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bestcomboo

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inégalité d'un déterminant ENS

Bonjour,

j'essaie de résoudre un exercice donné aux oraux ENS pour la sélection internationale.
Le voici:
on se donne [tex] (a_1, ... ,a_n) \in \mathbb{C}^n[/tex] et a priori [tex]n[/tex] matrices complexes de tailles [tex]n \times n[/tex] qui ont pour propriété d'être positive semi-definite (je connais pas le nom en français désolé) mais c'est équivalent à pour toute matrice [tex]x \in \mathbb{C}^n[/tex], on ait [tex]x^{*}A_{i}x \geq 0[/tex]. Et du coup on doit montrer que
[tex]det(|a_1|A_1 + ... |a_n| A_n) \geq |det(a_1 A_1 + ... + a_n A_n)|[/tex]
Je sais pas vraiment commencer, mais j'ai essayé avec n=2 et ça marche plutôt bien. D'ailleurs l'énoncé est je trouve pas très clair sur la taille des matrices on sait juste qu'il y'a le même nombre de coeff [tex]a_i[/tex] que de matrices et rien sur la taille des matrices genre si c'est [tex]n[/tex] ou un autre entier naturel, ici j'ai supposé que c'était n.

Pourriez-vous me donner un indice?

Merci beaucoup!

Dernière modification par bestcomboo (18-05-2023 10:18:08)