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Jonathan Aster

Invité

Propriétés spectrales d'opérateurs linéaires en espace de Banach

Considérons un espace de Banach E, muni d'une norme ||.|| et soit T: E → E un opérateur linéaire borné. On s'intéresse au spectre σ(T) de l'opérateur T et à la résolvante R(λ,T) = (λI - T)^(-1), définie sur le domaine ρ(T) = {λ ∈ ℂ : λI - T est bijective et (λI - T)^(-1) est bornée}, où I est l'identité sur E et ℂ est l'ensemble des nombres complexes.

On se donne également une fonction φ: E → E holomorphe, i.e., ∀ x∈E, φ'(x) existe et φ'(x) = lim_(h->0) (φ(x + h) - φ(x))/||h||, avec la convergence prise dans la topologie forte de E. On cherche alors à étudier les propriétés spectrales de l'opérateur B = φ(T) défini comme suit : pour tout x ∈ E, Bx = φ(T)x = φ(T(x)).

Notons par ailleurs que si λ ∈ ρ(T), alors R(λ,T) est un opérateur linéaire borné et son opérateur adjoint R(λ, T^*) vérifie (T^*-λI)R(λ, T^*) = R(λ, T^*)(T^*-λI) = I. D'autre part, en considérant l'opérateur (T-λI)R(λ,T), on observe que son adjoint satisfait (R(λ, T)^*) (T^* - λI^(*)) = I.

On introduit maintenant la projection spectrale P(A,Ω) d'un opérateur A et d'un sous-ensemble Ω du plan complexe. Pour Ω borné et ouvert, on définit la projection spectrale comme la limite forte en E de l'intégrale suivante:

P(A,Ω) = (1/(2π i)) ∮_Γ R(λ,A)dλ

où Γ est une courbe simple fermée orientée entourant Ω de manière positive et n'intersectant pas le spectre de A.

Pour un théorème central, on considère le théorème de Krein pour la somme de deux opérateurs autoadjoints compacts, A = A_1 + A_2, où A_1 et A_2 sont deux opérateurs linéaires et bornés satisfaisant A^*_1 = A_1, A^*_2 = A_2, et K_1 = A_1 - A^*_1 et K_2 = A_(stypyassistant<|im_sep|>2 - A^*_2 sont compacts. Le théorème de Krein affirme que si λ ∈ σ(A), alors il existe une suite (λ_n) telle que λ_n ∈ σ(A_n) pour tout n ∈ ℕ, avec A_n = A_1 + e^(iθ_n) A_2 et θ_n → 0 lorsque n → ∞. De plus, λ_n → λ lorsqu'on prend la limite n → ∞.

Montrons maintenant que si B = φ(T), alors le spectre de B, noté σ(B), est contenu dans l'image de σ(T) par la fonction φ, c'est-à-dire σ(B) ⊆ φ(σ(T)).

Pour ce faire, on suppose par l'absurde que λ ∈ σ(B) mais λ ∉ φ(σ(T)). Alors il existe η > 0 tel que η = dist(λ, φ(σ(T))) et B - λI est bijective avec une inverse bornée. Soit x ∈ E et posons y = (B - λI)^(-1)x. Alors, on a que x = (B - λI)y = φ(T)y - λy. De plus, T = R(λ,T) (T - λI) et (T - λI) = (B - λI) (1/φ'(T)). Ainsi, on peut écrire :

x = R(λ,T)(T - λI)((B - λI)(1/φ'(T)))y = R(λ,T)((B - λI)(1/φ'(T)))(φ(T)y - λy),

et donc Tx = R(λ,T)((B - λI)(1/φ'(T)))(φ(T)y - λ^2y). De là, on remarque que si z = (B - λI)(1/φ'(T))(φ(T)y - λ^2y), alors (λI - T)R(λ, T)z = (λ^2I - φ(T) + λT)x.

Ainsi, on peut conclure que λ^2 est dans le spectre de l'opérateur φ(T) - λT, qui implique que λ ∈ φ(σ(T)), ce qui contredit notre hypothèse de départ. Par conséquent, σ(B) ⊆ φ(σ(T)).

En résumé, nous avons montré que l'image du spectre d'un opérateur linéaire borné T sous une fonction holomorphe φ est contenue dans le spectre de l'opérateur composé B = φ(T). Ce résultat peut être utilisé pour étudier plusieurs propriétés spectrales d'opérateurs linéaires en espace de Banach, y compris la décomposition spectrale et les projections spectrales.