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ConKarn

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Variance d'une fonction autocorélée

Bonjour!

Je m'excuse d'avance si les termes ou les notations que j'utilise sont abusives ou fausses (dites moi si il y a des erreurs), je viens de la biologie initialement, donc mes bagages en mathématiques sont relativement "légers". Je suis entrain de construire un modèle mathématique, mais je butte sur un calcul qui me serait pourtant utile.

J'aimerai calculer cette Variance:

[tex] Var( \int_{0}^{\tau} c sin(\alpha)(v_{y_0} + \int_{0}^{t} \epsilon_y(s) ds ) p(t) dt ) [/tex]

avec: [tex] \tau \in [0,+\infty[ [/tex], le "temps total de déplacement" fixé.
         [tex] \alpha \in ]0, 2 \pi [ [/tex] un angle fixé different de 0
         [tex] c \in \Re [/tex] fixé
         [tex]v_{y_0} \in [0, + \infty [ [/tex] une vitesse initiale fixée
         [tex] p [/tex] une fonction continue bornée dans [0,1] sur l'intervalle [tex][0, \tau][/tex]
         [tex] \epsilon_y(s)  [/tex]  , est la réalisation d'une variable aléatoire suivant une loi normale centrée, et de variance [tex] \sigma^2  [/tex], (chaque [tex]\epsilon_y(s)[/tex]  sont indépendants les uns des autres (tirés de variables aléatoires indépendantes entre elles).

Premièrement,

[tex] Var( \int_{0}^{\tau} c sin(\alpha)(v_{y_0} + \int_{0}^{t} \epsilon_y(s) ds ) p(t) dt )  = Var( \int_0^{\tau} csin(\alpha)v_{y0}p(t)dt ) + Var( \int_0^{\tau} csin(\alpha)p(t)(\int_{0}^{t} \epsilon_y(s) ds ) dt) [/tex]
[tex]= 0 + Var( \int_0^{\tau} csin(\alpha)p(t)(\int_{0}^{t} \epsilon_y(s) ds ) dt)[/tex] puisque [tex] \int_0^{\tau} csin(\alpha)v_{y0}p(t)dt [/tex] est une constante, donc de variance 0

Il ne me reste plus qu'à calculer  [tex]Var( \int_0^{\tau} csin(\alpha)p(t)(\int_{0}^{t} \epsilon_y(s) ds ) dt)[/tex], mais ici il y a un problème car pour deux [tex] (t_1, t_2) \in [0,\tau]^2 [/tex] avec [tex]t_1 < t_2 [/tex] donnés, [tex] \int_0^{t_1} csin(\alpha)p(t)(\int_{0}^{t} \epsilon_y(s) ds ) dt[/tex]  et  [tex] \int_0^{t_2} csin(\alpha)p(t)(\int_{0}^{t} \epsilon_y(s) ds ) dt[/tex] ne sont pas indépendants.

Je ne peux donc PAS continuer en concluant: 
[tex]Var( \int_0^{\tau} csin(\alpha)p(t)(\int_{0}^{t} \epsilon_y(s) ds ) dt) = \int_0^{\tau} Var(csin(\alpha)p(t)(\int_{0}^{t} \epsilon_y(s) ds )) dt = \int_0 ^{\tau} ( \int_0^t Var(csin(\alpha)p(t)\epsilon_y(s)ds) dt [/tex]
[tex] = \int_0^{\tau} ( \int_0^t c^2 sin^2(\alpha)p(t)^2 \sigma^2 ds ) dt   =  \int_0^{\tau} (  c^2 sin^2(\alpha)p(t)^2 \sigma^2 t ) dt 
= c^2 sin^2(\alpha)\sigma^2 \int_0^{\tau} t p(t)^2 dt [/tex] qui est facile à calculer.

Cette indépendance m'empêche de continuer comme ci dessus, est ce que quelqu'un à une idée pour m'aider?
Merci d'avance et bonne journée!

Dernière modification par ConKarn (16-04-2023 11:12:07)

Glozi

Invité

Re : Variance d'une fonction autocorélée

Bonsoir,
Tes notations me semblent très bien :)

Le problème avant de calculer la variance, c'est de voir si ton objet est correctement défini. En effet, quel sens donné à $\int_0^t \epsilon_y(s)ds$ ? Quelle est l'intégrale utilisée ? Si tes $\epsilon_y(s)$ sont indépendantes pour chaque $s\in [0,t]$ alors je ne sais même pas si $s\mapsto \epsilon_y(s)$ est intégrable (au sens de Lebesgue par exemple). Et même s'ils le sont, alors on peut voir que quelque soit l'intervalle $I$, presque surement on a : $\int_I \epsilon_y(s)ds=0$, concept pas vraiment intéressant je trouve...

Je regarderais quelque chose en rapport avec les processus stochastiques continus (ex : mouvement Brownien) et certainement que le bruit blanc (mathématique) pourrait t’intéresser cf :
https://en.wikipedia.org/wiki/White_noi … hite_noise
pour un début de piste.
Bonne soirée

ConKarn

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Re : Variance d'une fonction autocorélée

Bonsoir, merci beaucoup pour la réponse!
Oui, en effet quelque chose ne va pas dans ma définition de mon bruit continu, je vais me pencher sur la question, merci pour le début de piste! Je serai peut être bientôt de retour avec d'autres questions quand j'en saurai un peu plus ;)