisent le même livre, dans la même édition et tous les deux en 5 jours et chacun lit le même nombre de pages le 1er jour. Nicolas, lui, lit chaque jour, à partir du 2eme, 26 pages de plus que la veille. Aurélien, quant à lui, lit chaque jour, à partir du 2eme, le double du nombre de pages de la veille. Quel est le nombre de pages lues le 1er jour ? Combien y a-t-il de pages dans ce livre ?
Un piéton marche pendant 3 h 40 min. Il est alors pris en Stop par une voiture roulant à une vitesse égale aux 40/3 de ce qu'était la sienne et qui le dépose 10 min plus tard à 26,5 km de son point de départ. Quelle était la vitesse du piéton ? Celle de la voiture ? Quelles ont été les distances parcourues ? (Travailler en min et km/min !)

Dans un Lebossé, il y avait un chapitre qui montrait comment résoudre un exo de mise en équation en utilisant une inconnue dite auxiliaire.
Cette inconnue est "muette" et n'apparaît pas en tant que telle dans l'équation... Ici, la phrase en Italique est vitale pour définir l'inconnue auxiliaire, elle permet de savoir ce qui se cache derrière les points d'interrogation : ? = ?.
Sans elle, pas de signe = !!!

Cette phrase placée en début de texte soit interpeler quand on commence la lecture à fin d'analyse... Elle doit te pousser à te demander ce qu'elle fait là et ce qu'elle cache... J'aurais pu donner l'info de manière explicite, mais cela n'aurait pas été "drôle" pour un exo de 4e donné en DM. D'ailleurs, au lieu d'aller demander la solution de droite ou de gauche, ils avaient comme consigne de revenir vers moi ! Et moi, comme ici, je ne lâchais que, ce que j'étais disposé à lâcher quand j'avais sélectionné mes exos : que des soulignements de points-clés leur permettant de "lever les incompréhensions"...
Bien sûr, c'était moins rapide, un peu frustrant pour certains mais bien plus formateur...

Voilà, en vrac d'autres problèmes, pas trop difficiles mais originaux...

Un restaurateur possède des carafes de 2 contenances différentes. Les grandes carafes contiennent 25 cL de plus que les petites. Avec 10 litres de vin, il peut remplir exactement 5 petites carafes et 10 grandes. Quelle est la contenance de chaque type de carafe ?
Peut se faire avec une équation à une inconnue
Une somme de 106 € est constituée de 35 pièces ; il y a des pièces de 2 € et des pièces de 5 €. Combien y a-t-il de pièces de chaque sorte ?
Itou. Du temps des Lebossé, se faisait en 5e, sans l'algèbre : on appelait ça : problème de fausse supposition.
Un exemple au moins était traité/ expliqué dans la leçon, après il fallait se caler sur la méthode...
Dans une fête de bienfaisance, on a mis en loterie un tableau estimé à 3400 €. En vendant le billet 3 € on perdrait autant que ce que l'on gagnerait en le vendant 5 F. Combien y a-t-il de billets en vente ?
Inconnue auxiliaire. Les membres de l'équation s'identifient assez bien0
Séquençage s'ensuivant facilement...
Deux personnes possèdent actuellement, l'une 10000 F, l'autre 9020 F. La première économise chaque année 800 F et la deuxième économise elle 940 F. Dans combien de temps l'avoir des 2 personnes sera-t-il identique ?
Une personne dispose de 2 h pour faire une promenade. Elle part en tramway à la vitesse moyenne de 30 km/h et compte rentrer chez elle à pied, par le même chemin, à la vitesse de 6 km/h. A quelle distance de son point de départ doit-elle descendre du tramway ? Depuis combien de temps sera-t-elle déjà partie ?
nconnue auxiliaire. Equation à une inconnue.

Arrivé à ce stade, tu as dû t'apercevoir qu'il est possible de résoudre ce type d'exo avec un système et sans.
Oui, il y a bien 2 inconnues, mais l'une s'exprime facilement par rapport à l'autre, donc en fait on n'en utilise qu'une.
Cela revient à résoudre un système par substitution sans le savoir...

Hélas, je ne connais pas de compil de méthodes/techniques : s'y attaquer à serait une œuvre "impossible" à réaliser...

@+

Blubber · 26-05-2023 20:32:32

Bonsoir yoshi. :)

J'ai toujours soutenu que l'Algèbre c'était calculatoire et qu'en conséquences, elle demandait de maîtriser les techniques de calcul et peu de connaissances théoriques.
Par contre, lorsqu'il fallait juger de l'avenir de quelqu'un dans les Maths, mon juge de paix (à tort ou à raison) était exclusivement la Géométrie.

Cette deuxième phrase est je crois la plus intéressante pour un profane comme moi. Pourquoi donc considérais-tu exclusivement la géométrie afin de juger du potentiel mathématique d'une personne ?

Pour ce qui est du reste de ton long message (et c'est une qualité !). En effet, je ne connaissais pas ce théorème du triangle inscrit dans un demi-cercle. Pour tout te dire, cela ne m'évoque même pas un vague souvenir. D'un autre côté, il suffit de lire quelques livres de maths d'aujourd'hui pour comprendre que je n'y aie pas appris grand-chose au collège et au lycée. ^^' Je vais donc essayer de comprendre aussi bien le théorème que ta démonstration ce soir. :)

Au passage, note combien les démonstrations des théorèmes de Géométrie sont instructives...
La problématique de la Géométrie est qu'un traînent derrière elles, un coffre avec d'autres théorèmes, définitions, propriétés en rapport...
etc
Et que tout ça tu n'as d'autre choix que de le savoir par cœur et savoir l'identifier sur le dessin.
J'ai dit savoir pas apprendre...

C'est ce que j'ai cru desceller en feuilletant les Lebossé-Hémery, oui. Là où l'algèbre (et même l'analyse finalement) est assez linéaire (pas mal, hein ? xD) en ce sens que les propriétés découlent les unes des autres et ne semblent pas (au niveau licence du moins, je ne sais pas pour après) se "mélanger"

Je ne sais pas si je vais réussir à expliquer ce que je souhaite correctement mais ce que j'essaie de dire par là qu'un espace vectoriel découle d'une structure d'anneau, elle-même découlant d'une structure de groupe et qu'on ne verra pas de propriété des espaces vectoriels dans les groupes.

tandis qu'en géométrie j'ai plus la sensation d'une sorte de maillage organique des propriétés : une sorte de graphe, quoi.

Tu me dis que tu te refusais d'apprendre tes théorèmes par cœur mais tu te débrouillais pour les savoir par cœur. J'aimerais bien que tu m'en dises plus sur ta technique secrète car, je ne vais pas te mentir, elle m'intéresse ! ^^

---------------------------------------------------------------------------------------

Ce qui m'aurait intéressé est effectivement des exercices plus ou moins tordu de "mise en équation(s)" (? faute de meilleurs termes) de problèmes. Je m'en vais mettre en pratique tout ce que tu m'as déjà énoncé ici sur ces petits problèmes que tu m'as gentiment recopié. Merci encore, d'ailleurs pour tout ce temps que tu passes à me répondre. ^^

Dernière modification par Blubber (26-05-2023 20:34:43)

yoshi · 26-05-2023 23:27:47

Re,

Ma technique "secrète" était différente de la méthode classique d'apprentissage d'une leçon d'anglais ou de français (même si je n'ai pas essayé) mais surtout d'une récitation où il faut s'astreindre, à la lire à haute voix (ou pas) 2-3 fois puis d'essayer de répéter sans voir...
Là ça passe ou ça casse, si ça casse, on reprend la lecture pour mémoriser et on repart à essayer de réciter à haute voix...
Beaucoup d'élèves font comme ça pour les récitations, non ?
Et les parents en bout de course font réciter leurs récitations (et les leçons en général) de leurs enfants.

J'apprenais mes théorèmes avec des dessins : tout théorème, toute définition propriété, sont construits sur le même modèle binaire :
avant, après ; on plante le décor, on conclut...

Même J..Petit a ses BD construites de la même façon : un jeune aventurier des Maths théoriques, Anselme Lanturlu, bien sous tout rapport, curieux et n'hésitant pas à expérimenter finit par se trouver dans une situation qui l'interpelle et où il ne comprend pas ce qui se passe...
Arrive alors la charmante Sophie (Sophos, la sagesse en grec clin d'oeil de l'auteur), maillot une pièce, chaussée de lunettes rondes, arrive telle le zorro de mon enfance, dissipe les nuées, et explique tout...
A coté de ces deux là : une corneille avec un chapeau d'Oxford, un Pelican qui fume le cigare et qui commentent les réponses et un escargot nommé Tiresias (autre symbole clin d'oeil : Tiresias : devin aveugle de la ville de Thèbes) dont le rôle est celui d'être en avance sur son temps et soit de tirer des conclusions, voire de poser des questions qu'il ne devrai pas poser...
La 1ere Bd à lire est le Geometricon http://www.savoir-sans-frontieres.com/J … nloads.htm
Un jour, il y a bien longtemps, j'étais dans la boutique d'un copain libraire quand survient une maman désireuse de l'acheter pour son gamin de 10 ans (à l'époque les BD étaient publiées aux Ed. Belin).
Voyant mon pote embarrassé voulant dissuader la maman mais ne savait pas comment faire, je m'en suis mêlé en lui disant que moi, prof de maths j'avais eu du mal (la fin de la BD est consacrée aux espaces trimensionnels courbes !!). Réponse du tac au tac de la maman : mon fils est très intelligent, il comprend tout !... J'avais laissé tomber.)
J'avais conseillé cette Bd à un copain matheux du même bahut en le prévenant de ne pas le lire au coucher, s'il souhait trouver le sommeil...
Sourire entendu, tu comprends c'était qu'une BD...
Bin, il a testé et est venu ensuite exprimer sa surprise.
JP PETIT n'était pas n'importe qui : Astrophysicien, chargé de recherches au CNRS, Professeur aux Beaux Arts et de Micro informatique à la Fac de Montpellier, ses BD étaient le reflet de ses cours en images.
Il avait (et a toujours) le don de faire paraître simple ce qu'il expliquait mais BD terminée, lorsque tu essayais d'expliquer un point de la BD, tu te retrouvais souvent en train de te dire : euh... pas si simple en fait ! J'y retourne...

Revenons à nos moutons images de ton théorème :

Et j'ajoute qu'à chaque exercice, j'allais relire rapidement les théorèmes de la leçon : c'était "homéopathique".
Une récitation, ça s'apprend comme ça 3,2,1,0 départ... et on commence à vouloir reteni ligne après ligne en y revenant n fois ! C'est lourd...

Apprendre une leçon de maths comme ça, c'est totalement improductif : elle est où la compréhension.
Je disais à mes élèves :
je n'ai pas besoin de perroquets, si c'est pour vous entendre réciter par cœur en montrant que pour vous c'est du charabia, j'enregistre les théorèmes sur mon magnétophones, il sera aussi efficace que vous.
J'avais fait l'expérience en 4e : interro surprise, j'avais donné un théorème et demandé en retour deux dessins, avant et après... Un vrai carton !
Moi je voyais comme la preuve (en images !) administrée à certains qu'ils ne comprenaient rien à ce qu'ils lisaient, la majorité par manque d'intérêt...
Géométrie = Juge de paix. Pourquoi ?

Une démonstration ça ne s'improvise pas...
Les propositions s'enchaînent dans un ordre précis on utilise son énoncé et on extrait de sa mémoire, le théorème, définition, propriété... qui va bien et qui permettra de tirer une conclusion qu'on va rapprocher d'un autre élément de l'énoncé qui permettra de conclure...
Il y a les questions à 1 pas, 2 pas, 3 pas...
Plus il y a de pas, plus c'est complexe à résoudre...
1 pas : je donne un triangle avec 2 angles égaux et je demande la nature du triangle : c'est direct, immédiat...
2 pas : idem triangle ABC avec $\hat B$ et $\hat C$ dans demander la nature du triangle mais je fais tracer la bissectrice de l'angle Â qui coupe [BC] en M pour demander la nature de du triangle AMC...

4 pas : je ne pose pas de question sur la nature des triangles mais je donne AB et BC et je demande la longueur AM : ça aurait pu faire l'objet de 4 questions à 1 pas.
En Collège, on évite d'aller au delà de 2...
Une démo, c'est un organigramme....
C'est aussi une séance de rafting depuis la source jusqu'en bas.
Mais pour ce faire une technique consiste à partir d'en bas, (de la conclusion) pour retrouver le point de départ (l'énoncé) en mémorisant le chemin direct, sans les culs de sac éventuels.
Arrivé à la source, la phase d'analyse: recherche est terminée, votre embarcation vous attend, on s'y installe et on se lance das la pente, ce chemin à l'envers c'est la phase de rédaction de la démonstration...

Pas si facile à faire : il faut apprécier la matière, et savoir rejeter en phase montante toutes les découvertes (propriétés, conclusions qu'on n'a pas les moyens de justifier.
Répondre à une question n, ce n'est pas utiliser la conclusion ou les infos supplémentaires de la n+1 (c'est courant), parfois fait sciemment sinon en question n il faut être capable de s'en apercevoir et de ne pas utiliser la n+1, mais de se dire : zut ça c'est la n+1, je peux pas l'utiliser, fausse piste, voire de ne pas répondre d'abord à n+1 (si on peut) pour répondre ensuite à la n ce qui est peu ou prou la même chose...

Il ne faut pas vouloir répondre à la n+1 avant la n, ce qui demanderait des inventions(donc qui n'existent pas ou impossibles à montrer) ou des propriétés soit impossibles à justifier en Qn...

L'Algèbre en comparaison, c'est "bête et méchant", la réflexion est minimale, les procédures et techniques sont bien répertoriées, quantifiées....
Au moins en Collège/lycée les problèmes différents ne sont pas légions : il y a des squelettes qu'on habille différemment pour faire croire qu'ils sont différents...
Je me souviens avoir fait faire des problèmes supplémentaires à l'une de mes filles qui, un jour, pleine de larmes, s'était écriée :
mais ça sert à quoi de faire des problèmes supplémentaires ???... C'est jamais les mêmes !!!
Elle avait tort (sauf en Géométrie)...

@+

Dernière modification par yoshi (31-05-2023 21:41:31)

yoshi · 27-05-2023 21:06:41

Bonsoir;

Exemple de recherche de démo en partant de la conclusion et en remontant le courant.

| Cercle de centre O et [BC] diamètre
Hypothèses <| A est sur le cercle
| D diamétralement opposé à A

|
Conclusion <| $\hat A = 90°$

Peut-on se passer d'utiliser D ?
Oui, mais c'est un peu plus technique (plus long probablement) et il faut avoir un peu de maîtrise dans la remontée du courant pour se poser les bonnes questions...
Au brouillon (séance de Brainstorming)
Comment se passer de D ?.
La conclusion attendue est :
$\hat A=90°$
Pourquoi 90°?
$\hat A=180°/2$
Pourquoi 180°
$\hat A +\hat B + \hat C =180°$ (Propriété 6e)
Pourquoi $/2$ ?
$\hat A = \hat B +\hat C$
Pourquoi ?
$\widehat {OAB}=\hat B$ et $\widehat {OAC}=\hat C$
Pourquoi ?
tr OAB et tr OAC isocèles en O
Pourquoi ?
Je ne peux pas utiliser les angles, c'est la conclusion d'isocèles...
Les côtés ?...
OA = OB et OA = OC
Pourquoi ?
O est le centre du cercle et le milieu du diamètre [BC] et O étant le milieu de [BC] et B, O,C alignés alors OB = OA = OC = BC/2
----------------------------------------------------------------------------
Je suis arrivé aux hypothèses, je n'ai plus qu'à redescendre le courant...
Je mets "au propre".
Par hypothèse, B, A et C sont sur le cercle de centre O.
J'ai donc d'une part OB = OA = rayon et OC = OA = rayon
Le triangle BOA qui a 2 côtés [BA] et [BO] de même longueur est donc isocèle de sommet O
On en conclut que $\widehat{OAB}$ et $\hat B$, angles à la base de ce triangle isocèle sont égaux :
$\widehat{OAB} =\hat B$ (1)
On montrerait de même que le triangle OAC est isocèle de sommet A et que :
$\widehat{OAC} =\hat C$ (2)
O étant le milieu de [BC], la demi-droite[AO) zsr à l'intérieur de l'angle $\hat A$
N-B stricto sensu, au lieu d'angle, il faudrait parler de secteur angulaire $([OB),[OC))$
Alors :
$\hat A = \widehat{OAB}+ \widehat{OAC}$ (3)
On remplace dans cette égalité $\widehat{OAB}$ par $\hat{B}$ d'après (1) et $\widehat{OAC}$ par $\hat{C}$ d'après (2)
L'égalité (3) devient :
$\hat A = \widehat{OAB}+ \widehat{OAC}=\hat B + \hat C$ (4)

Or on sait que dans le triangle ABC : $\hat A+\hat B + \hat C=180°$
Grâce à l'égalité (4), on peut donc remplacer $\hat B + \hat C$ par $\hat A $
$\hat A+\hat A=180°$
$2\hat A=180°$
$\hat A=90°

Enjoy !

[EDIT]
N-B : Avant ce matin, utiliser le point D était la seule démo que j'avais déjà rencontrée de ce théorème.
Ce n'est qu'au moment de la rédiger en allant de bas en haut puis de haut en bas que je suis posé la question : et si je me passais du point D ? Histoire de faire vrai...
Tu as donc sous les yeux, un essai que je n'avais encore pas réalisé.

@+

Dernière modification par yoshi (31-05-2023 21:46:06)

Bernard-maths · 27-05-2023 22:34:15

Bonsoir à vous deux !

Si j'avais connu, et pratiqué l'origami, je l'aurais intégré(e) à certains exercices. Comme le proposent certains, dont je vous donnerai un lien plus tard ...

En attendant, voici un petit exercice "simplet" :

AVANT est un rectangle ABCD, longueur = 4 * largeur. E et F sont à un quart de la longueur.
1er PLI : on plie selon le segment [EF], on a un trapèze A'EFD'.
2ème PLI : on plie [FC] sur [FD'], on a un trapèze FGB'C'.
APRES : on constate que l'angle EFG vaut 90°.

ALORS, pourquoi ?

@ +, B-m

https://afdm.apmep.fr/rubriques/ouvertu … s-de-math/

Dernière modification par Bernard-maths (27-05-2023 22:37:28)

yoshi · 28-05-2023 17:29:56

Re,

@B-m
Sombre histoire d'angles et de bissectrices...

@Blubber
D'abord, on lit les énoncés en pensant séquençage...

▼Le livre

▼ Le piéton fatigué

Voilà (Lt Blueberry I presume ?) t'as encore un peu de grain à moudre....
Promis, je vais me modérer...

@+

Blubber · 31-05-2023 20:04:39

Bonsoir yoshi. Bonsoir Bernard-maths.
Je vois qu'en m'absentant quelques jours, j'ai déjà pas mal de contenu à lire. :)

Commençons par le message de Bernard-maths, si vous le voulez bien.
Je ne suis pas certain de ma réponse mais les plis sont tels que $(FC')$ est la médiane en $F$ du triangle obtenu. Je me suis posé la question du "pourquoi" et je dirais que c'est dû fait que les points $E$ et $F$ sont choisis comme étant au quart des largeurs. C'est ce qui fait qu'en réalisant le premier pli, la sécante $[F,D']$ passe par le milieu de $[A,B]$. Le deuxième pli suivant ce segment $[F,D']$ on se retrouve bien forcément (bien que je ne sache pas mieux l'expliquer) par passer par la médiane en $F$ du triangle.
J'avoue malgré tout ne pas trop savoir expliquer pourquoi on obtient un triangle rectangle à la fin.

Poursuivons avec yoshi (d'ailleurs, ne t'inquiète pas, tu n'as pas besoin de te modérer ^^) bien que je pense avoir besoin d'encore un peu de temps pour assimiler tout ce que tu as écrit !
Quoi qu'il en soit, tu me diras si je me trompe mais j'ai l'impression que ta "technique secrète" s'apparente en quelque sorte à refaire le cours toi-même, c'est bien ça ? En tout cas, c'est ce que cela m'inspire. Chaque "pas" où question que tu te poses te fais avancer, ou reculer c'est selon… disons donc "remonter de fil en aiguille", un peu plus dans la leçon jusqu'à finalement aboutir à une démonstration.
L'exemple que tu m'as donné dans le message #20 est d'ailleurs assez parlant à ce sujet.
Pour ce qui est du séquençage des énoncés, je crois que je commence à comprendre et à nouveau ce petit côté visuel avec la réalisation de tableau me plait bien. Ça permet une mise en forme de l'énoncé et ainsi que de perdre du temps au début pour en gagner par la suite dans la compréhension de celui-ci. Je pense que c'est le fait que je saute systématiquement ce genre d'étape (après tout, je suis meilleur que tout le monde :p) qui produit en moi ces difficultés qui finalement, en te lisant, ne semble pas réellement en êtres.

Notez tous les deux que je vais 1) continuer d'essayer de trouver pourquoi $\alpha=90°$ et 2) décortiquer un petit peu plus les longs mais très instructifs au demeurant, messages de yoshi. :)

Merci encore pour tous ces messages en tout cas ! Même si je ne réponds pas forcément "tout de suite" je continue de les lires quoi qu'il arrive. :)

Dernière modification par Blubber (31-05-2023 20:04:54)

yoshi · 31-05-2023 23:04:04

Bonsoir,

Rapidement...
Je n'ai jamais rencontré personne qui se propose de faire une démonstration en procédant comme moi. J'ai toujours été "gêné" de partir de l'énoncé pour aller à la conclusion : si la démo comprend plusieurs pas, je trouvais que c'était loin d'être évident, que ça demandant une certaine maîtrise et un certain sens de l'anticipation.

Avec ma méthode (atypique, je le le concède) partant de la conclusion, je n'ai que des pourquoi et à chercher ce que qui a bien pu permettre en 1 pas, ladite conclusion : on s'y fait rapidement et seulement ensuite, on peut être capable de faire directement la descente...

Me refaire les leçons à ma façon ? Peut-être, oui.
Tiens, une anecdote (je ne connais pas d'autre cas comme le mien). Une année, j'avais été particulièrement excéder d'entendre nombre d'élèves dans une classe de 5e me répéter la même antienne :
C'est normal que vous sachiez faire : vous êtes prof de maths !
J'avais riposté en leur disant : << Vous n'avez l'impression de prendre les choses à l'envers ? Si je suis prof de maths, c'est ce que je savais faire. Pas le contraire...
Puis , après une pause pour les laisser digérer, j'avais ajouté :
Je vais faire un pari avec vous : je vais vous montrer que si on sait apprendre et qu'on veut comprendre, on est capable d'apprendre n'importe quoi. Je les regardais bien en face, avec un petit sourire en coin, comme si c'était une bonne blague....
Je les voyais chercher où je voulais en venir, incapables de savoir si c'était du lard ou du cochon...
Alors, j'avais repris :
<< Quand j'étais Lycéen, je n'ai jamais appris le Latin. Un certain nombre d'entre vous vont choisir l'option Latin l'an prochain, alors je vais redevenir un élève parmi les élèves et si votre prof de Latin accepte et que l'horaire le permet, je m'assiérai avec vous, je suivrai vos cours, ferai les mêmes exercices et les mêmes interros...
Lais attention ! Si je m'aligne avec vous, ce ne sera pas pour vous regarder devant moi... mais derrière moi ! >>
Stupéfaction et incrédulité prédominaient. A partir de là, les rouspétances avaient diminué...
A la pré-rentrée de septembre, je vois que j'étais le prof de maths de la 4e qui comptait le maximum de latinistes, je compare mon emploi du temps avec celui de la prof de Latin : 1 h coïncidait, et j'ai eu son accord... Dans les deux jours qui ont suivi, deux de mes anciens, sont venus me trouver : << Monsieur ? Et votre promesse ? on n'a pas oublié... >>
Réponse : << Moi non plus ! Je serai avec vous, dès lundi prochain ! >>... Surprise ! Ils avaient cru à des paroles en l'air.
Il y avait deux 4e latinistes et ils avaient un horaire commun (2 h/sem) pour être réunis...
Ca devait 25/26 latinistes (je ne me souviens plus, ça doit remonter entre 1984 à 1988).
La vérité m'oblige à dire que 3 ou 4 étaient souvent meilleurs que moi, mais j'avais acquis leur respect et aucunbe de mes classes n'avait plus chouiné...
Mieux ^_^
Un jour, les deux du début sont venus me trouver, ne doutant de rien, en me disant :
<< Monsieur, on avait des exercices de Latin pour aujourd'hui, mais on avait trop de travail, on n'a pas pu les faire !... Mais on sait que vous vous les avez faits, vous pouvez nous les passer ? >>
Je les ai éconduis gentiment avec une petite leçon de morale moqueuse.
Mn dimanche entier était consacré au Latin, j'apprenais la leçon, seul en avance et faisait TOUS les exercices du chapitre, puis les donnais à corriger à ma Collègue...
Cette année-là au moins, dans mes classes, j'avais eu une paix royale...
Le dimanche donc, il fallait que je sois efficace, j'apprenais donc mes leçons à ma façon avec des méthodes mi-bricolo, mi maths/programmation (j'avais programmé en Basic un prog de conjugaison, tous temps tous modes, voix active, voix passive, forme pronominale, incollable. De plus j'avais eu besoin de 3 mois trouver en 6 lignes une astuce permettant au programme de déterminer de lui-même, si un verbe en "ir" était du 2e ou du 3e groupe, donc sas de liste exhaustive de verbes comme dans le Bescherelle. Il était rapide parce que plein de calculs) afin de me faciliter la tâche...
N-B : j'ai encore les dq et l'ordi en état de marche et donc aussi le prog...
Les recherches et les astuces pour gagner de la vitesse et de place (l'ordi était à disquettes, double face de capacité 180 ko chacune et 2 banques de RAM de 64 ko chacune, dont l'une réclamait des méthodes pour y accéder auxquelles je ne comprenais rien) m'avaient aidé à planifier cet apprentissage du Latin...

Tu comprends mieux mon : Me refaire les leçons à ma façon ? Peut-être, oui. ?

@+

[Edit] Pas si rapidement que ça, en fait...

Dernière modification par yoshi (31-05-2023 23:07:37)

Blubber · 01-06-2023 12:46:06

yoshi a écrit :

Bonsoir,
Rapidement...
[…]
[…]
[…]
[…]
[…]
[Edit] Pas si rapidement que ça, en fait...

Je t'avoue, ça m'a fait un peu rire. :')

Cette anecdote des cours de latin que tu as pris est assez époustouflante ! Tu m'étonnes que tu as dû avoir la paix. ^^ ça a bien dû leur clouer le bec ! D'autant que tu devais avoir la quarantaine et que ça ne devait pas être aussi simple que pour eux. l'anecdote dans l'anecdote des élèves qui voulais en plus que tu leur files la solution aux exos, c'est du petit lait ! Pensaient-ils sérieusement qu'un prof allait autoriser ça ? Surtout que sur 25 aux élèves, ils avaient largement de quoi demander à d'autres !
Du coup je comprends mieux, effectivement. C'est assez unique comme manière de faire et cela, conjointement à ce message que je viens aussi juste de relire, me fait me poser certaines questions complémentaires. Combien de sources utilisais-tu ? Annotais-tu les livres que tu utilisais ? Si oui comment ? Ou bien notais-tu des choses sur des feuilles à part ? Si oui quoi ? Etc. ^^

PS. Je me lance de la lecture du Geometricon, vais-je regretter à ce point ? x')

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