Forum de mathématiques - Bibm@th.net

SebH37

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somme(tan(1/n+k))

Bonjour,
Je vais préparé l'agreg interne apres 25ans sans maths universitaire...
En reprenant mes vieux bouquin je sèche sur un exercice p19 "Intégration" André Gramain edition 1994:

"Ex2 : on nous fait démontrer que si [tex]f:[a;b]\to R[\tex] est aune fonction intégrable au sens de Riemann, on a:

[tex]\displaystyle\frac1{b-a}\int_a^b{f(t)dt}=\lim_{n \to +\infty}{\frac1n\sum_{k=1}^n f(a+k\frac{b-a}n)}[/tex]. "

Ex3 En utilisant l'exercice précédent, trouver les limites, lorsque [tex] n \to +\infty[/tex], des quantités suivantes:
Pas de problème pour
a) [tex]\displaystyle\frac1n\sum_{k=1}^n\tan\frac kn[/tex]
b) [tex]\displaystyle\sum_{k=1}^n\frac n{n²+k²}[/tex]

en revanche là, je bloque...
c) [tex]\displaystyle\sum_{k=1}^n\tan\frac1{n+k}[/tex] , je sais que le résultat est ln(2).

Je m'obstine a trouver un solution qui n'utilise ni la formule de Taylor, ni une approximation.

Je suis preneur de pistes pour faire apparaître le 1/n devant la somme. J'ai tenté sans succès des formules tan(a+b) . f(x)=tan(1/x)... faire apparaître ln(cos(x)+1) quelque part car j'espère un résultat ln(2).

Merci pour votre aide, je ne suis pas pressé mais ça me travaille depuis plusieurs jours...

Sébastien
P.S. n'hésitez pas à me tutoyer, c'est plus simple.

Dernière modification par SebH37 (30-04-2023 13:47:04)

Michel Coste

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Re : somme(tan(1/n+k))

Bonjour,

Je m'obstine a trouver un solution qui n'utilise ni la formule de Taylor, ni une approximation.

Pourquoi t'obstines-tu à ne pas prendre la voie à suivre pour trouver une somme de Riemann qui converge bien vers [tex]\int_1^2 \dfrac1x\,dx[/tex] ?

SebH37

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Re : somme(tan(1/n+k))

Bonjour,

Je m'obstine a trouver un solution qui n'utilise ni la formule de Taylor, ni une approximation.

Pourquoi t'obstines-tu à ne pas prendre la voie à suivre pour trouver une somme de Riemann qui converge bien vers [tex]\int_1^2 \dfrac1x\,dx[/tex] ?

Bonsoir Michel,
Merci, je vais continuer à creuser mais j'ai bien peur qu'il n'y ait pas d'autre manière.

Mon obstination vient de l'énoncé qui demande d'utiliser l'ex2.
J'essaie donc de retrouver ma fonction [tex]f[/tex] via la trigo. Selon moi, utiliser taylor dénature l'objectif de l'exercice.

C'est peut être mes réflexes de prof du secondaire qui dénaturent ma pensée... le c) à tellement rien à faire là...

Zebulor

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Re : somme(tan(1/n+k))

Bonjour,
on pourrait rajouter : [tex]\displaystyle\sum_{k=1}^n\frac1{n+k}[/tex]

Michel Coste

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Re : somme(tan(1/n+k))

Mais bien sûr qu'on va utiliser l'exercice 2 ! On va utiliser Taylor pour se ramener à une belle somme de Riemann (celle qu'à écrite Zebulor), à laquelle on applique l'exercice 2. Le c) a tout à fait sa place ici, même si ce n'est pas une application directe de l'execice 2 comme le a) et le b) ; il demande une petite manip pour appliquer le résultat de l'exercice 2.

Dernière modification par Michel Coste (01-05-2023 15:42:27)

SebH37

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Re : somme(tan(1/n+k))

Mais bien sûr qu'on va utiliser l'exercice 2 ! On va utiliser Taylor pour se ramener à une belle somme de Riemann (celle qu'à écrite Zebulor), à laquelle on applique l'exercice 2. Le c) a tout à fait sa place ici, même si ce n'est pas une application directe de l'exercice 2 comme le a) et le b) ; il demande une petite manip pour appliquer le résultat de l'exercice 2.

Merci, c'est juste que Taylor est abordé 13 exercices plus loin donc je voulais être sûr de ne pas passer à côté d'autre chose. Tout cela est très très loin au fond de ma mémoire...

SebH37

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Re : somme(tan(1/n+k))

Merci pour votre aide. J'en reste à Taylor qui donne une réponse simple et rapide au problème.

Zebulor

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Re : somme(tan(1/n+k))

re,
tu peux déjà avoir une idée intuitive du résultat compte tenu de cette limite, sachant que $tan(x) \overset{0}{\sim} x$

Michel Coste

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Re : somme(tan(1/n+k))

J'en reste à Taylor qui donne une réponse simple et rapide au problème.

Peux-tu expliquer comment ? Ça demande tout de même un peu de précautions.