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Blubber

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Classes d'équivalences d'une relation

Bonjour,
Je coince sur un petit exercice pourtant pas bien dingue :

On considère la relation $\mathcal{R}$ de $\mathbb{N}\times\mathbb{N}$ définie par $(x,x')\mathcal{R}(y,y')\iff x+x'=y+y'$.
Démontrer que c'est une relation d'équivalence. Quelles sont les classes d'équivalences ?

Si je ne me trompe pas $\mathcal{R}$ est

• réflexive: pour tout $(x,x')\in\mathbb{N}\times\mathbb{N}$ on a $x+x'=x+x'$

• symétrique: pour tous $(x,x')\in\mathbb{N}\times\mathbb{N}$ et $(y,y')\in\mathbb{N}\times\mathbb{N}$ on a $x+x'=y+y' \implies y+y'=x+x'$

• transitive: pour tous $(x,x')\in\mathbb{N}\times\mathbb{N}$, $(y,y')\in\mathbb{N}\times\mathbb{N}$ et $(z,z')\in\mathbb{N}\times\mathbb{N}$ on a $(x+x'=y+y' \text{ et } y+y'=z+z')\implies (x+x'=y+y'=z+z')$ soit $x+x'=z+z'$

c'est donc bien une relation d'équivalence.

En revanche je n'arrive pas à visualiser ce que sont ses classes d'équivalences… à vrai dire j'ai du mal à visualiser ce que peuvent-êtres les classes d'équivalences de la plupart des relations que j'ai dû étudier jusque-là. Bref, du coup si quelqu'un peut m'aiguiller je lui en serai reconnaissant !

Dernière modification par Blubber (12-04-2023 18:39:11)

Moonspeech

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Re : Classes d'équivalences d'une relation

Bonjour,

Soit $X = (x, x') \in \mathbb{N}^2$, par définition la classe d'équivalence de $X$ est $[X] = \{Y = (y, y') \in \mathbb{N}^2 | x + x' = y + y'\}$ c'est-à-dire  $[X] = \{Y = (y, y') \in \mathbb{N}^2 | x + x' - y = y'\}$ cela te donne l'équation d'une droite affine de pente $-1$ et d'ordonnée à l'origine $x + x'$ si je me trompe pas.

Dernière modification par Moonspeech (12-04-2023 19:26:26)

Blubber

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Re : Classes d'équivalences d'une relation

Je crois que je commence à comprendre ! C'est tout bête en fait. Merci !
Aussi c'est pas plutôt $ax+by+c=0$ l'équation d'une droite ? Je ne suis pas sûr de comment tu passes de cette équation à ta classe d'équivalence du coup.

Moonspeech

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Re : Classes d'équivalences d'une relation

Je dis juste que les $(y, y')$ sont les points du plan tels que $y' = -y + (x + x')$ avec $(x,x')$ fixé. L'équation d'une droite affine pour moi c'est $y = ax + b$ où $y$ c'est l'ordonnée et $x$ l'abscisse. Après je suis nul en géométrie ahah.

Après dans le cas général il me semble pas qu'il y ai une méthode particulière pour visualiser les classes d'équivalences. Faut juste écrire la définition et la bidouiller pour obtenir une forme qu'on connait.

D'ailleurs je me suis précipité, les points $Y$ sont dans $\mathbb{N}^2$ attention, c'est donc pas toute la droite !

Dernière modification par Moonspeech (12-04-2023 19:28:31)

Blubber

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Re : Classes d'équivalences d'une relation

Hmmm… Je suis confus du coup. x)

Je vois, dans ce cas j'essaierai de bricoler un peu plus à chaque fois pour essayer de dégager quelques formes que je connais !

Michel Coste

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Re : Classes d'équivalences d'une relation

Bonsoir,

Parler de droite affine dans [tex]\mathbb N\times \mathbb N[/tex], je ne trouve pas ça très correct !

Il y a une classe d'équivalence [tex]C_s[/tex] pour chaque [tex]s\in \mathbb N[/tex]. Les éléments de [tex]C_s[/tex] sont les couples d'entiers naturels [tex](x,x')[/tex] tels que [tex]x+x'=s[/tex].

bridgslam

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Re : Classes d'équivalences d'une relation

Bonjour ,

Si tu veux voir la chose autrement , pour chaque application
f : $\mathbb{N}\times\mathbb{N}  \rightarrow E$ tu auras une relation d'équivalence.
Si f a une bonne bouille , les classes peuvent avoir un aspect géométrique simple, comme pour ton exo.

Une bonne extension de ton exercice  est de regarder ce qu'on peut obtenir avec par exemple
x=y,
x'=y',
x et y de même parité
x+x' de même parité que y+y'
etc en précisant à chaque fois f (donc E).
Ou se donner f ( par exemple max(x,x') ) directement et regarder les classes.
En réunissant des classes, de demander comment ça impacte f...

Les deux points de vue sont identiques, ça revient à un pléonasme ou un marché de dupes.

Pour la relation xx' = yy' on peut faire un peu d'arithmétique en regardant   le nombre d'éléments par classe:
Infinité, 1, 2, plus..., Voir dans quel cas ce nombre est impair...

Idem (x,x') et (y y') équiv. <=> D(x,x') = D(y,y') avec D l'ensemble des diviseurs communs...
Dans ce cas on peut simplifier la fonction  D en prenant une fonction numérique.

On peut trouver des exemples intéressants à l'infini.
A.

Dernière modification par bridgslam (13-04-2023 11:06:22)

eoghan

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Re : Classes d'équivalences d'une relation

Bonjour,

On peut prendre un exemple pour voir ce qu'il se passe. Je considère la classe d'équivalence de $(1,2)$.

Par définition, c'est l'ensemble des couples $(y,y')$ tel que $1+2 = y+y'$ i.e. $ 3 = y+y'$.
On a $ 3 = 0 + 3 = 1 + 2 = 2 + 1 = 3 + 0$ donc $ cl((1,2)) = \{(0,3) , (1,2), (2,1) (3,0) \} = \{(i, 3-i) \, | \, i \in [0,3] \}$

On a donc une petite idée dans le cas général, il ne reste plus qu'à la démontrer. Soit $(x,x') \in \mathbb{N} \times \mathbb{N}$. On pose $a = x+x'$.
Soit $(y,y') \in cl((x,x'))$ alors on a $ a = y+y'$. On déduit que $0 \leq y \leq a$. Une fois $y$ fixé, $y'$ est entièrement déterminé : $y' = a - y$. On a montre que $ cl((x,x')) \subset \{(i, a-i) \, | \, i \in [0,a] \}$ et l'inclusion réciproque est évidente.
Donc $  cl((x,x'))  = \{(i, a-i) \, | \, i \in [0,a] \} = \{(i, (x+x')-i) \, | \, i \in [0,x+x'] \}$.
Autrement dit : la classe de $(x,x')$ est l'ensemble des décompositions de l'entier $x+x'$ en somme de deux entiers.

Voila, j'espère que ça répond à ta question.

Blubber

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Re : Classes d'équivalences d'une relation

Merci eoghan pour cette explication complète ! Elle répond totalement à ma question et même plus, car grâce à celle-ci je pense enfin avoir totalement compris le concept, ou du moins comment l'utiliser !

Merci aussi à bridgslam qui ouvre certaines portes. J'ai cru voir (ou alors je deviens fou?) en feuilletant rapidement quelques livres qu'il était possible de définir les entiers relatifs ou les rationnels de cette façon. Bien que je sois encore loin de réellement comprendre comment cela pourrait se faire.

eoghan

Invité

Re : Classes d'équivalences d'une relation

En effet, avec un ensemble $E$ est une relation $R$, on peut construire un autre ensemble : l'ensemble quotient $E/R$. Par définition on a $ E/R = \{ cl(x) \in P(E) \, | x \in E \} $. C'est un moyen rigoureux de définir $\mathbb{Z}$, $\mathbb{Q}$ mais aussi $\mathbb{R}$ et $\mathbb{C}$ (dans le cas de $\mathbb{R}$ et $\mathbb{C}$, il y a d'autres constructions qui n'utilisent pas les ensembles quotients).
Tu as peut-être déjà rencontré (ou alors ça sera l'année prochaine) l'anneau $\mathbb{Z} / n\mathbb{Z} $ qui n'est ni plus ni moins que l'ensemble quotient de $\mathbb{Z}$ par la relation d'équivalence $xRy \iff x-y \in n\mathbb{Z}$ ; $R$ est la relation "$x$ est congrue à $y$ modulo $n$".

bridgslam

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Re : Classes d'équivalences d'une relation

Bonsoir ,

Pour l'égalité du produit des coordonnées xx' on a ainsi:
1 classe infinie: tous les couples dont une coordonnée est null
1 classe à 1 élément { (1,1)}
Une infinité de classes à 2 éléments {(1,p), (p ,1)} avec p premier
Une infinité de classes à nombre impair d'éléments ce dont ceux dont le produit est un carré.
Par exemple { (1,36), (2,18), ( 3,12) , (4,9), (6,6), (9,4), ....} a 9 équivalents.
Enfin tous les autres dont le produit est non carré , leurs classes en ont un nombre pair
Question subsidiaire: parmi les produits carrés, lesquels en ont un nombre premier ...

A.

bridgslam

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Re : Classes d'équivalences d'une relation

Pour la QS sauf erreur ce sont les carrés de la forme $p^{q-1}$
Avec p premier et q premier différent de 2.
Ainsi 17 à la puissance 18 est représenté par 19 couples équivalents, $5^6$ en aura 7 etc.

A.