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Vincent62

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Idéal radical (ou radiciel ?)

Bonjour,

Je débute en anneau, et un peu partout je vois qu'il est évident que dans un anneau [tex]A[/tex], tout idéal premier [tex]I[/tex] est radical.

Pour un idéal premier, j'ai la définition suivante : [tex]I[/tex] est premier ssi pour tous a,b \in A tels que [tex]ab\in I[/tex], alors [tex]a\in I[/tex] ou [tex]b\in I[/tex].
Puis, pour le radical d'un idéal, j'ai [tex]\sqrt{I}=\{a\in A, \exists n\ge 1, a^n\in I\}[/tex].

J'avais d'abord raisonné ainsi : soit [tex]a \in I[/tex]. Puisque [tex]I[/tex] est un idéal, alors [tex]aa\in I[/tex] soit [tex]a^2\in I[/tex] et donc [tex]a\in \sqrt{I}[/tex] d'où l'inclusion I\subset \sqrt{I}.

Réciproquement, soit [tex]a\in \sqrt{I}[/tex]. Alors il existe [tex]n\ge 1[/tex] tel que [tex]a^n=a^{n-1}a\in I[/tex].
Or, puisque [tex]I[/tex] est premier, soit [tex]a^{n-1}\in I[/tex], soit [tex]a\in I[/tex].
Si [tex]a\in I[/tex], alors on a [tex]\sqrt{I}\subset I[/tex].
Si [tex]a^{n-1}\in I[/tex], on écrit que [tex]a^{n-1}=aa^{n-2}[/tex] et on reproduit le raisonnement.
Puisque n est fixé, le processus s'arrête au bout de [tex]n-1[/tex] étapes.

Est-ce que l'on peut rendre plus rigoureux la décomposition de [tex]a^{n-1}[/tex] ?

Merci !

Dernière modification par Vincent62 (26-03-2023 15:09:29)

Glozi

Invité

Re : Idéal radical (ou radiciel ?)

Bonjour,
Pour $I\subset \sqrt{I}$ tu pourrais juste prendre $n=1$. En fait, sans aucune hypothèse sur l'idéal $I$, on a toujours $I\subset \sqrt{I}$.
Pour la réciproque c'est tout à fait l'idée. Cependant, la phrase "si $a \in I$ alors $\sqrt{I} \subset I$" n'est pas vraiment correcte, car là on est en train de travailler avec un $a$ en particulier.
Une manière de rédiger ça c'est de dire : on a $n\geq 1$ tel que $a^n \in I$, considérons $E=\{k \in \mathbb{N}^* |  a^k \in I\}$, alors $E$ est une partie non vide de $\mathbb{N}^*$ (car il contient $n$), tu considères le minimum de $E$ et tu montres que c'est forcément $1$ en appliquant ton argument.

Bonne journée

Michel Coste

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Re : Idéal radical (ou radiciel ?)

Bonsoir,
Une remarque : il manque quelque chose dans ta définition d'idéal premier : c'est [tex]1\not\in I[/tex].

Vincent62

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Re : Idéal radical (ou radiciel ?)

Bonjour Glozi,

Merci pour tes explications.
Merci Michel, effectivement, en tant qu'idéal, l'élément privilégié pour . est un élement de I.

Je réfléchis maintenant à : pourquoi I premier implique-t-il que A/I est intègre ?

Michel Coste

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Re : Idéal radical (ou radiciel ?)

en tant qu'idéal, l'élément privilégié pour . est un élement de I.

Qu'est-ce que ça veut dire ?

pourquoi I premier implique-t-il que A/I est intègre ?

Quelle est ta définition d'anneau intègre ?

Vincent62

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Re : Idéal radical (ou radiciel ?)

Ca ne veut pas dire grand chose. Par définition d'un idéal [tex]I[/tex] d'un anneau [tex]A[/tex], [tex](I,+)[/tex] est un sous-groupe de [tex](A,+)[/tex], et donc par définition d'un sous-groupe, l'élément neutre [tex]0_A[/tex] pour [tex]+[/tex] est dans [tex]I[/tex].

** D'ailleurs, si [tex]1_A\in I[/tex], alors puisque [tex]I[/tex] est un idéal de [tex]A[/tex], pour tout [tex]a\in A[/tex], on a en particulier que [tex]a1_A=a\in I[/tex] et donc [tex]A\subset I[/tex]. Puisque [tex]I\subset A[/tex], alors [tex]A=I[/tex].

Un anneau A non réduit à [tex]\{0\}[/tex] est intègre s'il ne possède pas de diviseur de zéro, autrement dit si pour tout couple [tex](a,b)\in A^2[/tex] avec [tex]a\neq 0[/tex] et [tex]b\neq 0[/tex], on a [tex]ab\neq 0[/tex], ou encore (par contraposée), si pour tous [tex]a,b\in A[/tex] tels que [tex]ab=0[/tex], alors [tex]a=0[/tex] ou [tex]b=0[/tex].

[tex]\frac{A}{I}[/tex] est intègre équivaut à dire que pour tous [tex]\bar{x},\bar{y}\in \frac{A}{I}[/tex], on a [tex]\bar{x}\bar{y}=\bar{0}[/tex] entraîne que [tex]\bar{x}=\bar{0}[/tex] ou [tex]\bar{y}=\bar{0}[/tex].
Or, cette dernière affirmation est équivalente à dire que pour tous [tex]u,v\in A, uv\in I[/tex] entraîne que [tex]u\in I[/tex] ou [tex]v\in I[/tex]. En effet, [tex]\frac{A}{I}=\{\bar{x}, x\in A\}[/tex] avec [tex]\bar{x}=\{y\in A, x-y\in I\}[/tex], et donc par exemple, [tex]\bar{x}=\bar{0}[/tex] équivaut à [tex]x-0\in I[/tex] et donc à [tex]x\in I[/tex].
On a donc l'équivalence entre [tex]I[/tex] premier et [tex]\frac{A}{I}[/tex] intègre.

Dernière modification par Vincent62 (27-03-2023 09:00:10)

Michel Coste

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Re : Idéal radical (ou radiciel ?)

Je dirais plutôt qu'un anneau est intègre s'il n'est pas réduit à [tex]\{0\}[/tex] (autrement dit, [tex]1\neq 0[/tex]) et si etc.
Ça correspond au fait que [tex]I[/tex] est premier si [tex]1\not\in I[/tex] et si etc.

Vincent62

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Re : Idéal radical (ou radiciel ?)

Ah oui, merci, j'ai oublié cette condition.