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a83000

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converge dans L2 selon un paramètre

Bonjour voici le sujet
Soit $E=L^2(\mathbb{R})$ muni de sa topologie usuelle. Soit $\alpha>0$ et $\left(p_n\right)_{n \in N \text { - la suite de }}$ $E$ définie par
$$
\varphi_n=\frac{n^{3 / 2}}{n^{2 \alpha}+x^2}
$$
2) Donner, en le justifiant les valeurs de $\alpha$ pour lesquelles la suite $\left(\varphi_n\right)_{n \in v^*}$ vers $0_E$.
3) Donner, en le justifiant les valeurs de $\alpha$ pour lesquelles la suite $\left(\varphi_n\right)_{n \in N \text {. ne converge pas }}$ faiblement vers $\theta_E$.

j'ai repondu a la 2
Pour montrer que la suite $(\psi_n)$ converge fortement dans $L^2(\mathbb{R})$ vers $\theta_{L^2(\mathbb{R})}$, c'est-à-dire que $\|\psi_n - \theta_{L^2(\mathbb{R})}\|_{L^2(\mathbb{R})} \to 0$ quand $n \to \infty$, où $\theta_{L^2(\mathbb{R})}$ est l'élément neutre de l'espace $L^2(\mathbb{R})$, on peut procéder comme suit:

$$
\begin{aligned}
\|\psi_n - \theta_{L^2(\mathbb{R})}\|_{L^2(\mathbb{R})}^2 &= \int_{-\infty}^{\infty} |\psi_n(x) - 0|^2 dx \\
&= \int_{-\infty}^{\infty} \frac{n^3}{(n^{2\alpha}+x^2)^2} dx \\
&= \frac{n^3}{n^{4\alpha}} \int_{-\infty}^{\infty} \frac{dx}{(1+(x/n^{\alpha})^2)^2} \\
&= \frac{1}{n^{3\alpha-3}} \int_{-\infty}^{\infty} \frac{du}{(1+u^2)^2}, \quad \text{avec } u=x/n^{\alpha} \\
&\leq \frac{1}{n^{3\alpha-3}} \int_{-\infty}^{\infty} \frac{du}{1+u^2} \\
&= \frac{\pi}{n^{3\alpha-3}},
\end{aligned}
$$
où l'on a effectué le changement de variable $u=x/n^\alpha$ et utilisé l'inégalité $(1+u^2)^2 \geq (1+u^2)$ pour obtenir la dernière inégalité.

Comme $\alpha > 1$, on a $3\alpha-3 > 0$, et donc $\frac{\pi}{n^{3\alpha-3}} \to 0$ quand $n \to \infty$. Par conséquent, $\|\psi_n - \theta_{L^2(\mathbb{R})}\|_{L^2(\mathbb{R})} \to 0$ quand $n \to \infty$, ce qui montre que la suite $(\psi_n)$ converge fortement dans $L^2(\mathbb{R})$ vers $\theta_{L^2(\mathbb{R})}$.

mais je bloque a la 3

Fred

Administrateur

Inscription : 26-09-2005

Messages : 7 352

Re : converge dans L2 selon un paramètre

Bonjour,

  D'abord, je pense que pour la première question, tu dois démontrer qu'il y a convergence si et seulement $\alpha>1,$
ce qu'on peut déduire de la quatrième égalité que tu as écrite.
Avec cette quatrième égalité, on peut aussi démontrer que la suite ne converge pas faiblement si $\alpha<1,$
puisque dans ce cas la suite des normes tend vers $+\infty$ et qu'une suite faiblement convergente est bornée.
Il reste le cas $\alpha=1.$ Dans ce cas, ta suite est bornée. Comme la boule unité de $L^2$ est compacte pour la topologie faible, il suffit pour prouver la convergence faible que la seule valeur d'adhérence possible de ta suite est $0.$
Or, la convergence faible dans $L^2$ entraîne la convergence presque partout, et ta suite converge presque partout vers $0.$ Il ne reste plus grand chose à faire pour conclure.

F.

Glozi

Invité

Re : converge dans L2 selon un paramètre

Bonjour,
Je suis d'accord avec ton message Fred, mais sur la fin il me semble que la convergence faible dans $L^2$ n'implique pas l'a convergence presque partout (ni l'existence d'une sous suite qui cv presque partout d'ailleurs). Dans mes souvenirs, c'est la CV forte qui entraine l'existence d'une sous suite qui cv presque partout.

En revanche si $u_n(x)= e^{inx}$ alors $u_n$ converge faiblement vers $0$ (Riemann Lebesgue par exemple), cependant je vois mal une sous suite de $u_n$ converger presque partout vers $0$ (puisque $|u_n(x)|=1$ pour tout $x$ et pour tout $n$).

Cependant pour le cas qui nous intéresse, ce qu'on peut dire c'est que si $f_n$ converge faiblement vers $f$ et si $f_n$ converge presque partout vers $g$ alors $f=g$ presque partout, ce qui permet de conclure avec la compacité comme tu l'as dis.

Sauf erreur,
Bonne journée

Fred

Administrateur

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Messages : 7 352

Re : converge dans L2 selon un paramètre

Bonjour Glozi,

  Tu as bien sûr raison!!!

F.